INVESTIGANDO REGULARIDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR 99 A PARTIR DE UM PROBLEMA Ana Regina Zubiolo Rede Pública Estadual Paranaense zubieng@hotmail.

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1 INVESTIGANDO REGULARIDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR 99 A PARTIR DE UM PROBLEMA Ana Regina Zubiolo Rede Pública Estadual Paranaense [email protected] Magna Natalia Marin Pires Universidade Estadual de Londrina - UEL [email protected] Resumo: Este trabalho relata a descoberta de regularidades em resultados da multiplicação por 99, desencadeado por um problema apresentado numa aula de formação continuada do PDE Programa de Desenvolvimento Educacional, do Estado do Paraná. A partir da discussão das regularidades observadas na multiplicação por 99, utiliza-se o conhecimento construído para resolver o problema que motivou a investigação. Palavras-chave: Regularidades; Multiplicação, Investigação matemática. INTRODUÇÃO A primeira autora deste relato é professora da rede pública do Estado do Paraná e em 2008 ingressou no PDE Programa de Desenvolvimento Educacional. Este programa tem a intenção de capacitar professores da rede colocando-os em contato com professores das Instituições de Ensino Superior. Uma das ações de projeto são cursos oferecidos pelos professores das IES nas áreas específicas e pedagógicas. Uma das disciplinas oferecidas pelo Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina em 2008 foi Resolução de Problemas e Investigação na aula de Matemática, ministrada pela segunda autora deste relato. Utilizar a estratégia de Investigação Matemática em sala de aula é uma forma de desafiar, oportunizar descobertas e promover reflexões. Esses elementos podem ser determinantes para envolver os alunos na aula. Além disso, concordamos com Ponte (2003): O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e 1

2 refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor. (PONTE, 2003, p. 23) O seguinte problema foi uma das tarefas proposta na disciplina: Ao descobrir o número de uma fatura nos encontramos com dois algarismos borrados, 273x49x5. No entanto nos informaram que o número é múltiplo de 9 e de 11. Qual é o número? REGULARIDADES NA MULTIPLICAÇÃO POR 99 O relato que segue descreve os caminhos percorridos pela primeira autora deste relato e por isso é apresentado na primeira pessoa do singular. Fui participar de um curso promovido pela Secretaria de Educação em Faxinal do Céu e, como ia passar alguns dias longe de casa, levei algumas tarefas para fazer. Foi então que li o problema 6, fiquei confusa porque entendi o símbolo x, que significava um algarismo borrado, como sendo o sinal da multiplicação. Precisei reler várias vezes para compreender que se tratava de um algarismo. Compreendi que o número procurado era múltiplo de 9 e também de 11. Decidi fazer o mmc (9,11) e obtive 99. Comecei então a pensar nos múltiplos de 99 e iniciei a escrita numa tabela: 99x1 = x11 = x21= x31= x2 = x12 = x22 = x32= x3 = x13 = x23 = x33= x4 = x14 = x24 = x34= x5 = x15 = x25 = x35= x6 = x16 = x26 = x36= x7 = x17 = x27 = x37= x8 = x18 = x28 = x38= x9 = x19 = x29 = x39=3861 2

3 99x10 = x20 = x30 = x40=3960 Foi aí que observei que essa tabuada tinha algumas particularidades. Veja: na seqüência dos múltiplos de 99 as dezenas aumentam de 10 em 10 e as unidades diminuem de 1 em 1. Dezenas: Isso me fez lembrar a tabuada do nove, em que a quantidade da dezena aumenta de 10 em 10 e da unidade diminui de 1 em 1. Outra coisa interessante era a formação: Todas essas observações me intrigaram e quando encontrei a professora da disciplina perguntei se ela sabia algo em especial sobre os múltiplos de 99. Para trabalharmos com isso ela propôs esta investigação para toda a turma. 3

4 Discutindo sobre isso com um colega de turma, ele verificou que a soma dos algarismos que formavam o múltiplo de 99 era 18, ás vezes 36, 45,... Mas não tinha uma regularidade. Em casa fiz uma planilha no Excel até 700 x 99. A partir daí fiz outras observações: 99 x 1 = = = 1 99 x 2 = = = 1 99 x 3 = = = 1 99 x 17 = = = 1 99 x 48 = = = 1 99 x 100 = = =1 99 x 101 = = = 2 99 x 201 = = = 3 99 x 301 = = = 4 Feito isso conclui: para efetuarmos uma multiplicação por 99 bastaria efetuar rapidamente duas subtrações. Exemplo: então 99 x 347 = = = 343, 99 x 347 = O número 47, formado a partir da dezena e unidade do fator 347, é subtraído de 100. A diferença 53 representa a dezena e a unidade do produto. O fator 347 subtraído de 4 resulta na diferença 343. Percebe-se que 343 representam os algarismos da centena, da unidade de milhar e da dezena de milhar do produto em questão. A diferença entre o fator 347 e parte do resultado do produto, que neste caso é o 343, é sempre 4 quando o fator pertencer ao intervalo de 301 a 400. Lista das diferenças e seus respectivos intervalos: 4

