NOTAS DE AULA ONDAS E LINHAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA ONDAS E LINHAS Prof. Helder Alves Pereira, Dr. Outubro, 2017

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS - 1. ESTÁGIO I: 1. Equações de Maxwell (Teste I). 2. ESTÁGIO II: 1. Propagação de ondas eletromagnéticas (Teste II). 3. ESTÁGIO III: 1. Linhas de transmissão (Teste III).

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS - 1. ESTÁGIO I: 1. Equações de Maxwell (Teste I). 2. ESTÁGIO II: 1. Propagação de ondas eletromagnéticas (Teste II). 3. ESTÁGIO III: 1. Linhas de transmissão (Teste III).

EQUAÇÕES DE MAXWELL - TÓPICOS DAS AULAS - 1. Introdução. 2. Lei de Faraday. 3. Fem de movimento e fem de transformador. 4. Corrente de deslocamento. 5. Equações de Maxwell nas formas finais. 6. Potenciais variáveis no tempo. 7. Campos harmônicos no tempo. 8. Campos quasi-estáticos.

Introdução Deste ponto em diante, examinaremos situações em que os campos elétrico e magnético são dinâmicos, ou variáveis, no tempo. Deve-se lembrar que no caso de campos eletromagnéticos (EM) estáticos, os campos elétrico e magnético são indepententes um do outro. No caso de campos EM dinâmicos, os dois campos são interdependentes, ou seja, um campo elétrico variável no tempo necessariamente implica em um campo magnético variável no tempo e vice-versa.

Relembremos que Os campos eletrostáticos são usualmente gerados por cargas elétricas estáticas. Os campos magnetostáticos são gerados devido ao movimento das cargas elétricas com velocidade uniforme (corrente contínua) ou devido às cargas magnéticas estáticas (pólos magnéticos). Campos magnéticos variáveis no tempo são usualmente gerados por cargas aceleradas ou por correntes variáveis no tempo. É importante lembrar que as equações de Maxwell resumem as leis do Eletromagnetismo.

Em resumo Cargas estacionárias Campos eletrostáticos Correntes contínuas Campos magnetostáticos Correntes variáveis no tempo Campos eletromagnéticos Vários tipos de corrente variável no tempo Figura 1

Lei de Faraday De acordo com os experimentos de Faraday, um campo magnético estático não produz fluxo de corrente, mas um campo magnético variável no tempo produz uma tensão induzida em um circuito fechado, causando dessa forma um fluxo de corrente. Essa tensão induzida também é denominada de força eletromotriz ou, simplesmente, fem. Faraday descobriu que a fem induzida, V fem (em Volts), em qualquer circuito fechado, é igual à taxa de variação, em relação ao tempo, do fluxo magnético enlaçado pelo circuito.

A lei de Faraday pode ser expressa da seguinte forma d l d y V fem = - dt = - N dt onde N representa o número de espiras no circuito e ψ o fluxo em cada espira. O sinal negativo mostra que a tensão induzida age de forma a se opor ao fluxo que a produziu. Essa propriedade é conhecida como lei de Lenz e destaca o fato de que o sentido de fluxo da corrente no circuito é tal que o campo magnético produzido pela corrente induzida se opõe ao campo magnético original.

Fem de movimento e fem de transformador Para um circuito com uma só espira (N=1), temos que V fem = - d y dt Em termos dos vetores E e B, temos que V fem = ò L E d l d = - dt ò S B d S S é a área superficial do circuito delimitado pelo caminho fechado L

A variação do fluxo magnético, em relação ao tempo, pode ser causada de três maneiras: 1. Quando se tem uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo. 2. Quando se tem a área de uma espira variando no tempo em um campo magnético estático. 3. Quando se tem a área de uma espira variando no tempo em um campo magnético variando também no tempo.

1. Espira estacionária em um campo magnético variável no tempo (fem de transformador) Esse é o caso ilustrado na figura 2. Figura 2

Dessa forma, temos que B V fem = ò L E d l = - ò S t d S Aplicando o teorema de Stokes, resulta em O campo elétrico variável no tempo Ñ E = - B t não é conservativo.

O trabalho realizado para deslocar uma carga em um caminho fechado, na presença de um campo elétrico variável no tempo, por exemplo, é devido à energia proveniente do campo magnético variável no tempo. O campo elétrico variável no tempo Ñ E = - B t não é conservativo.

Exercício 1. Uma barra condutora pode deslizar livremente sobre dois trilhos condutores, conforme ilustrado na figura 3. Calcule a tensão induzida na barra se a barra está parada em y=8 cm e B=4cos10 6 t â z mwb/m². Figura 3

2. Espira em movimento em um campo magnético estático (fem de movimento) Relembremos que a força sobre uma carga em movimento, com velocidade uniforme u em um campo magnético B, é dada por F m = Q u B Definimos o campo elétrico de movimento E m como E m F = m = u B Q

Se considerarmos uma espira condutora, movendo-se com velocidade uniforme u, como constituída de um grande número de elétrons livres, a fem induzida na espira será da seguinte forma V fem = ò E d l = ò m L L æ çu è B ö ø d l Aplicando o teorema de Stokes, resulta em Ñ æ Ñ E = çu B m è ö ø

Pontos importantes no cálculo da V fem A integral de linha é igual a zero ao longo da porção da espira para o qual u=0. Assim dl é tomado ao longo da porção da espira que corta o campo, onde u tem valor diferente de zero. A orientação da corrente induzida é a mesma que a de E m ou u x B. A orientação do caminho da integral de linha é escolhida de modo que seja no sentido oposto ao da corrente induzida, dessa forma, satisfazendo a lei de Lenz. V fem = ò E d l = ò m L L æ çu è B ö ø d l

Esse tipo de fem é denominado de fem de movimento ou fem de fluxo cortante porque é devido à ação do movimento. Este é o tipo de fem encontrada em máquinas elétricas como motores, geradores e alternadores. V fem = ò E d l = ò m L L æ çu è B ö ø d l

Exemplo 1 (Máquina de corrente contínua) Figura 4

Exemplo 2 F # = Il B Figura 5

Exercício 2. Uma barra condutora pode deslizar livremente sobre dois trilhos condutores, conforme ilustrado na figura 6. Calcule a tensão induzida na barra se a barra desliza a uma velocidade u=20â y m/s e B=4â z mwb/m². Figura 6

3. Espira em movimento em um campo magnético variável no tempo Neste caso, tanto a fem de transformador quanto a de movimento estão presentes. Dessa forma, temos que V fem B = ò E d l = -ò d S + ò m t L S L æ çu è B ö ø d l

Aplicando o teorema de Stokes, resulta em Ñ E m = - B t Ñ æ + çu è B ö ø

Exercício 3. Uma barra condutora pode deslizar livremente sobre dois trilhos condutores, conforme ilustrado na figura 7. Calcule a tensão induzida na barra se a barra desliza a uma velocidade u=20â y m/s e B=4cos(10 6 t-y)â z mwb/m². Figura 7

Exercício 4. Considere a espira da figura 8. Se B=-0,5â z Wb/m², R=20 Ώ, l=10 cm e a barra se movimenta com uma velocidade constante de 8â x m/s, determine: a) A fem induzida na barra; b) a corrente através do resistor; c) a força sobre a barra devido ao seu movimento; d) a potência dissipada pelo resistor. Figura 8

Corrente de deslocamento Para campos EM estáticos, temos que Ñ H = J Porém, a divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é igual a zero. Dessa forma æ ö Ñ ç Ñ H = Ñ J è ø = 0

Entretanto, a continuidade da corrente requer que r Ñ J = - v ¹ 0 t Ou seja, a taxa de diminuição da carga, em um dado volume, em um determinado tempo, deve ser igual à corrente líquida que sai da superfície fechada que limita esse volume. I = ò J d S = - dq in S dt

Precisamos então compatibilizar a expressão do rotacional do campo magnético para situações com variação temporal. Para isso, adicionamos um termo na expressão do rotacional do campo magnético da seguinte forma Ñ H = J + onde J d deve ser determinado e definido. J d Novamente, a divergente do rotacional de qualquer vetor deve ser igual a zero.

Portanto Desse modo, æ ö Ñ ç Ñ H = Ñ J + Ñ J = 0 d è ø J d = J = t ρ v = t & ) ( D+ = ' * t D ou seja, J d = D t

Logo, fazendo-se as devidas substituições, temos que Ñ H = J + D Equação de Maxwell para campos variáveis no tempo. t O termo J d é conhecido como densidade de corrente de deslocamento e J é a densidade de corrente de condução. A inserção do termo J d na expressão do rotacional do campo magnético foi uma das maiores contribuições de Maxwell. Sem o termo J d a propagação das ondas eletromagnéticas não poderia ter sido prevista matematicamente, como Maxwell o fez.

