Energia de Fermi de 2N electrões Ângelo Dias N.º 65087 Mariana Branco N.º 65112 Física Quântica da Matéria Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 29 de Março de 2011 I. Resumo Neste trabalho é discutida a origem e o significado da energia de Fermi. Paralelamente, é resolvido o exercício 1 da Série 2 de problemas da disciplina de Física Quântica da Matéria, através do qual se demonstra a existência de uma proporcionalidade entre a energia de Fermi e a densidade de fermiões no modelo da partícula na caixa. II. Introdução O objectivo é expor a relevância do conceito de energia de Fermi nos sistemas quânticos, para que o resultado do exercício 1 da Série 2 de problemas seja imediato. A energia de Fermi,, é a energia do último nível ou estado de energia ocupado num determinado modelo quântico. Esta energia é medida à temperatura de 0K (zero absoluto), considerando-se assim o sistema de partículas no estado fundamental. Tal como o nome sugere, esta energia só tem significado físico quando aplicada a fermiões, partículas elementares que têm spin semi-inteiro e o qual obedece à estatística de Fermi-Dirac. De acordo com o Princípio de Exclusão de Pauli, não podem existir dois fermiões no mesmo estado e, por consequência, não podem existir mais de dois electrões por nível energético. Se se considerassem bosões, partículas elementares de spin inteiro, estes poderiam ocupar todos o mesmo nível, no estado fundamental iriam concentrar-se no primeiro nível energético, sendo a energia de Fermi igual à energia do primeiro estado, ou seja do nível fundamental. III. Desenvolvimento do Problema Num poço de potencial infinito e unidimensional, existem 2N electrões. Calcule a energia do último estado ocupado (energia de Fermi) a 0K e mostre que é proporcional à densidade de electrões por unidade de comprimento. Estatística de Fermi-Dirac Publicada em 1926 por Enrico Fermi e Paul Dirac, a estatística de Fermi-Dirac explica a distribuição de fermiões ao longo dos vários níveis de Energia num sistema a uma dada temperatura. Esta estatística é expressa através da seguinte expressão: Esta tem em conta não só o Princípio de Exclusão de Pauli como também despreza a interacção entre partículas (gás de Fermi). A expressão só toma valores entre 0 e 1, por isso o pode ser interpretado como a probabilidade de o estado com energia estar ocupado, a uma dada temperatura. Um conceito relevante para uma melhor interpretação da Estatística de Fermi-Dirac é o de potencial químico,. Sabe-se que para um gás de Fermi ou gás de electrões livres, uma versão quântica do gás ideal, e considerando a aproximação, se pode expandir o pontencial químico como uma função da energia de Fermi, através da seguinte expressão [3] : 1
Ora, note-se que para a temperatura zero absoluto, 0K, esta expressão resume-se a Este resultado é importante uma vez que é o potencial químico e não a energia de Fermi que é referenciado na estatística de Fermi-Dirac. No limite de temperaturas muito baixas, isto é, a expressão transforma-se numa função de Heaviside. Este resultado indica que para os fermiões vão ocupar todos os níveis de energia abaixo da energia de Fermi ao passo que nenhum poder-se-á encontrar a cima desta. Assim, a energia de Fermi será energia do último estado ocupado num sistema de fermiões. Por outro lado, para altas temperaturas abandona-se o regime quântico e entra-se no domínio clássico, pelo que a estatística de Fermi- Dirac aproximar-se-á da estatística de Maxwell- Boltzmann (Fig.2). Fig. 2 - Gráfico da Estatística de Fermi-Dirac para vários valores de T. Equação de Schrödinger - Partícula na caixa [1-2] O modelo da partícula na caixa descreve o comportamento de uma partícula quando esta se encontra confinada num espaço de potencial nulo e fronteiras de potencial infinito. Logo, temos no limite (Fig.1): Fig. 1 Gráfico da função da Estatística de Fermi-Dirac para. Fig. 3 Modelo partícula na caixa a uma dimensão, centrada em L/2. 2
Este modelo pode ser adoptado em várias situações, por isso o seu estudo é deveras importante. Partindo da equação de Schrödinger é possível obter as funções de onda da partícula e respectivos valores próprios, as Energias. Note-se que nos cálculos anteriores se verificou que: com ; Como a partícula sente um potencial nulo em, então : Assim, podemos concluir que a energia só pode tomar alguns valores consoante o valor do número quântico principal Com. Esta equação diferencial tem como solução as funções do tipo: Como é possível verificar, todos os cálculos realizados anteriormente têm em conta que a caixa encontra-se em. Por conseguinte, se centrarmos a caixa na origem do referencial (considere-se ), estes resultados sofrem uma ligeira alteração, como se demonstra de seguida. Condições Fronteira: Onde as constantes são determinadas recorrendo às condições de fronteira e à normalização da função. Condições Fronteira: ; Para que a solução deste sistema ser possível é necessário separar as duas soluções possíveis, par e ímpar ( ). - Solução par: Assim, a função de onda de uma partícula confinada à caixa da Figura 3 é: Após normalização tem-se como solução: A constante é determinada recorrendo à imposição de normalização da função, isto é,. - Solução ímpar: 3
