Problemas LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1 1) Determine as dimensões físicas das quantidades (a) campo elétrico E e (b) densidade de fluxo elétrico D. (c) Quais as unidades no Sistema Internacional destas quantidades? 2) Eletrostática. (a) Quais são os métodos integrais usualmente adotados na resolução dos problemas eletrostáticos? Identifique-os e disserte. (b) Há algum vínculo fundamental entre tais métodos? Discorra. 3) Lei de Gauss. Há alguma limitação analítica associada à Lei de Gauss na solução dos problemas em eletrostática? Discorra a respeito, interpretando no contexto de cada um dos sistemas ortonormais usualmente adotados. 4) O problema mais fundamental da eletrostática consiste em um carga q de dimensões físicas desprezíveis pontual no espaço livre e na ausência de meio material. Neste problema, (a) qual o sistema de coordenadas mais conveniente para a determinação do campo elétrico E? Explique. Sendo assim, (b) qual é a dependência funcional do campo elétrico E produzido? Disserte. Determine então (c) cada uma das componentes do campo elétrico E, analisando-as em detalhe. (d) Qual é a versatilidade do resultado obtido no item anterior na descrição de sistemas descritos sob a hipótese do continuum? 5) Calcule o rotacional do campo elétrico E produzido por (a) uma carga pontual, (b) por certo conjunto discreto de n cargas pontuais q! e (c) um arranjo arbitrário de densidade volumétrica de carga ρ. (d) Interprete fisicamente os resultados. 6) Arranjos globalmente neutros e colineares de n cargas pontuais q! compõem o que se denomina de sistemas multipolos. Considerando que as cargas elétricas negativas envolvidas estejam condensadas sobre certa coordenada espacial, determine o campo elétrico E para o (a) dipolo, (b) quadripolo e (c) octupolo, estabelendo de forma conveniente a origem do sistema de coordenadas e a interdistância d entre as cargas envolvidas para comparação dos resultados. (d) Qual é de fato a quantidade efetiva que governa os resultados obtidos anteriormente? Qual a sua dimensão física e como poderia ser interpretada? Para coordenadas espaciais r d, (e) qual aproximação poderia ser adotada da descrição do problema? Descreva-a. (f) Aplique a aproximação aos resultados anteriores, reobtendo-os. (g) Pode ser inferida alguma regra de formação para as expressões aproximadas envolvendo o campo elétrico E obtidas nos 3 arranjos anteriores para o caso geral de N pólos? (h) Qual a relevância destes arranjos discretos no entendimento dos sistemas sob a hipótese do continuum? (i) Caso as cargas negativas envolvidas nos arranjos se tornassem positivas, qual seria o impacto sobre os resultados oriundos da aproximação anterior? Determine e interprete. 1
7) Suponha que a carga pontual do problema 3) torne-se finita de raio a, estando sua carga q anteriormente concentrada então homogeneamente distribuída. (a) Qual o sistema de coordenadas mais Mediante abordagem distinta da anterior, obtenha novamente o campo elétrico E. 8) Considere então que o sistema do Problema 7) torne-se uma esfera oca uma casca, permanecendo a carga q uniformemente distribuída. Reanalise cada um dos itens enunciados no problema 7) anterior, reobtendo os resultados tendo em vista o presente contexto. 9) Um sistema eletrostático consiste em uma barra cilíndrica uniformemente carregada de raio a e comprimento comprimento L tendendo ao infinito. Sendo a L, (a) qual o sistema de coordenadas mais Mediante abordagem distinta da anterior, obtenha novamente o campo elétrico E. 10) Considere então que a barra cilíndrica do Problema 9) anterior torne-se finita. (a) Há algum sistema de coordenadas preferencial ainda a ser adotado? (b) Há alguma abordagem mais conveniente na obtenção do campo elétrico E? Explique. Determine o campo elétrico E para coordenadas normais ao (c) centro de simetria da barra e (d) às suas extremidades. Interprete-os em detalhe. (e) Qual é a quantidade que de fato governa o comportamento destas expressões? Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveis de serem adotadas ao campo elétrico E obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muito distante da barra. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h) esboce uma proposta de solução para o campo elétrico E. Interprete-a. 11) Uma quantidade de carga q é uniformemente distribuída sobre uma placa de espessura E, com largura L e comprimento C tendendo ao infinito. Sendo E L e E W, (a) qual o sistema de coordenadas mais Mediante abordagem distinta da anterior, obtenha novamente o campo elétrico E. (f) O resultado obtido no problema 9) poderia de alguma forma ser adotado na abordagem e resolução do presente sistema? Interprete. 12) Considere então que a placa do Problema 11) anterior torne-se finita. (a) Há algum sistema de coordenadas preferencial ainda a ser adotado? (b) Há alguma abordagem mais conveniente na obtenção do campo elétrico E? Explique. Determine o campo elétrico E para coordenadas normais ao (c) centro de simetria da chapa e (d) às suas extremidades. Interprete-os em detalhe. (e) Qual é a quantidade que de fato 2
governa o comportamento destas expressões? Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveis de serem adotadas ao campo elétrico E obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muito distante da placa. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h) esboce uma proposta de solução para o campo elétrico E. Interprete-a. (i) O resultado obtido no problema 8) poderia de alguma forma ser adotado na abordagem e resolução do presente sistema? Interprete. 13) Um arranjo eletrostático consiste em um anel circular de raio a e espessura desprezível sobre o qual é homogeneamente depositado uma quantidade q de cargas. Para posições espaciais sobre o eixo de simetria do arranjo, (a) qual o sistema de coordenadas mais conveniente de ser adotado e (b) qual é a dependência funcional do campo elétrico E produzido? Disserte. (c) Qual a abordagem mais conveniente para a obtenção do campo elétrico E? Discorra. Então (d) determine cada uma das componentes do campo elétrico E. Interprete o resultado em detalhe. (e) Qual é a quantidade que de fato governa o comportamento desta expressão? Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveis de serem adotadas ao campo elétrico E obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muito distante do anel. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h) esboce uma proposta de solução para o campo elétrico E. Interprete-a. 14) Um sistema eletrostático consiste em um disco circular de raio a e espessura desprezível sobre o qual é homogeneamente depositado uma quantidade q de cargas. Para posições espaciais sobre o eixo de simetria do arranjo, (a) qual o sistema de coordenadas mais conveniente de ser adotado e (b) qual é a dependência funcional do campo elétrico E produzido? Disserte. (c) Qual a abordagem mais conveniente para a obtenção do campo elétrico E? Discorra. Então (d) determine cada uma das componentes do campo elétrico E. Interprete o resultado em detalhe. (e) Qual é a quantidade que de fato governa o comportamento desta expressão? Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveis de serem adotadas ao campo elétrico E obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muito distante do disco. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h) esboce uma proposta de solução para o campo elétrico E. Interprete-a. (i) O resultado obtido no problema 12) poderia de alguma forma ser adotado na abordagem e resolução do presente sistema? Interprete. 15) Para todos os problemas anteriores que envolviam distribuições de cargas, quantifique o potencial elétrico φ (a) de forma independente a partir do arranjo de cargas e (b) mediante sua definição associada ao campo elétrico E. (c) Há alguma conveniência em descrever problemas mediante essa função escalar auxiliar? 16) Os efeitos decorrentes de uma distribuição arbitrária ρ r para posições espaciais r r pode ser representado mediante uma série infinita envolvendo contribuições ponderadas de arranjos tipo multipolos. Neste contexto, (a) obtenha a expressão para o campo elétrico E. Interprete. (b) Obtenha então E mediante derivação do potencial elétrico φ já obtido. Compare o resultado com derivado no item (a). Discorra. 3
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 17) Os efeitos decorrentes da polarização de determinando meio material podem ser quantificados mediante e pressuposição da existência de uma distribuição de dipolos elétricos, quantificada mediante sua densidade volumétrica o vetor polarização 𝐏. (a) Qual é a dimensão física de 𝐏? Discorra. (b) Quantifique o campo elétrico 𝐄 decorrente de uma distribuição arbitrária 𝐏 mediante aplicação da abordagem reducionista. Interprete. (c) Compare o resultado imediatamente anterior com aquele obtido mediante derivação do potencial 𝜙 produzido por este tipo de sistema. Discorra. Então (d) calcule o divergente do campo elétrico 𝐄 obtido anteriormente. Interprete minuciosamente o resultado. 18) Em um sistema físico linear, coexistem os efeitos de cargas líquidas e os de cargas equivalentes de polarização. Adotando o princípio da superposição, obtenha individualmente o campo elétrico devido às (a) cargas livres 𝐄 e (b) cargas ligadas 𝐄!. Determine então (c) o campo elétrico 𝐄! no dielétrico. (d) Reformule diretamente o 1o. postulado da eletrostática de sorte que contenha os efeitos da polarização. Interprete as quantidades envolvidas no contexto daquelas determinadas em todos os itens imediatamente anteriores. Se o dielétrico for linear e isotrópico, (e) qual é a relação entre 𝐄 e 𝐄!? Discorra pormenorizadamente. 19) Uma esfera de raio 𝑎 é confeccionada em material dielétrico com polarização 𝐏 permanente uniforme. Determine o potencial elétrico decorrente 𝜙 para (a) 𝑟 > 𝑎 e (b) 𝑟 < 𝑎. Disserte a respeito dos resultados. Mediante as expressões auferidas nos itens anteriores, obtenha (c) o campo elétrico 𝐄 para qualquer posição espacial. (d) Calcule então o potencial elétrico 𝜙 e o campo elétrico 𝐄 em 𝑟 = 𝑎, dissertando pormenorizadamente a respeito destes resultados. 20) Um dispositivo é composto por duas placas paralelas condutoras de largura 𝐿 e profundidade 𝑃. A interdistância das placas é 𝑑. No interior há um dielétrico com permissividade elétrica 𝜖. Sobre a placa superior é depositada uma quantidade +𝑞 e sobre a inferior 𝑞 de cargas. Considerando que 𝐿 𝑑 e 𝑃 𝑑, determine (a) a densidade de fluxo elétrico 𝐃, (b) o campo elétrico 𝐄 e (c) o potencial elétrico 𝜙 ao longo das coordenadas espaciais. Quantifique então (d) a diferença de potencial 𝛥𝜙 entre as placas e assim (e) a capacitância 𝐶 do dispositivo. Interprete fisicamente. Obtenha (f) a polarização 𝐏, (g) a densidade volumétrica 𝜌! e (h) a densidade superficial 𝜎!. Analise em detalhe os resultados recentes. 21) Um dispositivo é composto por duas cascas condutoras cilíndricas concêntricas de raios 𝑎 e 𝑏, sendo 𝑎 < 𝑏. O comprimento das cascas é 𝐶. No interior há um dielétrico com permissividade elétrica 𝜖. Sobre a casca exterior é depositada uma quantidade +𝑞 e sobre a interior 𝑞 de cargas. Considerando que 𝐶 𝑎 e 𝐶 𝑏, determine (a) a densidade de fluxo elétrico 𝐃, (b) o campo elétrico 𝐄 e (c) o potencial elétrico 𝜙 ao longo das coordenadas espaciais. Quantifique então (d) a diferença de potencial 𝛥𝜙 entre as cascas e assim (e) a capacitância 𝐶 do dispositivo. Interprete fisicamente. Obtenha (f) a polarização 𝐏, (g) a densidade volumétrica 𝜌! e (h) a densidade superficial 𝜎!. Analise em detalhe os resultados recentes. 22) Um dispositivo é composto por duas cascas condutoras esféricas concêntricas de raios 𝑎 e 𝑏, sendo 𝑎 < 𝑏. No interior há um dielétrico com permissividade elétrica 𝜖. Sobre a casca exterior é depositada uma Disciplina ENG04454 Teoria Eletromagnética Aplicada A 4 Versão: 13 de abril de 2017
quantidade +q e sobre a interior q de cargas. Determine (a) a densidade de fluxo elétrico D, (b) o campo elétrico E e (c) o potencial elétrico φ ao longo das coordenadas espaciais. Quantifique então (d) a diferença de potencial Δφ entre as cascas e assim (e) a capacitância C do dispositivo. Interprete fisicamente. Obtenha (f) a polarização P, (g) a densidade volumétrica ρ! e (h) a densidade superficial σ!. Analise em detalhe os resultados recentes. 23) Energia potencial elétrica. (a) Como poderia ser obtida a densidade de energia potencial elétrica W! em todos os problemas anteriores nos quais foram determinados os campos elétricos E? Disserte. (b) E a energia potencial elétrica W!? Elucide. (c) Em particular, determine ambas as quantidades na região interior da esfera uniformemente carregada do problema 7). Explique. 24) Para os problemas 20), 21) e 22) determine a (a) densidade de energia potencial elétrica W! e (b) a energia potencial elétrica W! associada. Discorra a respeito dos resultados. OUTROS TANTOS PROBLEMAS SERÃO AINDA PUBLICADOS!!! 5