A MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO DE FUNÇÕES AFINS RESUMO Fabiane Fischer Figueiredo - UNIFRA¹ Profª. Drª. Eleni Bisognin - UNIFRA² O presente trabalho visa apresentar algumas considerações quanto ao uso da Modelagem Matemática no ensino de funções afins. Para isso, na tentativa de fornecer subsídios aos professores de Matemática do primeiro ano do ensino médio, foi feita a comparação entre as opções de comissão a serem recebidas por uma vendedora dos produtos da Revista Avon e foram construídos modelos matemáticos que descreveram esta situação. Tendo em vista que no Brasil, existem dois tipos de comissões pagas a uma vendedora de produtos da Avon: a comissão obtida da venda direta e semi-direta, torna-se possível a análise das vantagens e desvantagens entre ambas. Deste modo, podemos analisar tanto matemática como socialmente a situação-problema, já que muitas pessoas vivem da renda obtida dessas comissões. Sobretudo, a situação-problema analisada permite o estudo de modelos matemáticos, descritas por funções e a construção de gráficos representativos dessas situações com o uso de programas computacionais. Assim sendo, podemos concluir que a utilização de situações-problema e a construção de modelos matemáticos representativos de tais situações é uma estratégia eficaz para o ensino da Matemática. Palavras-chaves: Modelagem Matemática, ensino de funções afins. INTRODUÇÃO Nos dias atuais, um professor de Matemática comprometido com seu papel enquanto profissional do ensino desta ciência deve servir de mediador entre as vivências diárias dos alunos e os conhecimentos transmitidos em sua aula. Sabemos que, o ensino da Matemática na maior parte das vezes, está desconectado da realidade do aluno, o que acaba por tornar-se inútil e até sem sentido já que muitos conteúdos repassados em aula acabam por serem esquecidos, sem utilidade para a vida do aluno. A Modelagem é uma metodologia de ensino da Matemática que visa obter um modelo que sirva para solucionar situações-problema da realidade do aluno e que ao mesmo tempo dê suporte 1. Aluna do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática, do Centro Universitário Franciscano UNIFRA. 2. Doutora em Matemática, coordenadora e professora do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática, do Centro Universitário Franciscano UNIFRA.
2 para outras aplicações e teorias. Segundo Bassanezi (2002, p.174) um modelo matemático é um conjunto consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a algum fenômeno este pode ser físico, biológico, social ou psicológico. A Modelagem Matemática vem cada vez mais ganhando adeptos, ou seja, professores que com grande capacidade de inovação e criação procuram unir a realidade do aluno aos conhecimentos matemáticos, a partir da construção de modelos coerentes com a situação real. Diante disso, para exemplificar o que é um modelo matemático e seus respectivos usos no ensino de funções afins, pretende-se no decorrer deste trabalho analisar matematicamente dois tipos de comissões a serem pagas a uma revendedora de produtos da Revista Avon, com o propósito de obter informações sobre as vantagens e desvantagens entre as duas comissões, sob o ponto de vista dos conhecimentos matemáticos e sob o ponto de vista social, já que muitas pessoas em nosso país vivem da renda obtida nas vendas dos produtos dessa linha. DESCRIÇÃO DOS PROCEDIMENTOS EXECUTADOS EM SALA DE AULA A partir dos pressupostos referentes à metodologia denominada Modelagem Matemática e do assunto da vida cotidiana mencionada em questão neste trabalho, foi colocada aos alunos a proposta a ser analisada da seguinte maneira: Qual a proposta de comissão mais vantajosa: a da venda direta ou da venda semi- direta dos produtos da Revista Avon? Ao responder esta pergunta, tem-se como objetivo analisar do ponto de vista matemático, qual o tipo de comissão mais vantajosa a ser recebida por uma vendedora dos produtos da Revista Avon. Contudo, para obter-se maiores subsídios sobre o assunto e assim poder responder a questão proposta, foi entrevistada uma vendedora da Avon para conseguir as seguintes informações: Todo mês são lançadas duas Campanhas (duas revistas), onde há vendedoras que vendem direto e ganham 30% de comissão. Para tanto, é obrigatório participar das reuniões do grupo e vender alguns produtos que vem separado da revista, ou seja, produtos extras e que se não forem vendidos devem ser adquiridos pelas vendedoras. Uma segunda modalidade são as vendedoras que vendem semi-direto e ganham 20% de comissão. Essas vendedoras vendem para alguém que vende diretamente, sendo que estas não têm o compromisso de participar das reuniões e nem de