Novamente, após normalização tem-se a solução: Como se pode verificar, a energia de Fermi é proporcional à densidade de electrões por unidade de comprimento, IV. Resultados e Discussão Partícula na caixa a 1-dimensão Se considerarmos o modelo da partícula na caixa centrado em, então sabe-se, tal como demonstrado anteriormente que a energia dos estados ocupados é dada por: Ora, tal como o enunciado indica, existem 2N electrões para serem distribuídos pela caixa, pelo que, de acordo com o Principio de exclusão de Pauli, só podem estar 2 electrões por nível (dois estados de spin opostos). Assim temos que, Centrado o poço de potencial na origem a energia de Fermi deve permanecer constante já que a energia é independente do referencial. Assim, mudando de referencial, podemos chegar ao mesmo resultado. Da mesma forma que existem duas soluções (par e ímpar) do modelo da partícula na caixa centrada em x=0, também existem duas energias associadas e. Pelas condições fronteira estabelecidas anteriormente e para Para a solução par: tem-se que: O que significa que o número de níveis ocupados será (Fig.4). 1 Para a solução ímpar: Como existe uma degenerescência (par e ímpar) associada a cada nível m (Fig.4), então por cada um poderão estar quatro electrões, dois no nível n ímpar e dois no nível n par.. Fig. 4 - Partícula na caixa centrada em x=l/2, com dois electrões por nível. Como a energia de Fermi corresponde à energia do último estado ocupado, esta tem a seguinte expressão: 1 Note-se que, se o número de partículas fosse era necessário ter em conta o facto de este poder ser um número ímpar, pelo que nesse caso o número de níveis ocupados seria Fig. 4 Partícula na caixa centrada em x=0. Degenerescência dos níveis m. 4
Como no total existem 2N electrões, então ocupado corresponde ao nível, ou seja o último nível Além disso, verifica-se pelas equações e que a energia do estado ímpar é sempre superior à do estado par, qualquer que seja o nível n. Consequentemente, no último nível ocupado a maior energia corresponderá à energia do estado ímpar. Finalmente, para calcular a energia de Fermi, substitui-se em o nível : número de combinações possíveis corresponde à degenerescência de cada energia. Para simplificar o problema para N electrões, procura-se quantos tripletos existem tal que a energia total seja menor que a energia de Fermi. Como tal, considerando que cada tripleto formado se encontra numa determinada zona no espaço tridimensional, então se forem muitos tripletos, será uma boa aproximação considerar que devem estar todos dentro de uma esfera de raio R (Fig.5). Recordando a mudança de variáveis entre os referenciais,, verifica-se que Adicionalmente, sabe-se que os valores de, e são sempre positivos. Logo, o número de pontos equivale a um oitavo ao volume de esfera, correspondente ao 1º octante: tal como seria espectável. Também se verifica, por fim, que a energia de Fermi é proporcional à densidade de electrões por unidade de comprimento,. Partícula na caixa a 3-dimensões [2,4] Como curiosidade explica-se a dedução da energia de Fermi para o caso 3D do modelo tratado. Nesta situação, tal como se considera que a função de onda total é o produto das funções de onda em cada eixo, também se considera que a energia total é a soma da energia da partícula unidimensional, 0<x<L, por cada eixo x i, i=1,2 e 3: Fig.5 Contagem no número de estado para um sistema de partículas independentes. Sabendo ainda que o número de electrões com energia inferior à é o dobro do número de níveis possíveis (dois estados spin possíveis), deduz que a energia de Fermi pode ser dada por: 32 com. O número de electrões para cada energia, vai ser uma combinação de, e tal que corresponda a um mesmo valor. O Desta vez, a energia de Fermi deixa de ser proporcional à densidade de electrões por unidade de comprimento para ser proporcional à densidade de electrões por unidade de volume, 5
V. Conclusões Na resolução deste exercício verificou-se que a Energia de Fermi é uma consequência da aplicação da estatística de Femi-Dirac num sistema de fermiões à temperatura de 0K. Assim a muito baixas temperaturas os fermiões só podem ocupar determinados estados com energia inferior à energia de Fermi. Através do seu cálculo, constatou-se que a energia de Fermi é proporcional à densidade de partículas. No caso 1D, proporcional ao comprimento, enquanto que no caso 3D proporcional ao volume. Este facto é congruente do ponto de vista físico, já que quanto maior o numero de fermiões mais níveis de maior energia têm de ser ocupados. Adicionalmente, conclui-se que independentemente do referencial que seja adoptado a energia é sempre igual em ambos os casos. Esta energia pode ser calculada em diversos modelos quânticos, sendo que o da partícula na caixa é o mais adoptado, por ser, na maioria dos casos, uma boa aproximação da realidade em estudo. Por fim, é importante salientar a relevância física do conceito de energia de Fermi. Esta permite não só compreender algumas propriedades dos fermiões como também ser aplicada em várias tecnologias, como os semicondutores. VI. Referências: [1] - Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths, Second Edition, Prentice Hall; [2] - Quantum Physics, Stephen Gasiorowicz, Third Edition, Wiley, 2003; [3] - http://www.mi.infm.it/manini/dida/fermi. gas.notes.html, visitado a 2/04/2011; [4] - http://physics.valpo.edu/courses/p430/ppt /FGM.pdf, visitado a 2/04/2011; 6