SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS

4 SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Em muitos problemas de probabilidade que requerem o uso de variáveis aleatórias, uma completa especificação da função de densidade de probabilidade ou não está disponível ou não é necessária. Em vez disso, certas características importantes de uma variável aleatória continua X pode ser conhecida e este conhecimento pode ser suficiente para levar a uma solução desejada. Várias sumários numéricos (parâmetros) podem ser obtidas a partir da fpd, que nos dá características simples da distribuição da variável aleatória. 4.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA Definição 4.1: Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f. Definimos como esperança matemática (valor esperado ou média) de X dada por: E[X] = desde que a integral esteja bem definida. x f (x)dx A esperança está bem definida se pelo menos uma das integrais for finita x f (x)dx < ou x f (x)dx < O valor esperado E[X] pondera os valores assumidos pelas probabilidade, e pode ser interpretado como o centro de gravidade da distribuição da variável aleatória X. Exemplo 4.1: Seja X uma variável aleatória contínua com densidade dada por: f (x) = 1 4 I (,)(x) + 1 4 I (,4)(x)

Sumários de variáveis aleatórias continuas Figura 4.1: Centro de Gravidade e Valor Esperado - Caso Contínuo Assim o valor esperado é E[X] = = x f (x)dx x 1 4 4 dx + x 1 4 dx = 1 xdx + 1 4 4 E[X] = 1 Desta forma o gráfico de f (x) pode é dado por 4 xdx Figura 4.: Função de Densidade e Valor Esperado Exemplo 4.: Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por a) Obtenha o valor de c. f (x) = { c(9 x ) se 3 x 3 caso contrário 3 c (9 x )dx = 1 36c = 1 c = 1 3 36

Sumários de variáveis aleatórias continuas 3 Assim f (x) = { 1 36 (9 x ) se 3 x 3 caso contrário c) Obtenha a esperança de X. E[X] = x f (x)dx = 3 3 c) Determine a função de distribuição de X F(x) = x d) Determine P[X E[X] + 1] f (u)du = x x 1 36 (9 x )dx = 1 3 (9x x 3 )dx = 36 3 1 36 (9 u )du = (x3 7x 54) 18 P[X E[X] + 1] = P[X + 1] = P[X 1] = F(1) = 7 Exemplo 4.3: Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função de distribuição Determinar a E[X]. F(x) = { se x < 1 e 4 x se x Para calcular o valor esperado podemos, inicialmente vamos obter a fdp de X f (x) = df(x) dx = e 4 x I [, ) (x) Assim, E[X] = x f (x)dx = xe 4 x dx = xe 4 x dx = 5 Definição 4.: Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F e cujo valor esperado existe. Então E[X] = (1 F(x))dx F(x)dx Exemplo 4.4: Seja X uma variável aleatória com função de distribuição se x < 1 F(x) = x +x 18 se 1 x < 4 1 se x 4

Sumários de variáveis aleatórias continuas 4 A variável só tem valores positivos, logo E[X] = = 1 (1 F(x))dx 1dx + 4 1 ( ) 1 x + x dx 18 = 11 4 Teorema 4.1: Seja X uma variável aleatória cujo valor esperado existe. Considere Y = g(x), uma função de X que também é uma variável aleatória no mesmo espaço de probabilidade. Então: E[g(X)] = g(x) f (x)dx Exemplo 4.5: A variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade dada por: f (x) = Seja Y = X, determine o valor esperado de Y. Temos que Y é uma função de X, logo E[Y ] = E[X ] = = = 1 4 1 4 (x + ) se x < 1 se x < 1 caso contrário x f (x)dx x 1 1 4 (x + )dx + x 1 dx (x 3 + x )dx + 1 = 1 3 + 1 6 = 1 1 x dx Teorema 4. (Propriedades da Esperança): Seja X uma variável aleatória cujo valor esperado existe. Então a) E[c] = c onde c é uma constante. b) Linearidade: Se E[aX + b] = ae[x] + b Exemplo 4.6: Suponha X seja uma variável aleatória, para a qual E[X] = 1. Seja Y = a + bx. Para quais valores de a e b deve ter valor esperado. Aplicando as propriedades de esperança temos que E[Y ] = E[a + bx] = a + be[x]

Sumários de variáveis aleatórias continuas 5 Como E[Y ] = a + be[x] = Então a + be[x] = a + 1b = b = a 1 Ou seja valor esperado de Y será, sempre que a e b tiverem valores na reta Exemplo 4.7: Seja X uma variável aleatória com valor esperado E[X] = µ, mostre que o erro quadrático médio, dado pela expressão E[(X d) ], é minimizado quando d = µ Temos que E[(X d) ] = E[X Xd + d ] = E[X ] de[x] + d = E[X ] dµ + d Fazendo h(d) = E[X ] dµ + d, temos a primeira derivada h (d) = µ + d, assim quando h (d) = temos, µ + d = d = µ Logo o ponto d = µ minimiza a expressão E[(X d) ] 4. VARIÂNCIA O valor esperado E[X] é uma medida do centro de uma distribuição. Para uma caracterização mais ampla da variável aleatória, é interessante considerar uma medida da dispersão dessa distribuição. Definindo o desvio de uma V. A. X relativamente ao seu valor esperado E[X], como d = X E[X] utilizando as propriedades do valor esperado tem-se que: E[d] =

Sumários de variáveis aleatórias continuas 6 A medida que leva em conta a grandeza dos desvios independente do seu sinal, é chamada de variância. Definição 4.3: Seja X uma variável aleatória. Definimos a variância de X, denotada por V (X), dada por V (X) = E[(X E[X]) ] Definição 4.4: A raiz quadrada positiva de V [X] é denominada desvio padrão de X DP(X) = V (X) Teorema 4.3: Seja X uma variável aleatória com em que existe o valor esperado, então a variância é dada por: V [X] = E[X ] (E[X]) Exemplo 4.8: Seja X uma variável aleatória com fpd dada por { 1 + x 1 x f (x) = 1 x < x 1 Determine a esperança e a variância de X E[X] = = 1 x f (x)dx x(1 + x)dx + 1 x(1 x)dx E[X ] = = 1 6 + 1 6 = = 1 = 1 1 + 1 1 x f (x)dx x (1 + x)dx + = 1 6 V (X) = E[X ] (E[X]) = 1 6 = 1 6 1 x (1 x)dx Teorema 4.4 (Propriedades da Variância): Seja X uma variável aleatória cujo valor esperado existe. Então a) V [X]

Sumários de variáveis aleatórias continuas 7 b) V [c] = onde c é uma constante. c) [V [ax + b] = a V [X] 4.3 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Se conhecemos a função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X, podemos obter o valor esperado E[X] e a variância V (X). Mas a reciproca não é verdadeira, pois somente com o conhecimento de E[X] e V (X) não é possível obter a fdp de X, e por consequência não é possível calcular probabilidades. Mas, embora não possamos calcular probabilidades a partir de E[X] e V (X), é possível estabelecer limites para as probabilidades. Este resultado é conhecido como desigualdade de Chebyshev. Teorema 4.5 (Desigualdade de Markov): Seja X uma variável aleatória não negativa e considere k >. Então P(X k) E[X] k Corolário 4.1 (Desigualdade de Chebyshev): Seja X uma variável aleatória com E[X] = µ e variância finita. Então, para k > Demonstração. P( X µ k) V (X) k P( X µ k) = P((X µ) k ) Aplicando a desigualdade de Markov temos P((X µ) k ) E [ (X µ) ] k = V (X) k Formas alternativas de se escrever a desigualdade de Chebyshev são dadas a seguir P( X µ < k) 1 V (X) k P(E[X] k < X < E[X] + k) 1 V (X) k Exemplo 4.9: Seja X uma variável aleatória continua E[X] = µ e DP(X) = σ. Determine os limites de P ( X µ 3 ) σ