3 vender os produtos extras. Também, esse tipo de comissão não é oficial da Empresa Avon, pois foram as vendedoras que vendem diretamente que criaram essa modalidade para venderem mais e com ajuda de outras pessoas. Para estudar a situação-problema em sala de aula, foi fixado o valor dos produtos extras, equivalente a uma taxa de R$10,00 por mês. Além dessas informações e para aprofundar o tema, foi realizada uma pesquisa referente à história da empresa Avon e sua sistemática de venda: A Avon é uma empresa com alma feminina, já que seus produtos na grande maioria, são direcionados a esse público. Também, é na força feminina de vendas que a empresa aposta suas vendas. O sistema de vendas diretas no qual a empresa está fundamentada começou por vias indiretas, há quase 100 anos e nos Estados Unidos, quando o vendedor de livros David McConnell - fundador da Avon - começou a oferecer um frasco de perfume como brinde para os clientes que compravam os livros que vendia de porta em porta, em Nova York. Isso foi decisivo: McConnell acabou mudando de ramo, pois o sucesso do brinde foi maior do que o dos livros. Nasceu então a Califórnia Perfume, com ação de vendas a domicílio. Para tocar o negócio, McConnell convidou Florence Albee. Ela logo percebeu o potencial do negócio e resolveu recrutar outras mulheres para juntas, iniciarem um promissor mercado de trabalho. Nada mal para um público que na época não havia conquistado sequer o direito ao voto. O termo Avon foi adotado em 1939, inspirado na cidade natal de William Shakespeare: Stratford on Avon. O nome foi uma espécie de homenagem ao dramaturgo, pois McConnell era amante da literatura. Na década de 50, com o crescente sucesso dos perfumes Avon, a empresa resolveu expandir seus negócios, espalhando-se rapidamente pelos cinco continentes nas décadas seguintes. No Brasil, a Avon Cosméticos é líder em venda direta e a segunda unidade da corporação em vendas. Para se ter uma idéia, a cada três batons vendidos no mercado nacional dois são batons da Avon. Essa força de vendas - representada por um milhão de revendedoras autônomas - pode ser revelada pelos números do seu faturamento bruto: R$ 4 bilhões no ano de 2005. Instalada no país desde 1959, na cidade de São Paulo, onde se concentram o escritório e a fábrica, a companhia emprega ainda um time de mais de 4.000 funcionários, dos quais cerca de 60% são mulheres. Líder mundial em venda direta de cosméticos e produtos de beleza, a Avon conta atualmente com mais de 5 milhões de revendedoras, atuando em 140 países. Desse número, um milhão de
4 mulheres representam a força de vendas no Brasil. Mas esses são os números atuais. Desde sua fundação, há 115 anos, cerca de 40 milhões de mulheres já revenderam os produtos Avon. A empresa Avon imprime, todos os anos, mais de 600 milhões de folhetos de venda em mais de 12 idiomas. Somente no Brasil são aproximadamente 6 milhões de folhetos a cada 19 dias, que atingem cerca de 19 milhões de consumidores. A pesquisa realizada na Internet possibilitou aos alunos uma visão dos valores comercializados e do núcleo de empresas ofertadas pela empresa Avon. Por conseguinte, a situação colocada em sala de aula foi: Para aumentar a renda de sua família, uma pessoa decidiu vender os produtos da Revista AVON. Para ser uma revendedora, ela procurou a responsável pelas vendas em sua cidade, que lhe deu duas opções de comissão sobre os produtos vendidos: uma delas era vender os produtos diretamente, recebendo uma comissão de 30% sobre o total do lucro obtido. Dentro dessa proposta ela deveria participar de todas as reuniões e ainda pagar uma taxa de adesão ao grupo de R$ 10,00 mensais. Uma segunda alternativa seria venda semi-direto, na qual a representante receberia uma comissão de 20% e não pagaria a taxa de adesão mensal. Pergunta-se: Qual a proposta de comissão mais vantajosa, a da venda direta ou a semi-direta? Inicialmente, para responder à questão sugerida, os alunos construíram uma tabela com os valores correspondentes às comissões de venda direta e da semi-direta, conforme tabela abaixo: TOTAL VENDIDO EM R$ COMISSÃO DA VENDA DIRETA(R$) COMISSÃO DA VENDA SEMI DIRETA(R$) 0-10 0 10-7 2 20-4 4 30-1 6 40 2 8 50 5 10 60 8 12 70 11 14 80 14 16 90 17 18 100 20 20 110 23 22 120 26 24 130 29 26 140 32 28 150 35 30 160 38 32 170 41 34 180 44 36 190 47 38 200 50 40
