Frente 1 Algumas coisas retiradas de: http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm Critério 01: Função Quadrática: Introdução: Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos: As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções. Detalhes importantes: o Na equação, a pode ser: positivo, negativo, fração, decimal, MAS NÃO PODE SER IGUAL A ZERO! o Na equação, c determina o ponto onde a parábola corta o eixo y. o Na equação, b determina a inclinação da reta quando corta o eixo y. Ex: se b é positivo, a reta é crescente. Se b é negativo, a reta é decrescente.
Para saber a concavidade de uma parábola basta lembrar que: Quando a>0 sua concavidade está voltada para baixo. Quando a<0 sua concavidade está voltada para cima. O ponto máximo ou ponto mínimo é o vértice da função. Para sabermos e é máximo ou mínimo, precisamos lembrar que: Quando a>0 a função tem ponto mínimo. Quando a<0 a função tem ponto máximo. Ponto máximo/mínimo e concavidade no gráfico: O conjunto imagem da função é determinado por: Se a concavidade da estiver voltada para baixo (a>0), o conjunto imagem será: Im=[Yv,+ ) Se a concavidade da estiver voltada para cima (a<0), o conjunto imagem será: Im=(-,Yv] Crescimento e decrescimento: Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente. Concavidade voltada para cima: o Decrescente do -infinito ao Xv. S=(-,Xv] ou S= {xer/x<xv} o Crescente do Xv ao infinito. S=[Xv,+ ) ou S= {xer/x>xv} Concavidade voltada para baixo: o Crescente do -infinito ao vértice. S=(-,Xv] ou S= {xer/x<xv} o Decrescente do vértice ao infinito. S=[Xv,+ ) ou S= {xer/x>xv} Estudo dos sinais: retirado de http://www.brasilescola.com/matematica/sinais.htm Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação. Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo. o = 0, uma raiz real. o > 0, duas raízes reais e distintas o < 0, nenhuma raiz real. Para determinar o valor de e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara. (veja ao lado as fórmulas do método de Bháskara)
o Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima o Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo Exemplo 1 y = x² 3x + 2 x² 3x + 2 = 0 Aplicando Bháskara = ( 3)² 4 * 1 * 2 = 9 8 = 1 A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas. Análise do gráfico o x < 1 ou x > 2, y > 0 o Valores entre 1 e 2, y < 0 o x = 1 e x = 2, y = 0 Frente 2 Critério 01: Funções trigonométricas Arcos côngruos (as demais voltas no ciclo trigonométricas) São arcos de mesma extremidade que se diferem pelo número de voltas. Primeiramente vamos estudar os ângulos negativos: Quando o ângulo for negativo, girará no sentido horário (ao contrário dos ângulos positivos que giram no sentido anti-horário). Observe: 120-120 : Para descobrir qual seria seu ângulo equivalente nos ângulos positivos, precisamos calcular:, onde é o valor do ângulo negativo. (Mantém o valor, porém com sinais opostos). Lembre-se: 1ª determinação positiva é o ângulo no ciclo trigonométrico positivo e 1ª determinação negativa é o ângulo no ciclo trigonométrico positivo. Exemplo: Qual a 1ª determinação positiva para o ângulo de -120? 1ª determinação negativa: -120 1ª determinação positiva: 360-120 =240 Lembre-se: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante, cotangente da 1ª determinação positiva e 1ª determinação negativa são iguais. Juntas, a 1ª determinação positiva e a 1ª determinação negativa formam 360. Portanto outra forma de achar as determinações é: (1ª determinação positiva)+(1ª determinação negativa)=360 Para achar o número de voltas de um ângulo e qual seria o ângulo equivalente no ciclo trigonométrico, basta dividir o valor do ângulo por 360. O que sobrar (o resto) antes de chegar a um número com vírgula é o ângulo correspondente no ciclo trigonométrico de 360. Exemplo: 1ª determinação positiva de -820: -820:360=-2 com resto -100. (negativo pois o ângulo inicial é negativo). 1ª determinação negativa: -100 1ª determinação positiva: 360-100=260 Funções trigonométricas (função seno, cosseno e tangente): retirado dehttp://www.brasilescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:
o 9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta o 13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta o 17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente. Características da função seno É uma função f : R R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe: Gráfico da função f(x) = senx Características da função cosseno É uma função f : R R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = cosx Características da função tangente É uma função f : R R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. Sinais da função tangente: o Valores positivos nos quadrantes ímpares. o Valores negativos nos quadrantes pares. o Crescente em cada valor. Observe: Gráfico da função tangente