Sumários de variáveis aleatórias continuas 8 Pela Desigualdade de Chebyshev temos P( X µ k) V (X) k P ( X µ 3 ) σ σ ( 3 σ ) = σ 9 4 σ = 4 9 Exemplo 4.1: Seja X uma variável aleatória continua E[X] = 1 e DP(X) = 1, Determine os limites para a probabilidade abaixo P(8 < X < 16) Fazendo E[X] k = 8 1 k = 8 k = 4 E[X] + k = 16 1 + k = 16 k = 4 Assim temos P(8 < X < 16) 1 1 (4) 1 1 16 = 16 1 = 15 16 16 =,9375 Assim P(8 < X < 16),9375 4.4 MOMENTOS Já vimos como calcular o valor esperado (E[X]), e a variância V (X)de uma variável aleatória contínua X. Estes dois parâmetros dão uma indicação da localização e de dispersão de uma distribuição de probabilidade. Pode-se mostrar que outras características da distribuição de probabilidade de X podem ser expressas por meio de potências de X. Esses valores são chamados de momentos de uma variável aleatória X. Os momentos são estatísticas de uma variável aleatória capazes de representar seu comportamento probabilístico. Os infinitos momentos estatísticos definem a função de densidade de probabilidade.

Sumários de variáveis aleatórias continuas 9 Definição 4.5 (Momentos): Se X é uma variável aleatória, o k-ésimo momento de X é definido como, denotado por µ k, é definido como µ r = E[X r ] Definição 4.6 (Momentos Centrais): Se X é uma variável aleatória, o k-ésimo momento central de X é definido como, E[(X a) r ] Se E[X] = µ <, temos que k-ésimo momento central de X de ordem k é dado por µ r = E[(X µ) r ou sejam este é o k-ésimo momento em torno da média. O primeiro momento da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X, ou seja, o valor esperado E[X] = µ, é uma medida de localização da distribuição de y. O segundo momento central em torno da média E[(X µ) ], exprime a dispersão da distribuição. Outros momentos centrados descrevem outros aspectos importantes referentes à forma da distribuição. Em particular, o terceiro e quarto momentos centrados podem ser utilizados para exprimir os graus de assimetria ou de curtose da distribuição. O terceiro e quarto momentos centrais em torno da média podem ser utilizados para exprimir medidas de assimetria ou de curtose da distribuição. Seguindo a definição de uma função simétrica, pode-se dizer que a distribuição de probabilidade da variável aleatória X é simétrica em torno da média µ se: f (µ x) = f (µ + x). Assim uma distribuição é simétrica se o terceiro momento µ 3 =. O calculo do terceiro momento centrado depende da unidade de medida da variável X, o que dificulta a comparação de diferentes distribuições quanto ao grau de assimetria. Para contornar esse problema, a medida de assimetria mais utilizada é o coeficiente de assimetria. (a) Assimétrica a Direita (b) Assimétrica a Esquerda (c) Simétrica Figura 4.3: Exemplos de distribuição simétrica e assimétrica

Sumários de variáveis aleatórias continuas 1 Definição 4.7 (Coeficiente de Assimetria): Seja X uma variável aleatória qualquer com valor esperado µ e desvio padrão σ. O coeficiente de assimetria de X, é dado por α 3, indica o grau de assimetria da distribuição de probabilidade e é definida por α 3 = E[(X µ)3 ] σ 3 Em geral, se α 3 <, dizemos que a variável X é assimétrica à esquerda. Se α 3 >, dizemos que a variável X é assimétrica à direita. Em termos de probabilidade uma variável aleatória é simétrica, em torno de um valor a, se satisfaz a equação P(X µ x) = P(X µ x), x R A curtose é outra medida da forma de distribuição, que pode ser entendida como uma medida relativa ao do pico distribuição. Definição 4.8 (Coeficiente de Curtose): Seja X uma variável aleatória qualquer com valor esperado µ e desvio padrão σ. O coeficiente de curtose de X, é dado por α 4, mede a intesidade dos picos de uma da distribuição de probabilidade e é definida por α 4 = E[(X µ)4 ] σ 4 A distribuição normal tem uma curtose de 3 (mesocúrtica), em geral, compara-se os valores da curtose com esse valor. A curtose pode ser entendida como uma medida de peso de cauda: Uma distribuição platicúrtica (α 4 < 3) tem caudas mais pesadas do que uma distribuição normal. Isto significa que há mais casos longe da média do que é encontrado em uma distribuição normal. Uma distribuição leptocúrtica (α 4 > 3) tem menos valores nas caudas (caudas leves), então há mais casos perto da média do então seria esperado em uma distribuição normal. 4.4.1 Função Geradora de Momentos A função geradora de momento está associado a uma função de densidade de probabilidade. A função geradora de momento pode ser usado para gerar momentos. No entanto, o principal uso dessa função não é gerarm momentos de geração, mas para ajudar na caracterização de uma distribuição. Definição 4.9: A função geradora de momentos de uma variável aleatória continua X, denotado por M X (t), é definido como: M X (t) = E[e tx ] = e tx f (x)dx

Sumários de variáveis aleatórias continuas 11 desde que a expectativa existe para t em alguns bairro de. Exemplo 4.11: Seja uma variável aleatória continua X com fdp dada por Determine a função geradora de momentos M X (t) = E[e tx ] = f (x) = e x I [, ) (x) e tx f (x)dx = e tx e x dx = e (t )x dx = lim a t e(t )x ( ) = lim t a e(t )a 1 M X (t) = t se t < Nesse caso os valores de t foram restritos para garantir que a integral seja finita. Teorema 4.6: Seja X uma variável aleatória, e suponha que sua função geradora de momento M X (t) exista para t < t, sendo t >. Então o n-ésimo momento de X é a n-ésima derivada de M X (t), calculada no ponto t =. Ou seja E[X n ] = dn M X () dt n Exemplo 4.1: Seja uma variável aleatória continua X com fdp dada por e função geradora de momentos dada por Determine a média e a variância de X. M X(t) = f (x) = e x I [, ) (x) M X (t) = t se t < ( t) M X(t) 4 = ( t) 3 a

Sumários de variáveis aleatórias continuas 1 Fazendo em t = 4.4. Cumulantes E[X] = M X() = () =,5 E[X ] = M X() = 4 () 3 =,5 VAR[X] = E[X ] (E[X]) =,5,5 =,5 Cumulantes também chamados de momentos cumulativos são de muita importância na descrição de uma variável aleatória. Os cumulantes são um conjunto de quantidades que fornecem uma alternativa para os momentos da distribuição distribuição de probabilidade. Definição 4.1: Seja X uma variável aleatória com função geradora de momentos M X (t). A função geradora de cumulantes de uma variável aleatória continua X denotada por c X (t), é definida como C X (t) = ln(m X (t)) Definição 4.11: O cumulante de ordem n é definido como c n = dn C X () dt n Os cumulantes são relacionados com os momentos centrais da seguinte forma: c 1 = µ c = µ c 3 = µ 3 c 4 = µ 4 3µ Exemplo 4.13: Seja uma variável aleatória continua X com fdp dada por e função geradora de momentos dada por f (x) = 1 3 e 1 3 x, se x M X (t) = 1 1 3t se t < 1 3 Determine a função geradora de cumulantes. ( ) 1 C X (t) = ln(m X (t)) = ln = ln(1) ln(1 3t) = ln(1 3t) 1 3t

Sumários de variáveis aleatórias continuas 13 Determinar os 4 primeiros cumulantes C X(t) = C X(t) = C X (t) = 3 1 3t c 1 = C X() = 3 9 (1 3t) c = C X() = 9 54 (1 3t) 3 c 1 = C X () = 54 C (4) X (t) = 486 (1 3t) 4 c 4 = C X() = 486 Determinar a média, variância, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose µ 1 = c 1 = 3 média µ = c = 9 variância (9) = 3 desvio padrão µ 3 = c 3 = 54 assimetria α 3 = 54 = coeficiente de assimetria 33 µ 4 = c 4 + 3µ = 486 + 3(9 ) = 79 curtose α 4 = 79 = 9 coeficiente de curtose 34 4.5 MODA Outro valor de interesse no resumo de um distribuição de probabilidade é a moda Mo. Apesar de não ser realmente uma medida central, a moda diz o valor mais provável da variável aleatório X. Assim, a moda ocorre no valor máximo de f (x), e podem ser localizados através do gráfico de a função densidade de probabilidade. Definição 4.1: Se X é o variável aleatória continua, com função de densidade f, então a moda de X, é dada por: f (Mo) f (x), x R Para determinar a moda de X basta determinar o valor máximo da função de densidade de probabilidade. Com funções complexas, pode ser necessário diferenciar para encontrar os máximos e mínimos de f. Exemplo 4.14: Seja X uma variável aleatória com fdp dada por f (x) = 1x 1x 3 I [,1] (x)

Sumários de variáveis aleatórias continuas 14 Determine a Moda de X. Fazendo a primeira derivada de f (x) em relação a x, temos f (x) = 4x 36x Fazendo f (x) =, temos 4x 36x = x = e x = 3 A segunda derivada de f (x) em relação a x, temos ( ) f (x) = 4 7x f () = 4 e f = 4 3 Assim x = é um ponto de mínimo e x = 3 é um ponto de máximo. Logo Mo = 3 Exemplo 4.15: Seja X uma variável aleatória com fdp dada por f (x) = xe x I [, ] (x) Determine a Moda de X. Fazendo a primeira derivada de f (x) em relação a x, temos f (x) = (1 x)e x Fazendo f (x) =, temos (1 x)e x = 1 x = e x = 1 A segunda derivada de f (x) em relação a x, temos f (x) = (x )e x f (1) = e Assim x = 1 é um ponto de máximo. Logo Mo = 1 4.6 MEDIANA E QUANTIS Definição 4.13: Seja X uma variável aleatória continua com função de distribuição F, e seja uma probabilidade p (,1). Um valor de q tal que F(q) = p

Sumários de variáveis aleatórias continuas 15 é chamada de quantil de ordem p para a distribuição de X Um quantil de ordem p é valor q, tal que abaixo dele tenha p de probabilidade acumulada. Assim, F(q) = p = P[X q] = q f (x)dx Para encontrar o valor do q-ésimo quantil, poderia utilizar a resolução da integral q f (x)dx = p Para maioria das variáveis continuas, o valor q é encontrado como q = F 1 (p) em que F 1 é a função inversa de F da função de distribuição é chamada de função quantílica. Alguns quantis recebem nomes especiais: O quantil de ordem 1 O quantil de ordem 1 4 O quantil de ordem 3 4 é chamado de mediana ou segundo quartil da distribuição é chamado de primeiro quartil da distribuição é chamado de primeiro quartil da distribuição Definição 4.14: A mediana de uma variável aleatória X, denotada por Md, é o valor de X tal que F(Md) = 1 = 1 F(Md) ou Md f (x)dx = 1 = Md f (x)dx Assim, a mediana de uma variável aleatória X é um numero, tal que a massa de probabilidade de X seja dividida igualmente para a direita e esquerda desse valor. Exemplo 4.16: Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por f (x) = (1 x)i [,1] (x) Determinar a mediana e os quantis,3 e,7 Primeiro vamos obter a função de distribuição de X F(x) = x (1 u)du = x x I [,1] (x) Assim a função quantílica x = F 1 (p) x = 1 1 p

Sumários de variáveis aleatórias continuas 16 Para mediana p=,5, assim Md = 1 1,5 =,99 Para o quantil de p=,3 X,3 = 1 1,3 =,1633 Para o quantil de p=,7 X,7 = 1 1,7 =,45 Exemplo 4.17: Seja X uma variável aleatória com função de distribuição dada por f (x) = 1 e x I [, ) (x) Determinar a mediana e o quantil de,9 Primeiro vamos obter a função quantílica x = F 1 (p) Para mediana p=,5, assim Para o quantil de p=,9 Md = X,9 = x = ln(1 p) ln(1,5) ln(1,9) =,3465 = 1,151 4.7 EXERCÍCIOS 4.7.1 Teóricos 4.1) Mostre ou dê um contra-exemplo que E [ ] 1 = 1 X E[X] 4.) Para quaisquer valores de a e b, se P(a X b) = 1, então a E[X] b 4.3) Seja X uma variável aleatória simétrica em torno de α, isto é, P(X α +x) = P(X α x) para todo x R. Mostre que se X é integrável, então E(X) = α. 4.4) Suponha que X é uma variável aleatória com função geradora de momento M x (t), média µ e variância σ. Seja c(t) = lnm x (t). Mostre que c () = µ e c () = σ