5 Os valores usados na tabela acima, seguiram a seqüência de 10 em 10 reais para facilitar a análise dos valores. Também, o que pode-se observar é que a opção da comissão da venda direta dá prejuízo para a revendedora se esta efetuar vendas inferiores a R$ 100,00. Já ao contrário da comissão da venda semi-direta, que dá lucro até aproximadamente este valor. Logo: Se as vendas forem inferiores a R$ 100, 00 a 2ª proposta é a mais vantajosa. Logo, se as vendas forem superiores a R$ 100, 00 a 1ª proposta torna-se a mais vantajosa. Na comissão da venda direta, os valores variaram de 3 em 3 reais, começando em R$10,00 e na comissão da venda semi direta os valores variaram de 2 em 2 reais, começando em zero. Mas como determinar a comissão a ser recebida em qualquer valor total a ser vendido, se for de acordo com a 1ª proposta? E de acordo com 2ª proposta? No caso da venda direta, se X representa o valor em reais obtidos da venda dos produtos e considerando que a comissão da revendedora é de 30%, mas deve-se pagar uma taxa de R$10, 00 mensais então, em cada mês seu lucro é dado pala função f(x) = 0,30x 10. Esse modelo matemático descrito pala função afim, descreve o lucro obtido pala revendedora. Já na segunda opção, no caso da venda semi-direta, a vendedora recebe uma comissão de 20% sobre o valor obtido das vendas e neste caso o modelo matemático que descreve tal situação é g(x) = 0,20x. Representando esses modelos no mesmo sistema de eixos, obtém-se o seguinte gráfico: Ao analisarmos o gráfico é possível observarmos que os valores são inferiores a R$100,00 e que a venda semi-direta é mais vantajosa. Porém, a partir desses valores, a venda direta é mais
6 vantajosa. Por exemplo: se forem vendidos R$200,00 a comissão obtida na venda direta é de R$60,00 e na venda semi-direta é de R$40,00. Embora o valor da comissão obtida da venda semi-direta seja inferior ao da venda direta, é necessário fazer uma análise sob o ponto de vista social. Muitas vendedoras não têm condições de pagar a taxa mensal de adesão e nem capacidade de vender, portanto ser uma vendedora semidireta é ainda uma opção de trabalho para obter-se uma renda mensal. Ao analisarmos o gráfico podemos colocar em discussão algumas questões: a)que significado tem o coeficiente angular das retas? b)para que valor de vendas as vendedoras recebem comissões iguais? c)se o valor obtido das vendas forem R$80, 00,qual a diferença entre as comissões obtidas da venda direta e da semi-direta? Justifique porque nesse caso a comissão obtida da venda semidireta é mais vantajosa. d)ainda e de acordo com a história da empresa e do faturamento obtido no Brasil, qual é o valor aproximado das comissões de venda? Faça um comparativo das comissões de venda? Faça um comparativo com o valor do salário mínimo. CONCLUSÃO A partir da situação-problema descrita neste trabalho, foi possível concluirsse que a utilização da metodologia da Modelagem Matemática em atividades de sala de aula possibilita tanto ao professor quanto ao aluno relacionar situações reais com os conteúdos matemáticos. A situação trabalhada e a análise dos modelos matemáticos obtidos permitem a vendedora decidir qual a melhor opção de venda de acordo com a comissão recebida e qual situação que melhor que se adaptava às suas condições de venda. A aplicação dessa metodologia, em sala de aula, permitiu aos alunos a participação na construção dos modelos matemáticos representativos dessa situação e a utilização de programas computacionais para a construção dos gráficos desses modelos. Também, por meio da análise do gráfico, foram tomadas decisões e descobriu-se as vantagens de cada opção, levando em consideração não só o lucro, mas também as condições de trabalho da vendedora. Acredita-se que essa forma de trabalho em sala de aula proporciona ao aluno a vivência de sua cidadania, pois
7 essa metodologia compreende a teoria e a prática como uma dialética capaz de formar homens pensantes críticos e conscientes do seu papel no contexto social. Além disso, o conteúdo de funções afins é contextualizado e ao mesmo tempo o aluno é envolvido pelas diferentes nuances que o ensino desta disciplina apresenta. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. A HISTÓRIA DA EMPRESA AVON. 2006. Disponível em: <http: www.br.avon.com >. Acesso em: 10 jun. 2006.