Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Variáveis Aleatórias

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1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 24 - ANO 218 Variáveis Aleatórias Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br

2 Variável atributo Em qualquer tipo de estudo, há sempre a necessidade de se focar em um ou mais atributos (características) dos elementos que compõem esta população () Estes atributos constituem as variáveis de estudo atributos quantitativos:. biomassa. altura atributos qualitativos:. espécie. fase fenológica 2

3 Tipos de Mensuração nominal cor (azul, verde, amarelo, branco, cinza) ordinal ranking (ótimo, bom, regular, ruim, péssimo) atributo intervalar temperatura (Celsius, Fahrenheit, Kelvin) (zero representa apenas uma posição na escala) proporcional (racional) (zero representa ausência do atributo) peso (grama, quilo, tonelada) Por uma conveniência matemática, este atributo deveria ser representado por números que podem ser combinados e/ou sumarizados através de inúmeras manipulações algébricas: soma, produto, mínimo, máximo, média, mediana, etc Por definição, todos os atributos quantitativos já possuem esta propriedade Como será visto a seguir, para atributos qualitativos, regras devem ser definidas para transformá-los em números 3

4 Variável Aleatória atributo transformação variável aleatória número v.a. discreta v.a. contínua Definição: variável aleatória (v.a.) é uma função que associa cada elemento de a um número. Propriedades de uma v.a.: Cada elemento de deve estar associado a um único número Todos os elementos de devem estar associados a algum número Vários elementos de podem estar associados ao mesmo número

5 Variável Aleatória Experimento: jogar 2 moedas (R$1, e R$,5) e observar o resultado Definindo uma v.a. X: número de caras em 2 lances de moeda X() (representa o escopo da v.a.) 2 K cara C coroa 1 X(C 1 C,5 ) = X(K 1 C,5 ) = X(C 1 K,5 ) = 1 X(K 1 K,5 ) = 2 P(X = ) = P(C 1 C,5 ) P(X = 1) = P(K 1 C 2 C 1 K,5 ) P(X = 2) = P(K 1 K,5 ) OBS: em P(X = x), a natureza funcional da v.a. foi suprimida. De fato, a expressão mais correta seria P( X() = x). por definição, os valores de uma v.a. são sempre mutuamente exclusivos 5

6 Variável Aleatória Discreta Definição: uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for finito ou infinito numerável. < P(X = x i ) 1 para todo x i X() i P( X x ) 1 i Função de Probabilidade f ( x) P( X x) f(x) P(X = x 2 ) Função de Distribuição Acumulada F( x) P( X x) f( x j ) j para todo j onde x j x x 2 x F(x) 1 P(X x 3 ) x 3 x 6

7 Variável Aleatória Discreta Exemplos: a) jogar um dado X: ponto obtido no dado X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X: = 1 se ponto for igual a 6 X: = caso contrário X = {, 1} b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes) X: número de caras em 5 lances X = {, 1, 2, 3, 4, 5} c) jogar uma moeda até tirar uma cara X: número de jogadas até tirar uma cara (incluindo-se a cara) X = {1, 2, 3,...} X: número de coroas até tirar uma cara X = {, 1, 2,...} 7

8 Variável Aleatória Discreta Exemplos: d) sortear um ponto de uma imagem (8bits) X: valor de nível de cinza X = {, 1,..., 255} X: = 1 se valor de nível de cinza for menor que 1 X: = caso contrário X = {, 1} e) sortear 5 pontos em um mapa pedológico X: número de pontos correspondentes à classe Argissolo X = {, 1, 2, 3, 4, 5} f) sortear pontos em um mapa de vegetação até que se encontre a classe Cerrado X: número de pontos sorteados (incluindo-se o ponto da classe Cerrado) X = {1, 2, 3,...} X: número de pontos sorteados (excluindo-se o ponto da classe Cerrado) X = {, 1, 2,...} 8