Sumários de variáveis aleatórias continuas 17 4.5) Seja X uma variável aleatória para o qual P(X ) = e E[X] = µ <. Prove que P[X µ] 1 1 k para k 1 4.6) Mostre que o terceiro momento central (µ 3 ) é dada por µ 3 = E[X 3 ] 3µσ µ 3 sendo E[X] = µ e V (X) = σ 4.7) Seja X uma variável aleatória com E[X] < e V (X) <, mostre que tem E[X] = e V (X) = 1 Z = X E[X] DP[X] 4.8) Se K é real positivo e x uma variável aleatória então P( X λ) E( X t ) k t t > 4.9) Seja X uma variável aleatória com função geradora de momentos M X (t) e a e b constantes.mostre que a função geradora de momentos de Y = ax + b é R Y (t) = e bt M X (at) 4.1) Seja X uma variável aleatória com valores entre e c. Tal que P( X c) = 1. Então 4.7. Práticos V (X) c 4 4.1) Verifique se as funções abaixo são funções de densidade de probabilidade. Caso positivo determine E[X], V (X), coeficiente de assimetria e curtose, função geradora de momentos, Moda e Mediana a) f (x) = x+1 1 I [,3](x) b) f (x) = x 3 x + 1, se x 1 c) f (x) = 5(1 x) 4, se x 1 d) f (x) = 1 sen(x), se x π

Sumários de variáveis aleatórias continuas 18 e) f (x) = {.5e x x.5e x x > 4.) Suponha que a duração de vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória contínua X com fdp dada por f (x) = 1 x, para x > 1 e zero para quaisquer outro valor. Mostre que E[X] não existe. 4.3) Suponha que um dispositivo eletrônico tenha uma duração de vida X, (em unidades de 1. horas), a qual é considerada como uma variável aleatória continua, com a seguinte fdp. f (x) = e x, x > Suponha que o custo de fabricação de um desses dispositivos seja R$,. O Fabricante vende a peça por R$5,, mas garante o reembolso total se X <,9. Qual o lucro esperado pelo fabricante? 4.4) A função de distribuição de X é dada por a) Calcule E[X] b) Calcule E[X ] c) Determine P[X < E[X]] F(X) =, se x < x+ 1, se x < 1 5 + 1 x + 5 3x, se x < 5 1, se x 5 4.5) Admita que X representa a duração de uma chamada telefônica internacional e obedeça o seguinte modelo F(x) = 1 e x I[, ) (x) a) Verifique que F(x) é uma função de distribuição b) Determine E[X] c) A tarifa aplicada por chamada tem um custo inicial de R$, e um adicional de R$,75 por minuto inteiro de conversação. Determine o custo médio de cada chamada. 4.6) Suponha que X seja uma variável aleatória com E[X] = e V (X) = 5. Seja Y = ax b. Para quais valores positivos de a e b, Y deve ter E[Y ] = e V (Y ) = 1 4.7) Seja f (x) = (θx + 1 )I ( 1,1)(x), onde θ é uma constante. a) Para quais valores de θ, f (x) é uma função de densidade?

Sumários de variáveis aleatórias continuas 19 b) Ache a média, mediana e variância de X c) Para quais valores de θ a variância de X é máxima. 4.8) Seja X uma variável aleatória com E[X] = 3 e E[X ] = 13. Determine os limites para P[ < X < 8]. 4.9) Sabe que uma variável aleatória X, tem E[X] = 6 e E[X ] = 6. Seja Y = 1 X + 3 Determine E[Y ] e V (Y ) 4.1) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f (x) = 1 x se x < 1 1) Seja f (x) = (θx + 1 )I ( 1,1)(x), onde θ é uma constante. a) Prove que f é uma função densidade de probabilidade. b) Determine E(X) e V (X). c) Calcule P( X k), onde k é um número < k < 1. d) Obtenha uma cota superior para a probabilidade anterior. 4.11) Se uma variável aleatória continua X tem E[X] =,6 e função de densidade de probabilidade dada por { ax + bx < x < 1 f (x) = caso contrário determine P(X < 1/) e V (X)