Em baixas frequências, J d é usualmente desprezível quando comparado com J. Entretanto, em frequências de rádio, os dois termos são comparáveis. Na época de Maxwell, fontes de alta frequência não eram disponíveis, e Ñ H = J + D Equação de Maxwell para campos variáveis no tempo. t não poderia ser verificada experimentalmente.

Anos mais tarde, Hertz conseguiu gerar e detectar ondas de rádio, verificando, dessa forma, a equação Ñ H = J + D Equação de Maxwell para campos variáveis no tempo. t Essa é uma das raras situações em que a argumentação matemática pavimentou o caminho da investigação experimental.

Equações de Maxwell nas formas finais James Clark Maxwell (1831-1879) é considerado o fundador da teoria eletromagnética na sua forma atual. O trabalho consagrado de Maxwell levou à descoberta das ondas eletromagnéticas. A partir de seu trabalho teórico, de aproximadamente 5 anos, Maxwell publicou a primeira teoria unificada da eletricidade e do magnetismo. A teoria compreendeu todos os resultados já conhecidos, de cunho experimental e teórico, sobre eletricidade e magnetismo.

Adicionalmente, Maxwell introduziu o conceito de corrente de deslocamento e fez a previsão da existência das ondas eletromagnéticas. As equações de Maxwell não foram muito bem aceitas até serem confirmadas por Hertz experimentalmente. Para um campo ser classificado como campo eletromagnético, ele deve satisfazer todas as quatro equações de Maxwell.

1. Lei de Gauss (Fontes, sumidouros ou passagem de fluxo elétrico) D = ρ v Forma diferencial! = ρ dv v S D d S v Forma integral

2. Lei de Gauss (Não existe carga magnética isolada) Ñ B = 0 Forma diferencial ò B d S = 0 Forma integral S

3. Lei de Faraday (fem induzida) Ñ E = - B Forma diferencial t ò E d l = - ò B d S Forma integral L t S

4. Lei circuital de Ampère (Contribuição matemática de Maxwell para geração de ondas eletromagnéticas) t D J H + = Ñ ò ò ø ö ç ç ç è æ + = S L d S t D J l d H Forma diferencial Forma integral

É importante mencionar outras equações que vão ser utilizadas lado a lado com as equações de Maxwell. A equação da força de Lorentz F = Q E + u B está associada às equações de Maxwell. Da mesma forma, a equação da continuidade. J = ρ 3 t, está implícita nas equações de Maxwell.

Os conceitos de linearidade, isotropia e homogeneidade do meio material também se aplicam para campos variantes no tempo. Em um meio linear, homogêneo e isotrópico, caracterizado por σ, ε e μ, as relações constitutivas D = εe = ε : E + P B = μh = μ : H + M J = σe + ρ 3 u permanecem válidas para campos variáveis no tempo.

Consequentemente, as condições de fronteira E > E? aa B = 0 H > H? aa B = K D > D?. aa B = ρ E B > B?. aa B = 0 permanecem válidas para campos variáveis no tempo.

Entretanto, para um condutor perfeito (σ ) em um campo variável no tempo, e, portanto: E = 0, H = 0, J = 0 B B = 0, E H = 0

Potenciais variantes no tempo Combinando a definição do potencial magnético vetorial com a lei de Faraday temos que E = B t = t & ) ( A+ = A ' * t & ( E+ A ( t ' ) + + = 0 *

Sabendo-se que o rotacional do gradiente de um campo escalar é igual a zero, temos que E + A t = -ÑV A E = -ÑV - t Dessa forma, podemos determinar E e B desde que os potenciais A e V sejam conhecidos.

Entretanto, precisamos encontrar algumas expressões, para A e V, que sejam adequadas para campos variantes no tempo. Tomando-se o divergente de E, na expressão anteriormente obtida, temos que E = % ' V & ( * ) t E = ρ v ε = 2 V t 2 V + t % ' A & ( ) * = ρ v ε % ' A & ( * ) % ' A & ( * )

Utilizando-se da expressão Substituindo por B = Ñ A B = µ H E determinando a expressão do rotacional Ñ H = J + D t

Temos que µ æ ç è Substituindo pela expressão de E, obtida anteriormente, temos que ö D Ñ H = µ J + µ ø t µ J+ µε % V ( ' A t ' t & ) µ J µε t % ' V & ( * µε 2 A ) t 2 = Ñ Ñ * * = A = A A

Aplicando a identidade vetorial Temos que Ñ Ñ æ 2 A = Ñ Ñ A ç è ö -Ñ ø A 2 V 2 æ Ñ A -Ñ Ñ A = -µ J + µe Ñ µe 2 ç è ö ø æ ç è t ö + ø t A Um campo vetorial é univocamente definido quando seu rotacional e seu divergente forem especificados.

O rotacional de A é dado por B = Ñ A e sua divergente por V Ñ A = -µe t Condição de Lorentz para potenciais

Dessa forma, fazendo-se algumas considerações matemáticas, temos que Ñ 2 2 V - µe 2 t 2 V 2 A = - r e v Equações de onda para os potenciais Ñ A- µe t 2 = - µ J

As soluções dessas equações de onda são V = ò v [ r ] 4 v pe R dv Potencial escalar elétrico com retardo A = ò v µ 4 é ê ë p J R ù ú û dv Potencial magnético vetorial com retardo

O termo [ρ v ], ou [J], significa que o tempo t em ρ v (x, y, z, t), ou J(x, y, z, t), é substituído pelo tempo de retardo t dado por t' = t - R u onde R é a distância entre o ponto fonte e o ponto de observação, ou seja, o ponto onde se deseja calcular o potencial, e u = 1 µe representa a velocidade de propagação da onda no meio.

Campos harmônicos no tempo Um campo harmônico no tempo é aquele que varia periodicamente ou sinusoidalmente com o tempo. Além da análise sinusoidal ter valor prático em si, é também importante porque pode ser estendida para a maioria das formas de onda através do uso da transformada de Fourier. Sinusoides são expressas de maneira simples como fasores, com os quais é muito mais conveniente de se trabalhar.

Um fasor z é um número complexo que pode ser escrito como z = x + jy z = rð f = re jf = r ( cosf + jsenf ) onde x representa a parte real de z, y a parte imaginária, r a magnitude de z, dada por φ a fase de z, dada por r = z = x? + y? φ = arctg y x e j é dado por j = -1

As seguintes propriedades básicas devem ser observadas: Adição: z > + z? = x > + x? + j y > + y? Subtração: z > z? = x > x? + j y > y? Multiplicação: z > z? = r > r? φ > + φ?

Divisão: z > z? = r > r? φ > φ? Raiz quadrada: z = r φ 2 Complexo conjugado: z = x jy = r φ = re YZ[

De acordo com a figura 9, temos que r = z = x 2 + y 2 f = æ arctgç è y x ö ø Figura 9

Para introduzir a dependência temporal, façamos f = wt + q onde θ pode ser uma função no tempo, ou de coordenadas espaciais, ou pode ser uma constante. As partes real e imaginária de re j f = re jq re jwt são dadas, respectivamente, por Re Im { } re jf = r cos( wt + q ) { f} re j = rsen( wt + q )

Portanto, uma corrente senoidal dada por i ( t) = I cos( w t +q ) 0 é igual à parte real de I 0 e jq e jwt O termo complexo I 0 e jθ, que resulta quando subentendemos o fator de tempo e jωt em i(t), é denominado fasor de corrente, denotado por i S, isto é i S = I e jq = I 0 0 Ð q

Portanto, a forma instantânea i pode ser escrita como ( t) = I cos( w t +q ) i t = Re i e j w t S Em geral, um fasor pode ser escalar ou um vetor. 0 ( ) { } Se um vetor A(x, y, z, t) é um campo harmônico no tempo, a forma fasorial de A é A S (x, y, z), estando estas duas grandezas relacionadas da seguinte forma A = ì Reí î A S e jwt ü ý þ

Por exemplo, se A = ( w - b ) y A cos t x â 0 podemos escrever A como A = Re { j x j t } A e - b â e w 0 y A forma fasorial de A é dada por = S A A e 0 - jbx â y

Observe que A t = t Re A S ou seja, { } = Re { jω A } S e jωt e jωt A t jω A S Determinar a derivada no tempo de uma grandeza instantânea é equivalente a multiplicar sua forma fasorial por jω.

De forma similar 1 A ò Adt j w S Observe também a diferença básica entre a forma instantânea A(x, y, z, t) e a sua forma fasorial A S (x, y, z). A primeira é dependente do tempo e é real. A = ( w - b ) y A cos t x â 0 Enquanto que a segunda é invariável no tempo e é geralmente complexa. = S A A e 0 - jbx â y

Aplicando este conceito às equações de Maxwell, temos que 1. Lei de Gauss (Fontes, sumidouros ou passagem de fluxo elétrico) Ñ D = r S v S Forma diferencial ò D d S = ò S r S v S v dv Forma integral

2. Lei de Gauss (Não existe carga magnética isolada) Ñ BS = 0 Forma diferencial ò S B d S = 0 S Forma integral

3. Lei de Faraday (fem induzida) = - Ñ S S B j E w ò ò = - S L d S B j l d E S S w Forma diferencial Forma integral

4. Lei circuital de Ampère (Contribuição matemática de Maxwell para geração de ondas eletromagnéticas) + = Ñ S S S D j J H w ò ò ø ö ç è æ + = S L d S D j J l d H S S S w Forma diferencial Forma integral

Exercício 5. Dado que A=10cos(10 8 t -10x +60 o )â z e B S =(20/j) â x + 10e j 2πx/3 â y, expresse A na forma fasorial e B S na forma instantânea. 6. Se P = 2sen 10t + x ` a aa b e Q c = e Zd aa d aa e sen πy, determine a forma fasorial de P e a forma instantânea de Q c.

Campos Quasi-Estáticos Fontes de campos quasi-estáticos incluem dispositivos que operam nas freque ncias industriais e produzem campos nessas freque ncias industriais e suas harmo nicas, bem como dispositivos que geram campos independente da freque ncia industrial. DEFINIÇÃO 1: O campo que satisfaz a condição f << i j, onde f é a freque ncia do campo, c é a velocidade da luz e l é uma dimensão característica de uma medida geométrica, por exemplo a dista ncia entre a fonte do campo em um ponto de medic ão. Os campos magnéticos e elétricos das freque ncias industriais pró ximos às linhas de pote ncia e aparelhos domésticos são exemplos de campos quasi-estáticos.

DEFINIÇÃO 2: Regime quasi-estático: em que a variação dos campos elétrico e magnético é suficientemente lenta, de tal forma que o comprimento de onda das ondas eletromagnéticas, associadas a esta variacão temporal, é muito grande em comparação com as dimensões típicas do sistema. As aproximacões quase-estáticas podem ser divididas em três modelos principais: 1. Elétrica: inclui apenas efeitos capacitivos e em que se parte das equações de Maxwell, desprezando o termo B/ t na lei de Faraday.

. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + D t

. D = ρ 3 E 0. B = 0 H = J + D t

2. Magnética: inclui apenas efeitos indutivos e em que se despreza o termo E/ t na lei de Ampère-Maxwell, o que conduz à lei de Ampère;. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + D t. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H J

3. Modelos de Darwin: toma-se apenas a parte eletrostática do campo elétrico na lei de Ampère-Maxwell.. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + D t. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + E l + E m t

3. Modelos de Darwin: toma-se apenas a parte eletrostática do campo elétrico na lei de Ampère-Maxwell.. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + D t. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + E l + E m t

3. Modelos de Darwin: toma-se apenas a parte eletrostática do campo elétrico na lei de Ampère-Maxwell.. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H = J + D t. D = ρ 3 E = B t. B = 0 H J + E l t

Referências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição 2012. Editora Bookman. WENTWORTH, STUART M. Eletromagnetismo Aplicado. 1ª Edição - 2008. Editora Bookman. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Medição dos campos magnéticos e elétricos de baixa frequência considerando a exposição de seres humanos Requisitos especiais para instrumentos e guia para medições, Rio de Janeiro: ABNT, 2000. VILÃO, R. As equações de Maxwell. Departamento de Física. Universidade de Coimbra, Coimbra, Portugal, 2010. Notas de aula. Site: http://www.fis.uc.pt/fa/20092010/showit uc_poswoc.php?id_disc=310&id_turma=&id_typ =19&id_typdoc=2&id_doc=210808&lnkd=links11&lnkdi=links11&anolect=20092010. Acesso em: 1º fevereiro de 2016. LARSSON, J. Electromagnetics from a quasistatic perspective. American Association of Physics Teachers. vol. 75, pp. 230-239, 2006. Site: http://www.if.ufrj.br/~dore/fis3/electromagnetics_from_a_quasistatic_perspective.pdf. Acesso em: 1º fevereiro de 2016.

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS - 1. ESTÁGIO I: 1. Equações de Maxwell (Teste I). 2. ESTÁGIO II: 1. Propagação de ondas eletromagnéticas (Teste II). 3. ESTÁGIO III: 1. Linhas de transmissão (Teste III).

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA ONDAS E LINHAS Prof. Helder Alves Pereira, Dr. Outubro, 2017