9 Variável Aleatória Contínua Definição: uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for inumerável. Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e portanto: P(X = x) = Qual a probabilidade de se escolher uma pessoa qualquer com exatos 1,7 metros de altura? P(X = 1,7) = Isso é possível mas é muito pouco provável! Nesse caso, a probabilidade nula é traduzida como evento improvável mas não impossível Exceção para os eventos que estejam fora do escopo da v.a. considerada. Nesses casos, a probabilidade nula é sinônimo de evento impossível Qual a probabilidade de se escolher uma pessoa qualquer com mais do que 1 metros de altura? P(X > 1) = Impossível! 1,7... (infinitos zeros) 9

10 Variável Aleatória Contínua Definição: uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for inumerável. Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e portanto: P(X = x) = P(a < X < b) 1 só há sentido em falar de probabilidade para um intervalo de valores! Função Densidade de Probabilidade (fdp) f( x) f(x) b P( a X b) f ( x) dx f ( x) dx 1 Função de Distribuição Acumulada x F( x) f ( x) dx a a b P( a X b) x F(x) 1 P(X < c) c x 1

11 Variável Aleatória Contínua Exemplos: a) X: distância entre dois pontos X = [,+[ a X = dist a,b b b) X: distância vertical de um ponto, relativa a uma superfície plana pré-definida X = ]-,+[ a c) X: reflectância de um objeto X = [,1] = [,1%] b 11

12 Caracterização de uma Variável Aleatória Exemplo: retiram-se 2 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 2 escolhidas Urna A Urna B Função de Distribuição de X A Função de Distribuição de X B Como caracterizar estas variáveis aleatórias de modo a evidenciar suas semelhanças e diferenças? Aspectos principais: posição (tendência central) dispersão forma 12

13 P (Y = y) P (X = x) Caracterização de uma Variável Aleatória Variável Y Variável X,5,5,4,4,3,3,2,2,1, Y X Y P(Y = y) 1,1 2,45 3,22 4,15 5,6 6,2 X P(X = x) 1,1 2,15 3,25 4,25 5,15 6,1 13

14 P (Y = y) Medidas de Tendência Central Y Y P(Y = y) 1,1 2,45 3,22 4,15 5,6 6,2 Identificar o(s) valor(es) que ocorre(m) com a maior frequência Moda moda = 2 14

15 P (X = x) Medidas de Tendência Central X X P(X = x) 1,1 2,15 3,25 4,25 5,15 6,1 Identificar o(s) valor(es) que ocorre(m) com a maior frequência Moda moda = {3, 4} 15

16 Medidas de Tendência Central Moda,2,25,15,1, modas (bimodal),15,1,2,15,1, modas locais,2,5,15,15,1, muitas modas (multimodal),1, modas (trimodal) não definida 16

17 Medidas de Tendência Central Moda moda { x k : P( X k) P( X x)} v.a. discretas moda arg max f ( x): x k : f ( k) f ( x) v.a. contínuas x Representa valores possíveis da v.a. Pode ser usada diretamente em variáveis de qualquer tipo de mensuração, inclusive a nominal (variável qualitativa) Pode não existir ou ter muitos valores 17

18 P (Y P (Y = y) y) Medidas de Tendência Central,51,4,75,3,2,5,1, Y 5 6 Y P(Y = y) 1,1 2,45,55 3,22,77 4,15,92 5,6,98 6,2 1, Identificar o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais (equiprováveis) Mediana mediana = 2 18

19 P (X P (X = x) x) Medidas de Tendência Central.51.4,75.3.2,5.1, X 5 6 X P(X = x) 1,1 2,15,25 3,25,5 4,25,75 5,15,9 6,1 1, Identificar o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais (equiprováveis) Mediana mediana = 3,5 19

20 Medidas de Tendência Central Mediana P( X mediana),5 e P( X mediana),5 v.a. discretas mediana f ( x) dx,5 v.a. contínuas Pode ser usada diretamente em variáveis cuja mensuração seja pelos menos ordinal Não sofre influência de valores extremos (muito baixos ou muito altos com baixa prob.) Pode não representar valores possíveis para v.a. discreta Possui limitações para manipulação algébrica 2

21 P (X = x) Medidas de Tendência Central,5,4,3,2, X X P(X = x) 1,1 2,15 3,25 4,25 5,15 6,1 Calcular o ponto de equilíbrio da distribuição Média N i1 x P( X x ) i i (trata-se de uma média ponderada pela probabilidade de cada valor) 1*,1 2*,15 3*, 25 4*, 25 5*,15 6*,1 3,5 21

22 P (Y = y) Medidas de Tendência Central,5,4,3,2, Y Y P(Y = y) 1,1 2,45 3,22 4,15 5,6 6,2 Calcular o ponto de equilíbrio da distribuição Média N i1 y P( Y y ) i i 1*,1 2*, 45 3*, 22 4*,15 5*, 6 6*, 2 2, 68 22

23 Medidas de Tendência Central Média N i1 x P( X x ) i i v.a. discretas xf ( x) dx v.a. contínuas Permite manipulações algébricas Só pode ser utilizada em variáveis cuja mensuração seja intervalar Pode não representar valores possíveis para v.a. discreta Em distribuições simétricas unimodais, média = mediana = moda 23

24 P (Y = y) P (X = x) Medidas de Dispersão,5,5,4,4,3,3,2,2,1, Y X Analisar a variação total da v.a. Y máx - Y mín = 5 X máx - X mín = 5 Amplitude Total 24

25 P (X = x) Medidas de Dispersão , X X - X P(X = x) -2,5 1,1-1,5 2,15 -,5 3,25,5 4,25 1,5 5,15 2,5 6,1 N i1 Analisar a média dos desvios da v.a. (em relação à média) xi P( X xi) 2,5*,1 1,5*,15,5*, 25,5*, 25 1,5*,15 2,5*,1 N i1 x P( X x ) i i N x P( X x ) P( X x ) i i i i1 i1 N N x P( X x ) P( X x ) i i i i1 i1 N = = 1 Sempre será zero! 25

26 P (X = x) Medidas de Dispersão , X X - X P(X = x) 2,5 1,1 1,5 2,15,5 3,25,5 4,25 1,5 5,15 2,5 6,1 N i1 Analisar média dos desvios absolutos da v.a. (em relação à média) xi P( X xi) 2,5*,1 1,5*,15,5*, 25,5*, 25 1,5*,15 2,5*,1 1,2 Desvio Absoluto Médio 26

27 P (Y = y) Medidas de Dispersão , Y Y - Y P(Y = y) 1,68 1,1,68 2,45,32 3,22 1,32 4,15 2,32 5,6 3,32 6,2 N i1 Analisar a média dos desvios absolutos da v.a. (em relação à média) yi P( Y yi),948 Desvio Absoluto Médio 27

28 Medidas de Dispersão Desvio Absoluto Médio N DAM x P( X x ) i1 i i v.a. discretas DAM x f ( x) dx v.a. contínuas Possui a mesma unidade da média e da v.a. Apresenta o inconveniente de ser de difícil manipulação algébrica 28

29 P (X = x) Medidas de Dispersão , X (X - ) 2 X P(X = x) 6,25 1,1 2,25 2,15,25 3,25,25 4,25 2,25 5,15 6,25 6,1 N i1 Analisar a média dos desvios quadráticos da v.a. (em relação à média) 2 x P( X x ) 6, 25*,1 2, 25*,15, 25*, 25 i i, 25*, 25 2, 25*,15 6, 25*,1 2,5 Variância ( 2 ) 29

30 P (Y = y) Medidas de Dispersão , Y (Y - ) 2 Y P(Y = y) 2,822 1,1,462 2,45,12 3,22 1,742 4,15 5,382 5,6 11,22 6,2 N Analisar a média dos desvios quadráticos da v.a. (em relação à média) y 2 i P( Y yi) 1,318 i1 Variância ( 2 ) 3

31 Medidas de Dispersão Variância 2 N i1 2 x P( X x ) i i v.a. discretas 2 x 2 f ( x) dx v.a. contínuas Pode ser manipulada algebricamente Valores não são facilmente interpretados Possui a unidade da v.a. ao quadrado (Ex. X em o C, 2 em o C 2 ) Desvio Padrão () é a raiz quadrada da Variância possui a mesma unidade de X 31

32 Medidas de Dispersão Quando duas ou mais variáveis são comparadas quanto a sua dispersão, a variância (ou o desvio padrão) não pode ser utilizada se estas variáveis possuírem diferentes unidades. Exemplo: X é altura (m) e Y é biomassa (kg) Neste caso, adota-se uma medida adimensional: Coeficiente de Variação CV Mede a variação relativa a média Adimensional Pode ser expresso em porcentagem (mas pode ter valores maiores que 1%) Não pode ser utilizado quando = 32

33 Momentos Uma v.a. pode também ser caracterizada através dos momentos, calculados a partir de sua distribuição Momento (ordinário) ou Esperança (matemática) de ordem k: v.a. discreta v.a. contínua N k k k i i E( X ) ( ) k E( X ) x P X x i1 Momento centrado (na média) de ordem k v.a. discreta N k k ( ) ( i ) i k E X x P X x i1 x f x dx lê-se: k-ésimo momento de X ou Esperança (matemática) da k-ésima potência de X v.a. contínua k E ( X ) ( x ) f ( x) dx OBS: EX ( ) E ( X ) 2 2 E X média = 1 o momento = esperança (matemática) = valor esperado de X E X 2 2 ( ) ( ) variância = 2 o momento centrado = esperança da diferença quadrática de X em relação a média 33

34 Outras medidas Quantil quartil (Q i ): divide a distribuição em 4 partes (mediana = 2 o quartil) distância interquartil: 3 o quartil - 1 o quartil (prob = 5%) decil (D i ): divide a distribuição em 1 partes (mediana = 5 o decil) percentil (P i ): divide a distribuição em 1 partes (mediana = 5 o percentil),14 Curtose (achatamento) C E E ( X ) ( X ) C ' Q3 Q1 2 D D 9 1 C = 3 ou C ' =,263 mesocúrtica (distr. Normal) C < 3 ou C ' <,263 platicúrtica C > 3 ou C ' >,263 leptocúrtica,12,1,8,6,4, OBS: Excesso de curtose = C 3 ou C ',263 (mede a diferença em relação à distr. Normal) Assimetria (obliquidade) 3 E ( X ) A 2 E ( X ) 3/2 A' Q1Q 32Mediana Q Q 3 1 A = ou A ' = simétrica A < ou A ' < assimétrica à esquerda (média < mediana < moda) A > ou A ' > assimétrica à direita (média > mediana > moda) 34

35 Assimetria e Curtose A = (simétrica) C = 1,99 (platicúrtica) média mediana moda A = (simétrica) C = 5,1 (leptocúrtica) média mediana moda A = (simétrica) moda mediana média C = 3 (mesocúrtica) A = -1,19 (assimétrica à esquerda) C = 4,77 (leptocúrtica) A = 1,19 (assimétrica à direita) C = 4,77 (leptocúrtica) 35

36 Transformação e Combinação de V.A. Suponha que uma v.a. seja obtida através de uma transformação de uma outra v.a. ou através da combinação de várias v.a., é possível conhecer a média (esperança) e a variância desta nova v.a. em função da(s) média(s) e variância(s) da(s) v.a. da(s) qual(is) ela se originou? Principais transformações/combinações: Y X o Y gx onde o e g são constantes Y X W 36

37 P (X = x) Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 Y X o EX ( ) 3,5 Var( X ) 2, X Ex: Y X 3 Y X P(X = x),1,15,25,25,15,1 + 3 = EY ( ) 4*,1 5*,15 9*,1 6,5 Var Y E Y E Y 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 44,3 42,25 2,5 37

38 Propriedades da Esperança e Variância,25,2,15,1 Y X o,5 E( Y ) E( X o) E( X ) o Var( Y ) Var( X o) Var( X ) X,25,2,15,1,5 Y X 15 38

39 P (X = x) Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2, Y gx X Ex: Y 3X Y X P(X = x),1,15,25,25,15,1 * 3 * 9 = 3 2 EY ( ) 3*,1 6*,15 18*,1 1,5 Var Y E Y E Y 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 128,7 11,25 18,45 39

40 Propriedades da Esperança e Variância,25,2,15,1 Y gx,5 E( Y ) E( gx ) ge( X ) Var Y Var gx g Var X 2 ( ) ( ) ( ) X,25,2,15,1,5 Y 3X 4

