Prof. Luiz Felix Unidade II MATEMÁTICA APLICADA
Ajuste de curvas É um método que consiste em encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos e que, possivelmente, cumpra uma série de parâmetros adicionais. Custo Total X Quantidade Custo Total em R$ 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 Quantidade em unidades
Ajuste de curvas Teoria de interpolação obtenção de funções que passem exatamente pelos pontos dados. Teoria de aproximação obtenção de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados.
Método dos mínimos quadrados Consiste em um dos mais simples e eficazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando temos uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados.
Regressão linear equação da reta y = A.x + B n = número de pontos observados. x = soma dos valores de x. y = soma dos valores de y. x.y = soma dos produtos entre x e y. x2 = soma dos quadrados dos valores de x. x = x e y = y (médias de x e y). n n
Regressão linear exemplo Uma empresa produz uma determinada quantidade de produtos (x) e tem seu custo (y) de acordo com a tabela abaixo. Qual a curva que se adapta melhor para o conjunto de pontos e qual a previsão de custo para 10 unidades do produto? X y 1 95 2 139 3 205 4 251
Regressão linear exemplo y = A.x + B x y x.y x 2 1 95 95 1 2 139 278 4 3 205 615 9 4 251 1004 16 =10 =690 = 1992 =30
Regressão linear exemplo y = A.x + B Sendo x = 10 e y = 690, temos: x = 10 = 2,5 y = 690 = 172,5 4 4 A = 1992 4.(2,5).172,5 = 1992 1725 = 53,4 30 4.(2,5)2 30 25
Regressão linear exemplo B = y A.x = 172,5 53,4. 2,5 = 39 y = A.x + B y = 53,4.x + 39 Para 10 unidades o custo será: y = 53,4.x + 39 y = 53,4. 10 + 39 = 573
Interatividade Determine a equação da reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos: a) y = 0,24.x 2,72. x y b) y = 0,24.x + 2,72. 20 2 c) y=055x+389 0,55.x 3,89. 25 3 d) y = 2,72.x + 0,24. e) y = 3,89.x 0,55. 30 5 40 7 50 9
Resposta A alternativa correta é: a) y = 0,24.x 2,72.
Regressão linear resolução y = A.x + B x y x.y x 2 20 2 40 400 25 3 75 625 30 5 150 900 = 40 7 280 1600 50 9 450 2500 165 26 995 6025
Regressão linear resolução y = A.x + B Sendo x = 165 e y = 26, temos: x = 165 = 33 y = 26 = 5,2 5 5 A = 995 5.(33).5,2 = 995 858 = 137 = 0,24 6025 5.(33) 2 6025 5445 580 B = 5,2 0,24.33 = 5,2 7,92 = 2,72 y = 0,2.4x 2,72
Matemática financeira De modo geral, podemos afirmar que a matemática financeira é a divisão da matemática aplicada que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.
Juros Juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada, previamente, durante um determinado prazo. A incidência de juros é resultado de vários fatores, dentre os quais podemos destacar: inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo. risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento.
Taxa de juros A taxa de juros pode se apresentar na forma porcentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11) e é simbolizada pela letra i. Forma Porcentual 30% a.m. 3% a.a. 23,5% a.d. Transformação 30 100 _3_ 100 23,5 100 Forma Unitária 0,30 a.m. 0,03 a.a. 0,235 a.d.
Taxas de juros exercícios Passe para a forma unitária os seguintes valores: 0,5% a.a. 0,005 a.a. 2% a.s. 0,02 a.s. 10% a.t. 01at 0,1 a.t. 17,5% a.d. 0,175 a.d. Passe para a forma porcentual os seguintes valores: 0,003 a.b. 0,3% a.b. 0,04 a.m. 4% a.m. 0,5 a.a 50% a.a. 0,18 a.d. 18% a.d.
Fluxo de caixa Linha horizontal é a escala do tempo. O ponto 0 indica o ponto inicial. Demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas). Entradas de Caixa ( + ) 0 1 2 3 4 5 6 7 tempo Saídas de Caixa ( - )
Juros simples Juros de cada período incide sobre o capital inicial aplicado juros não rendem juros. Crescimento linear ou em progressão aritmética. Poucas são as operações financeiras e comerciais.
Juros simples * Crescimento de 40% em 4 períodos.
Taxas e tempo Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Exemplos: 36% a.a. = 36/12 = 3% ao mês. 36% a.a. = 36/6 = 6% ao bimestre. 36% a.a. = 36/4 = 9% ao trimestre. 36% a.a. = 36/2 = 18% ao semestre.
Juros simples taxas e tempo exercícios Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? Resposta - 8/2 = 4% ao mês. Qual a taxa mensal equivalente a 3% ao trimestre? Resposta - 3/3 = 1% ao mês. Qual a taxa mensal equivalente a 24% ao semestre? Resposta - 24/6 = 4% ao mês.
Interatividade Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano. b) 0,5% ao ano. c) 6% ao ano. d) 12% ao ano. e) 24% ao ano.
Resposta A alternativa correta é: e) 24% ao ano.
Juros simples fórmulas J = C. i. n Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros n = número de períodos M = C + J ou M = C.(1 + i.n) Onde: M = montante
Juros simples exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = 3000. 2. 5 M = 3000 + 30000 J = 30000 M = 33000 J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 Resolução incorreta
Juros simples exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = 3000. 0,02. 5 M = 3000 + 300 J = 300 M = 3300 J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00
Juros simples exemplo Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = 15000 n = 80 dias i = 30% a.a. J =? J = C.i.n J = 15000. 0,3. 80 J = 360000 J = R$ 360.000,00 Resolução incorreta
Juros simples exemplo Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = 15000 n = 80 dias i = 30% a.a. = 2,5% a.m. = 0,0833% a.d. J =? J = C.i.n J = 15000. 0,000833. 80 J = 999,6 J = R$ 999,60
Juros simples exemplo Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obter R$ 6.000,00 de juro em 4 meses: C =? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n 6000 = C. 0,06. 4 6000 = C. 0,24 C = 6000 = 25000 0,24 C = R$ 25.000,00
Interatividade Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. por quatro meses e quinze dias: a) R$ 150,00. b) R$ 23.400,00. c) R$ 702,00. 00 d) R$ 70.200,00. e) R$ 234,00.
Resposta A alternativa correta é: e) R$ 234,00. Dica para a resolução: i = 13% a.t. i = 4,3333333% a.m. i = 0,1444444% a.d. n = 4 meses e 15 dias = 135 dias J = 1200. 0,0014444. 135 = 234 J = R$ 234,00
Juros compostos Juros de cada período incide sobre o capital do início do período (saldo) juros rendem juros. Crescimento exponencial ou em progressão geométrica. É o mais comum no sistema financeiro.
Juros compostos Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:
Juros compostos fórmula M = C.(1 + i) n Onde: M = montante C = capital i = taxa de juros n = número de períodos
Juros compostos exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 = 6000.3,06 = 18360 M = R$ 18.360,00 Resolução incorreta
Juros compostos exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20 M = C + J 6367,20 = 6000 + J J = 6367,20 6000 = 367,20 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20.
Juros compostos exemplo Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i)n 3500 = C.(1+0,025)12 3500 = C(1,025)12 3500 = C1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449 O capital é de R$ 2.602,42.
Interatividade Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.240,00. b) R$ 5.065,90. c) R$ 16.240,00. d) R$ 4.245,45. e) R$ 5.040,65.
Resposta A alternativa correta é: d) R$ 4.245,45. Resolução: C = 4000 i = 1,5% a.m. n = 4 meses M = C.(1 + i)n M = 4000.(1+0,015)4 M = 4000.(1,015)4 = 4000.1,0613634 M = 4.245,45 M = R$ 4.245,45
ATÉ A PRÓXIMA!