5 1 até até até até até Essa particularidade do número 99 está relacionada com o Sistema de Numeração Decimal (SND). Considero este sistema uma das melhores invenções do ser humano. Veja por que: 198 = = = 2 (10² - 1) Como (10² - 1 ) = /99 = 2 ( 10² - 1)/99 = 2 Então 198 é múltiplo de 99. Outro exemplo: 4572 pode ser escrito da seguinte maneira: 4752 = = 40.10² ² ².10 - ² ².10 - ² 4752 = 40(99 +1) + 7(99+1) + 50.(99+1)/ (99+1)/ = (40+7)(99+1) + (50 +2)((99+1)/100) 4752 = 47. (99+1) (99+1)/100. Dividindo os dois termos por 99 temos: 4752/99 = 47.99/ /99 + (52.99/100)/99 + (52/100)/ /99 = / / /(100.99) 4752/99 = 47+47/99+(52/100).(1+1/99) 4752/99 = 47+47/99+(52/100).(99+1)/ /99 = 47+47/99+(52/100).(100/99) 4752/99 = 47+47/99+52/ /99 = 47+(47+52)/99 = 47+1=48. 5

6 Desta forma conclui que somando o número formado pelos algarismos de dois em dois, ou seja, de 4752, , se a soma for igual a 99.k, sendo k pertencente ao conjunto dos números naturais, o número será múltiplo de 99 e também divisível por 99. Com isso mostro como outro colega da turma encaminhou sua investigação. Tudo isso foi possível por causa de outra colega que teve a idéia de dividir um determinado número em grupos de 3 para provar a regra da divisibilidade por 3. Quero ainda discutir os porquês daquilo que observei. Bom, se 99 x 17 = 1683 podemos dizer que: 17 x 99 = 17(100-1) = = ( )-17 = 1600+(100-17) = 17 x 99 = = Assim a diferença caracterizada por que resulta 1 na verdade é uma centena, como demonstrei acima. Utilizando as propriedades distributiva e associativa, justifiquei o porquê de completar o 100 e também o valor da diferença. Outro exemplo: 99 x 201= (100-1) = = ( ) (200+1) = = ( ) + (100 1) = = Foram acrescidas 3 centenas ao produto 19899, assim mostra a diferença que é 3 para o intervalo de 201 até 300 e como completar o 100. APRESENTANDO UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA INSPIRADOR O problema apresentado no início do relato pode ser resolvido utilizando diferentes estratégias. Apresentamos aqui uma delas, que se relaciona com a investigação apresentada no item anterior. Se a soma dos números de dois algarismos formados pelo número dado é 99.k então o número é divisível por 99. No problema o número é 273x49x5 então a soma x x = 99.k. 6

7 Como = 76 então restam apenas 23 para chegar a 99. Como um dos números formados é 3x concluo que essa soma não pode ser 99. Suponhamos então que a soma seja 99.2 = 198. Sabemos que = 76, restam então 122 para chegar a 198. Fazendo: 3 x + y Podemos concluir que x = 7 e y = 8. Assim o número é Verificando as condições dadas do problema percebemos que: : 9 = : 11 = : 99 = Ou seja, o número é divisível por 9, por 11 e 99. Desta ideia surgiu que: para ser divisível por 999 a soma dos números de 3 algarismos formado pelo número dado deveria ser 999.k ALGUMAS CONSIDERAÇÕES Ao desenvolver essa investigação pudemos perceber a importância das propriedades das operações, observamos várias relações que podem ser construídas e, de alguma forma, provamos o que é uma investigação matemática e o que é fazer matemática. A partir de uma investigação podemos realizar a discussão de diversos conteúdos e perceber como esses conteúdos são interligados. A Investigação Matemática tem se mostrado útil no desenvolvimento de idéias matemáticas, e também por possibilitar aos alunos ensino alternativo, que oferece ao 7

8 educando a oportunidade de descobrir qual a natureza envolvida nesta disciplina e como a matemática precisa ser vista. Podemos dizer que experiências como estas têm influenciado o nosso trabalho como professoras. Buscamos com este tipo de trabalho a possibilidade do aluno realizar uma maneira própria de trabalho matemático sem a preocupação com padrões préestabelecidos. REFERÊNCIAS PONTE, J. P., BROCARDO, J., OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica,