Engrenagem Eletromagnética com Relação de Transmissão Discretamente Variável - Modelagem e Validação Experimental -

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1 Engrenagem Eletromagnética com Relação de Transmissão Discretamente Variável - Modelagem e Validação Experimental - Allan de Barros; Alexandre H. A.Coleto, Filipe G.Labrego, Ivan E.Chabu Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo RESUMO Este artigo encerra a caracterização, projeto e desempenho de uma engrenagem eletromagnética com relação de transmissão discretamente variável. O intuito desse dispositivo é transmitir torque sem contato mecânico e operar como um câmbio convencional. Neste trabalho estão contemplados modelos de cálculos analíticos orientativos, resultados provenientes de simulações numéricas pelo método dos elementos finitos, noções construtivas do protótipo desenvolvido e dados experimentais que validam os modelos. SUMARY II. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO A figura a seguir ilustra o dispositivo. Por uma facilidade de análise, faremos toda a explanação considerando a existência de um rotor interno com p int pares de polos, um conjunto que chamaremos de interpolos, constituído de n s segmentos de material ferromagnético igualmente espaçados e estacionários, e finalmente um rotor externo com p ext pares de polos. Na prática, por facilidade de construção e outras vantagens, o protótipo terá os interpolos exercendo a função de rotor enquanto que o que seria o rotor externo permanecerá estático. As implicações desta alteração serão discutidas no item seguinte. This paper concerns the characterization, design and performance of adiscretely variable transmission electromagnetic gear. The purpose of this device is to transmit contactless torque and operate as a conventional transmission box. This work includes orientation analytical calculation models, results from numerical simulation by Finite Elements Method, constructive concepts of the developed prototype and experimental data that validate the models. I. INTRODUÇÃO Engrenagens mecânicas são amplamente utilizadas em praticamente qualquer sistema que envolva uma máquina rotativa e uma carga, sendo de importância vital para os processos nos quais estão inseridas. A engrenagem eletromagnética proposta neste trabalho transmite torque sem contato mecânico, logo os problemas devido ao atrito são solucionados bem como as complicações decorrentes destes em operações de altas velocidades. Também apresentam durabilidade e confiabilidade maiores, além da proteção inerente em caso de sobrecarga. Atualmente já existe a engrenagem magnética com ímãs permanentes e relação fixa []. O nosso trabalho, porém, propõe uma engrenagem com bobinas comutáveis que permita a obtenção de relações discretas em um mesmo dispositivo, fazendo o papel de uma caixa de câmbio. Figura -Topologia da engrenagem eletromagnética Para que a transmissão de torque de um rotor para outro seja possível e otimizada, o ideal seria que os rotores tivessem o mesmo número de polos. Contudo, para obtermos relações de transmissão não unitárias, devemos ter uma quantidade diferente de polos nos dois rotores (externo e interno) []. Com isso faz-se necessária a utilização dos interpolos cujo papel é permitir que em certas partes do entreferro o fluxo seja maior e em outras partes o fluxo seja bastante atenuado, conforme nos explicita a Figura. A escolha adequada do número de interpolos garante que neste campo distorcido no entreferro haja uma harmônica de campo com o mesmo número de polos do outro rotor possibilitando o acoplamento magnético.

2 Com isso fazemos com que o rotor interno gire em sincronismo com sua harmônica correspondente, logo. A partir de () e (3) pode-se escrever: () Figura -Modulação do campo pelos interpolos O fenômeno da existência de uma relação de transmissão entre as velocidades dos dois rotores se deve ao fato de que ao término de um ciclo de 3 elétricos da harmônica fundamental da densidade de fluxo de um dos rotores, B, a correspondente harmônica que se acopla com o outro rotor também gira 3 elétricos. Porém, estes ângulos elétricos correspondem a diferentes ângulos mecânicos para a fundamental e para a harmônica, e por isso existe uma relação de velocidades entre os rotores. Essa relação entre as velocidades depende dos números de polos dos rotores [3]. Primeiramente, o campo gerado por um dos rotores, por exemplo, o externo, no entreferro adjacente ao outro rotor (no exemplo, o interno), devido à presença dos interpolos, possuirá as seguintes harmônicas []. onde: =, 3, 5, =, ±, ±, ±3, ext = (, no exemplo) = () externo A harmônica de ordem h, correspondente ao número de polos do rotor interno, irá interagir com o campo do mesmo fazendo com que ele gire na mesma velocidade desta harmônica h. A relação entre a velocidade desta harmônica e a velocidade do rotor externo é dada por []: Por fim, a relação de transmissão da engrenagem, resulta na razão entre os números de polos dos dois rotores. Estudos e simulações (que não serão apresentados neste artigo) mostram que soluções considerando apresentam alto torque de relutância indesejável e por isso consideramos, para nosso estudo, uma solução que satisfaça a equação. Para esta solução observa-se também que os sentidos de rotação dos rotores (externo e interno) são opostos. Pelas equações acima ainda é possível se observar que uma variação conveniente do número de polos permite uma mudança na relação de transmissão [] (desde que a equação (3) permaneça respeitada) e utilizaremos deste artifício para variar discretamente as relações possíveis do protótipo. Neste trabalho possibilitaremos uma mudança do número de polos através de comutação de bobinas. III. INTERPOLOS GIRANTES As equações apresentadas até o momento têm como referencial os interpolos, logo para traduzir estas equações para o caso em que os interpolossão móveis e o rotor externo é fixo basta realizar uma mudança de referencial. Como ilustrado na Figura 3 e mostrado anteriormente, para o caso do rotor externo em movimento com uma velocidade e o rotor interno com velocidade (com sentidos opostos), temos a relação de transmissão:. () Observamos, porém, que as harmônicas de maior amplitude ocorrem para e. Escolhemos o número de pares de polos do rotor interno para que este corresponda à ordem das harmônicas de maior amplitude conforme equação (), ou seja, escolhemos, o que nos leva a equação fundamental: (3) Figura 3-Velocidades com interpolos estáticos

3 No caso dos interpolos girantes, pensando em velocidades relativas, para se obter o rotor externo estático basta-se somar (com sentido oposto ao sentido de rotação do rotor externo) a todas as velocidades. Com isso estamos alterando o referencial dos interpolos para o rotor externo, resultando na distribuição de velocidades ilustrada na Figura. Os módulos das harmônicas de campo se mantém constantes independentemente da posição angular do rotor que a gerou As fases das harmônicas variam linearmente com a posição angular do rotor que as gerou, isto é, durante a operação com velocidade constante de um rotor as harmônicas que este gera também giram com velocidades constantes. A) Harmônicas de campo Segundo as hipóteses descritas, o campo para uma determinada posição angular θ é inversamente proporcional ao comprimento do entreferro nesta posição. Podemos dizer então que a distribuição de campo no entreferro θ é dada por: θ θ θ ã θ () Figura -Velocidades com interpolos girantes Temos que a velocidade dos interpolos é dada por (com sentido inverso ao caso anterior) e a nova velocidade do rotor interno será dada por. Logo temos que a relação de transmissão será dada por: (5) Ou seja, no caso dos interpolos girantes basta-se adicionar uma unidade à relação obtida considerando o rotor externo em movimento. O torque nos interpolos, por sua vez, será a soma dos torques no rotor interno e no que seria o rotor externo com seu sinal oposto. Isso pode ser entendido como consequência da lei de ação e reação ou como uma consequência do fato de que a soma dos torques no sistema é nula (em regime o sistema não está acelerando). IV. MODELOS ANALÍTICOS Assim como no item anterior, faremos o equacionamento considerando interpolos estáticos. Para obter os torques e velocidades dos interpolos no caso real em que o rotor externo é fixo, basta realizar as transformações descritas no item anterior. Para os modelos analíticos foram tomadas as seguintes principais hipóteses simplificadoras: Permeabilidade do material ferromagnético infinita e livre de saturação (toda relutância do circuito magnético se deve ao ar) O campo gerado flui apenas na direção radial Onde e min e e max são o comprimento do entreferro na região com interpolo e sem interpolo, respectivamente. Com isso é possível se decompor a função θ em sua série de Fourier para uma análise harmônica. Este cálculo foi implementado através de um código em VBA no Excel para harmônicas até a ordem. B) Cálculo de torque Para o cálculo do torque temos o seguinte equacionamento básico []: (7) (8) Onde θ e θ são as posições angulares dos rotores interno e externo, respectivamente. Faremos o desenvolvimento matemático apenas para o rotor externo, e para o rotor interno o desenvolvimento é análogo. Vemos que existe uma parcela de torque devida à variação de fluxo próprio (torque de relutância) e uma parcela devida à variação de fluxo mútuo (torque de mútua). Equacionaremos apenas a componente de torque de mútua, como segue:

4 Temos: (9) () Onde: e representam o intervalo de integração para cada bobina. A Figura 5 ilustra esses intervalos de integração para uma melhor compreensão do leitor. Figura 5-Intervalos de integração e são a amplitude e fase da harmônica de campo (já calculados a priori). Estamos nos limitando à harmônica de ordem neste trabalho. e são o comprimento axial e o raio médio da engrenagem. é o número de espiras em cada bobina do rotor externo. Cabe ressaltar que, devido ao fato de este dispositivo ter polos lisos, e são funções exclusivamente da posição angular do rotor interno, que as produziu. Após manipulação matemática chegamos a: () Este cálculo foi executado com o auxilio de uma rotina em VBA implementada no Excel. V. MODELOS NUMÉRICOS Todas as simulações presentes neste trabalho foram realizadas com o auxilio do software FEMM. (Finite Element Method Magnetics.) que possibilita a resolução de problemas eletromagnéticos em duas dimensões. Os estudos a serem executados via simulação computacional por método de elementos finitos também consideram interpolos estáticos e rotor externo girante e são os seguintes: Análise de Fourrier dos campos magnéticos gerados Engloba a análise de Fourier do campo gerado pelo rotor externo, com o interno desligado, no entreferro adjacente a este último. Posteriormente faremos o estudo inverso, ou seja, deixaremos o rotor interno como gerador de força magnetomotriz e forçaremos o externo a operar sem corrente. Não será mostrado neste trabalho, mas foi durante estas simulações que se observou a possível vantagem de se executar o interpolos laminados radialmente, com o objetivo de diminuir o fluxo magnético gerado por um rotor que não se concatenaria com o outro rotor por se fechar pelo próprio interpolo. Estudo mais detalhado sobre isso pode ser obtido em [] Avaliação do torque A partir de uma posição torque conhecido nos rotores propõem-se uma simulação onde ambos os rotores variam sua posição angular conforme as relações de transmissão projetadas. Este estudo busca avaliar o comportamento do torque durante a operação da engrenagem. As simulações citadas foram feitas para as duas relações de transmissão possíveis em nossa engrenagem (apresentadas no item a seguir). Estas simulações foram executadas com auxílio de programação através do console LUA do software FEMM. para que se fosse possível automatizar o processo de execução das simulações em diversas posições angulares dos rotores. VI. NOÇÕES E DADOS CONSTRUTIVOS DO PROTÓTIPO O protótipo foi projetado para se obter duas relações de transmissão através de comutação de polos e tem os seguintes dados construtivos: Dados construtivos Tabela -Dados construtivos Comprimento axial do núcleo Diâmetro médio no centro dos interpolos Diâmetro externo do núcleo e min e max Corrente projetada 5 mm 35, mm 5 mm,5 mm mm, A Número de interpolos

5 Amplitude [T] Amplitue [T] Amplitude [T] Amplitude [T] As configurações dos polos e relações de transmissão esperadas são (para cada uma delas definimos um estado): Tabela -Configuração dos pólos e relações de transmissão esperadas do protótipo construído Configuração dos Polos Relação de Transmissão p ext = p int =,5 p ext =8 p int = 5 Estado Onde p ext e p int são os números de pares de polos do rotor externo (na prática, estator) e rotor interno, respectivamente. A seguir é apresentado o corte longitudinal do protótipo projetado. Gráfico Espectro de campo para rotor interno em estado Espectro gerado pelo rotor interno (p int =) Gráfico - Espectro de campo para rotor externo em estado h Numérico mutuo Numérico proprio Espectro gerado pelo rotor externo (p ext =) h Numérico mutuo Numérico proprio Gráfico 3 - Espectro de campo para rotor interno em estado Espectro gerado pelo rotor interno (p int =) Figura -Corte longitudinal Na figura 7 são apresentadas fotos referentes à construção e à montagem do protótipo estudado Numérico mutuo Numerico proprio h (a) (b) (c) Figura 7-Fotos do protótipo construído. (a) Rotor interno e Estator montados. (b) Interpolos e seu respectivo eixo. (c) Engrenagem montada VII. RESULTADOS TEÓRICOS Os resultados para o cálculo de campo magnético são mostrados nos gráficos a seguir. Gráfico - Espectro de torque para rotor externo em estado Espectro gerado pelo rotor externo (p ext =8) Numérico mutuo Numérico proprio h Para cada harmônica apresentam-se 3 valores calculados: analítico (azul), numérico mútuo (vermelho) e numérico próprio (verde). A diferença entre numérico próprio e numérico mútuo é que o primeiro é calculado na adjacência do rotor que o

6 Amplitude [Nm] Torque [Nm] Torque [Nm] Amplitude [Nm] Torque [Nm] Amplitude [Nm] Torque [Nm] gerou enquanto que o segundo é calculado nas adjacências do outro rotor. De imediato concluímos que o modelo analítico não pode prever essa diferenciação de valores, isto é, segundo o modelo analítico os campos adjacentes a cada um dos rotores seriam iguais. Isso se deve ao fato de que ocorre um espraiamento do fluxo magnético quando este cruza os interpolos implicando na existência de componente tangencial de campo, componente esta que é desconsiderada no modelo analítico formulado. Dos gráficos acima podemos observar que os modelos analítico e numérico concordam nas raias de maior amplitude, ou seja, com qualquer um dos modelos podemos prever a existência das mesmas principais harmônicas geradas por cada rotor. Existe porém uma diferença no valor das amplitudes das harmônicas de modo que o resulta do cálculo numérico mútuo é menor que o resultado do cálculo analítico na ordem de aproximadamente % para as maiores harmônicas. Esta diferença pode ser atribuída ao fato de o modelo analítico não considerar relutância do material ferromagnético nem as componentes de campo tangencial. Os resultados dos ensaios computacionais com foco na variação do torque para a relação de transmissão igual a,5 se encontram nos gráficos 5 a 8 com posição angular dada em relação aos interpolos. Nos gráficos seguintes, de 9 a, mostramos os resultados para os ensaios computacionais com foco na variação do torque para a relação de transmissão igual a 5. Gráfico 5 - Variação do torque no rotor externo pela variação da posição geométrica do mesmo (pext=, pint=) Estado 8 Ondulação de torque - Rotor Externo - Relação, Posição Angular ( ) Gráfico - Espectro da ondulação do torque no rotor externo (pext=, pint=) Estado Espectro da ondulação de torque - Rotor Externo - Relação, Número de pulsações em um ciclo Gráfico 7- Variação do torque no rotor interno pela variação da posição geométrica do mesmo (pext=, pint=) Estado Ondulação de torque - Rotor Interno- Relação, Posição Angular ( ) Gráfico 8- Espectro da ondulação de torque no rotor interno (pext=, pint=) Estado.8... Espectro da ondulação de torque - Rotor Interno- Relação,5 Númerode pulsações em um ciclo Gráfico 9- Variação do torque no rotor externo pela variação da posição geométrica do mesmo (pext=8, pint=) Estado 8 Ondulação de torque - Rotor Externo - Relação Posição Angular ( ) Gráfico - Espectro da ondulação do torque no rotor externo (pext=8, pint=) Estado.5.5 Espectro da ondulação de torque - Rotor Externo - Relação 5 8 Número de pulsações em um ciclo Gráfico - Variação do torque no rotor interno pela variação da posição geométrica do mesmo (pext=8, pint=) Estado 5 3 Ondulação de torque - Rotor Interno - Relação Posição Angular ( )

7 Amplitude [Nm] Gráfico - Espectro da ondulação do torque no rotor externo (pext=8, pint=) Estado 3 Espectro da ondulação de torque - Rotor Interno - Relação 5 Número de pulsações por ciclo Vemos por estes gráficos que as raias de ondulação de torque que aparecem no rotor interno correspondem basicamente às raias de torque de relutância para este rotor calculadas na referência []. Além do torque de relutância, esta pulsação também se deve às harmônicas de campo mútuo de ordens 3 e para pint= e ordens 8 e para pint=, como mostrado em []. No rotor externo as harmônicas de torque que aparecem não podem ser explicadas pelo modelo sustentado até aqui. Como sabemos que o torque de relutância neste rotor é baixo [] e não pudemos prever harmônicas de torque devidas às harmônicas de campo mútuo no entreferro, inferimos que a pulsação de torque observada se deve a fenômenos não considerados nos modelos, como por exemplo a variação da amplitude das harmônicas em função da posição angular dos rotores. Para explica-las sugere-se que em trabalhos futuros faça-se uma análise de Fourier em duas dimensões (espaço e tempo) das harmônicas de campo presentes nos entreferros do dispositivo. VIII. RESULTADOS TEÓRICOS E MEDIÇÕES EXPERIMENTAIS De modo a validar os modelos teóricos descritos brevemente neste artigo foram realizadas, após a construção do protótipo, alguns ensaios experimentais. Nesta seção são apresentados de maneira resumida e comparativa os resultados mais notáveis deste trabalho. A) Ensaio de torque máximo e validação da relação de transmissão O ensaio mais canônico consiste em provar o princípio de funcionamento da engrenagem, a transmissão de potência sem contato mecânico, respeitando a relação prevista pela equação () e a capacidade máxima de torque em cada relação de transmissão disponibilizada pelo protótipo. Para tanto, acoplamos através da engrenagem primeiramente uma máquina de corrente contínua operando como motor no lado de maior torque e uma máquina síncrona operando como gerador no lado de maior velocidade. Esta montagem será denominada Arranjo neste trabalho. Posteriormente, foi invertido o arranjo, acoplando a máquina de corrente contínua como gerador no eixo de maior torque e a síncrona como motor no eixo de maior velocidade. Montagem esta doravante denominada Arranjo. Em ambas as disposições a relação entre as velocidades obedeceu de fato à equação (). Com relação ao torque analisaremos a seguir. Figura 8-Montagem do Arranjo Experimental Dinâmico De posse dos resultados teóricos como bases de comparação, apresentamos na tabela abaixo todos os dados de capacidade máxima de torque médio levantados. Tabela 3-Resultados analíticos, numéricos e experimentais de torque máximo suportado e relação de transmissão obtida C rot_int C interpolos Relação C rot_int Numérico C interpolos Relação Estado,9,,5,8,95,9 Estado 3,5 7,7 5,3,, 5,8 Prático - Arranjo Prático - Arranjo C rot_int C interpolos Relação C rot_int C interpolos Relação Estado,5 5,88, 3,3 8,3,5 Estado,98,7,8,5 7,5,83 Os dados apresentados de torque obtidos experimentalmente estão descontados da parcela que supre as perdas mecânicas do sistema. Com essa hipótese observa-se que a relação de transmissão também foi válida para os torques, a menos de um erro de 5%, no pior caso. Erro este que é consequência também da variação das perdas mecânicas com a velocidade e carga, uma vez que foram consideradas as perdas mecânicas em vazio constantes para este cálculo. De maneira geral, o torque máximo prático foi da ordem de 3% menor que o teórico numérico esperado. Os modelos teóricos analíticos e numéricos têm como torque máximo um torque na condição ideal limite em que os campos fundamentais estão em 9 elétricos entre si. Nos resultados práticos, porém, sabemos que a engrenagem perde estabilidade e dessincroniza antes deste ponto ideal devido à oscilação do eixo, em parte devida à própria ondulação de torque

8 Torque produzida pela engrenagem. Isso justifica a obtenção de valores mais baixos de torque máximo nos resultados experimentais com o arranjo em relação ao arranjo. No primeiro arranjo o eixo de maior ondulação de torque da engrenagem está conectado à carga, e não ao motor, por isso tem maior liberdade para oscilar e acaba por diminuir a abertura angular média máxima entre os campos fundamentais. Após a perda de sincronismo, diminuindo-se a carga a valores próximos a zero, há a ressincronização. Isso é uma vantagem dessa modalidade de engrenagem frente às mecânicas. Estas últimas, quando não suportam o torque transmitido, sofrem deformações e rupturas. Já a engrenagem eletromagnética proposta não sofre nenhuma danificação, voltando a operar normalmente segundos depois da sobrecarga. B) Característica CxI² Realizamos um ensaio para levantar a curva CxI² da engrenagem de modo a verificar os valores teóricos e calculados. Com um dos eixos apoiado sobre uma balança (no caso optou-se pelo rotor) e o outro bloquado, variamos a corrente de alimentação da engrenagem e anotamos a massa medida pela balança em cada ponto. A massa medida foi, posteriormente, transformada em torque. Este processo foi realizado para os dois estados da engrenagem. Os resultados obtidos seguem no Gráfico 3. Notamos que para o Estado a saturação ocorre em aproximadamente, A, enquanto que no Estado esta ocorre em A. Logo, na corrente de projeto para os dois estados o torque já se encontra em saturação, portanto a engrenagem está bem dimensionada no que se refere ao aproveitamento do circuito magnético para transmissão de torque. Vale lembrar que a curva levantada é apenas orientativa já que para cada posição relativa dos rotores existirá uma característica diferente de CxI² Gráfico 3- Característica CxI² Característica CxI² Corrente²(A²) I. AGRADECIMENTOS Estado Estado Agradecimentos especiais ao Professor Ivan Eduardo Chabu, o qual tornou possível, desde o tratamento das primeiras ideias até os ensaios finais, a execução deste trabalho. Também contribuíram, nas etapas de construção e ensaios do protótipo, José Américo e toda a equipe da Equacional Elétrica e Mecânica Ltda.. Também é importante citar os professores Walter Kaiser, Wilson Komatsu e Lourenço Matakas pelos apoios pontuais prestados. II. CONCLUSÃO Este trabalho encerra o estudo, a caracterização e a construção de uma engrenagem eletromagnética com relação de transmissão discretamente variável. Ao fim deste trabalho foram obtidos modelos analíticos e numéricos para compreensão dos fenômenos físicos envolvidos e dimensionamento de protótipos. Confrontando resultados numéricos e analíticos é perceptível que o modelo analítico serviu satisfatoriamente como guia orientativo, porém conclui-se que ele pode ser aperfeiçoado principalmente no que tange ao cálculo das harmônicas de campo magnético, já que todos os outros cálculos derivam deste. A partir de ensaios para validação dos fenômenos estudados, verificou-se a operação do protótipo com relações e torques de acordo com os valores projetados. As relações de transmissão verificadas se encontram dentro de uma faixa de % dos valores esperados enquanto que os torques máximos medidos são da ordem de 3% menores que os calculados. Para sobrecargas verificou-se uma perda de sincronismo da engrenagem e, posteriormente, levando a carga a valores próximos a zero, há a ressincronização. Isso é uma vantagem dessa modalidade de engrenagem frente às mecânicas. Estas últimas, quando não suportam o torque transmitido, sofrem deformações e rupturas. Já a engrenagem eletromagnética proposta não sofre nenhuma danificação voltando a operar normalmente segundos depois da sobrecarga. REFERÊNCIAS [] COLETO, Alexandre Henrique Azevedo; BARROS, Allan de; LABREGO, Filipe Gustavo. Estudo, Caracterização e Construção de uma Engrenagem Eletromagnética com Relação de Transmissão Discretamente Variável. São Paulo: Uiversidade de São Paulo,. [] ATALLAH, K.; HOWE, D.. A novel highperformance magnetic gear, IEEE Trans. Magn.,vol. 37, no., pp. 8-8, Jul. [3]ATALLAH, K.;CALVERLEY, S.;HOWE,D.. Design, analysis and realization of a highperformance magnetic gear, IEE Proc. Electric Power Appl.,vol. 5, no., pp. 35-3, []FALCONE, Aurio Gilberto. Eletromecânica. São Paulo: Edgar Blücher, 979. v.