41 Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2,5 W P(W= w),1,45,22,15,6,2 EW ( ) 2,68 Var( W ) 1,318 Y X W Y = {?, {2,...,?} 12} Distribuição Conjunta de X e W X W W P(W = w i ) , , , , , ,2 P(X = x i ),1,15,25,25,15,1 1 PY ( 3)? P( X 1; W 2) P( X 2; W 1) P( X 1; W 2)? X 41

42 Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2,5 W P(W= w),1,45,22,15,6,2 EW ( ) 2,68 Var( W ) 1,318 Y X W Y = {2, {?,..., 12}?} Distribuição Conjunta de X e W X W W P(W = w i ) ,1,15,25,25,15,1, ,45,675,1125,1125,675,45, ,22,33,55,55,33,22, ,15,225,375,375,225,15, ,6,9,15,15,9,6, ,2,3,5,5,3,2,2 P(X = x i ),1,15,25,25,15,1 1 PY ( 3)? P( X 1; W 2) P( X 2; W 1) P( X 1; W 2)? P( X 1) P( W 2) considerando que X e W sejam independentes X 42

43 Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2,5 W P(W= w),1,45,22,15,6,2 EW ( ) 2,68 Var( W ) 1,318 Y X - W E( Y ) y P( Y y ) i i E( X - W )? ( x - w ) P( X x ; W w ) i j i j i j x P( X x ; W w ) - w P( X x ; W w ) i i j j i j i j i j x P( X x ; W w ) - w P( X x ; W w ) i i j j i j i j j i x P( X x ) - w P( W w ) i i i i j j j E( X ) - E( W) 3,5 2,68 6,18,82 X W P(W = w i ) 1,1,15,25,25,15,1,1 2,45,675,1125,1125,675,45,45 3,22,33,55,55,33,22,22 4,15,225,375,375,225,15,15 5,6,9,15,15,9,6,6 6,2,3,5,5,3,2,2 P(X = x i ),1,15,25,25,15,1 1 E( X W) E( X ) E( W ) 43

44 Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2,5 W P(W= w),1,45,22,15,6,2 EW ( ) 2,68 Var( W ) 1,318 Y X W 2 2 Var( Y) E Y E Y Var( X W )? E ( X W ) 2 E( X W ) E X 2 XW W E( X ) E( W ) 2 E( X ) 2 E( XW ) E( W ) E( X ) 2 E( X ) E( W ) E( W ) E X E X E W E W E XW E X E W ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) Var( X ) Var( W ) COV ( X, W) covariância entre X e W 44

45 Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2,5 W P(W= w),1,45,22,15,6,2 EW ( ) 2,68 Var( W ) 1,318 Y X W 2 2 Var( Y) E Y E Y Var( X W )? E ( X W ) 2 E( X W ) E X 2 XW W E( X ) E( W ) 2 E( X ) 2 E( XW ) E( W ) E( X ) 2 E( X ) E( W ) E( W ) E X E X E W E W E XW E X E W ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) Var( X W) Var( X ) Var( W) 2 COV ( X, W) 45

46 Propriedades da Esperança e Variância X P(X = x),1,15,25,25,15,1 EX ( ) 3,5 Var( X ) 2,5 W P(W= w),1,45,22,15,6,2 EW ( ) 2,68 Var( W ) 1,318 Y X - W 2 2 Var( Y) E Y E Y Var( X - W )? E ( X - W ) 2 E( X - W ) E X - 2 XW W E( X ) - E( W ) 2 E( X ) - 2 E( XW ) E( W ) E( X ) + 2 E( X ) E( W ) E( W ) E X E X E W E W E XW E X E W ( ) ( ) ( ) ( ) - 2 ( ) ( ) ( ) Var( X W) Var( X ) Var( W) 2 COV ( X, W) se X e W são independentes: E( XW ) E( X ) E( W) Var( X W) Var( X ) Var( W) Var( X W) 2,5 1,318 3,368 46

47 Propriedades da Esperança e Variância Resumo: Y X o E( Y ) E( X o) E( X ) o Var( Y ) Var( X o) Var( X ) Y gx E( Y ) E( gx ) ge( X ) 2 Var( Y ) Var( gx ) g Var( X ) Y X W E( Y ) E( X W ) E( X ) E( W ) Var( Y) Var( X W) Var( X ) Var( W) 2 COV ( X, W) Var( Y) Var( X W) Var( X ) Var( W) (independentes) sempre soma! 47

48 Banda TM3/Landsat Brilho e Contraste Imagem original (I) Em Processamento de Imagens, é comum se referir à média como brilho e variância como contraste. Uma imagem de baixo brilho é uma imagem escura, ou seja, sua média é baixa. Por outro lado, uma imagem de alto brilho é uma imagem clara, com média alta. Média: 29,7 Variância: 62,14 Uma imagem de baixo contraste é uma imagem cujos alvos são de difícil distinção, possuindo baixa variância. Por outro lado, uma imagem de alto contraste possui alvos bem distintos (objetos claros e escuros), possuindo assim alta variância

49 Banda TM3/Landsat Brilho e Contraste Imagem original (I) I nova = I + 5 I nova = I + 1 Média: 29,7 Variância: 62,14 Média: 79,7 Variância: 62,14 Média: 129,7 Variância: 62,

50 Banda TM3/Landsat Brilho e Contraste Imagem original (I) I nova = 2*I I nova = 4*I Média: 29,7 Variância: 62,14 Média: 58,14 Variância: 248,55 Média: 116,29 Variância: 994,

51 Banda TM3/Landsat Brilho e Contraste Imagem original (I) I nova = 5*I - 11 I nova = -5*I + 37 Média: 29,7 Variância: 62,14 Média: 35,36 Variância: 1553,45 Média: 224,64 Variância: 1553,

52 Aplicações em Imagens alterar brilho (média) alterar contraste (variância) I nova = gi + o Exemplo 1: Tem-se uma imagem qualquer com média 1 e variância 15. Desejase aumentar o contraste dessa imagem, aumentando-se sua variância para 6. Qual deve ser o ganho aplicado nessa imagem? Qual será a média da imagem após a aplicação desse ganho? Var I 2 ( nova ) g Var( I) 2 6 g g 15 E( I ) ge( I) nova g

53 Aplicações em Imagens alterar brilho (média) alterar contraste (variância) I nova = gi + o Exemplo 2: Tem-se uma imagem qualquer com média 1 e variância 15. Desejase aumentar o contraste dessa imagem, aumentando-se sua variância para 6, sem alterar seu brilho (ou seja, mantendo a média em 1). Quais devem ser o ganho e o offset aplicados nessa imagem? Var I 2 ( nova ) g Var( I) 2 6 g g 15 g 4 2 E( I ) ge( I) o nova 1 21 o o Inova 2I 1 53

54 Aplicações em Imagens Observações: A aplicação de um ganho e um offset sobre uma imagem representada por inteiros como, por exemplo, imagens de 8 bits (256 níveis de cinza), pode resultar em valores não inteiros. Exemplo: Inova 1,29 I 45,7 Se I = 78 então I nova = 54,92 Este resultado pode ser convertido para inteiro por truncamento ou por arredondamento, ou seja, para 54 ou 55 respectivamente O resultado pode estar fora do escopo permitido para aquele tipo de imagem Se I = 249 então I nova = 275,51 Se I = 1 então I nova = -32,8 Geralmente, estes resultados são saturados no zero (se negativo) ou 255 (se maior que 255). Nesses casos, os valores de média e variância da imagem resultante podem não corresponder aos valores teóricos. 54

55 Aplicações em Imagens Min Max Média Desv.Pad. TM ,1 34,3 TM ,47 16,95 TM ,28 16,9 ganho offset TM5 1,93-89,44 TM4 3,4-163,2 TM3 3,355-14,13 Teórico Min Max Média Desv.Pad. TM5-74,22 357,76 78,22 65,27 TM4-112,2 329,8 113,81 57,64 TM3 3,36 67,3 68,4 53,98 Real Min Max Média Desv.Pad. TM ,29 61,44 TM ,19 44,4 TM ,75 53,82 55