TRABALHO PRÁTICO Nº 4 - LICENCIATURA EM FÍSICA CONDENSADORES E DIELÉCTRICOS Objectivo - Este trabalho pretende ilustrar a constituição e o funcionamento de um condensador, bem como determinar, de uma forma simples, a constante dieléctrica que o caracteriza. 1. Introdução 1.1 Noções básicas Considerem-se dois condutores A e B, isolados e inicialmente e descarregados, colocados a uma certa distância um do outro (conforme exemplifica a figura 1) e entre os quais se estabelece, de alguma forma, uma diferença de potencial V. O estabelecimento de uma carga +Q no condutor ao potencial maior e de uma carga -Q no condutor ao potencial menor surge associada à diferença de potencial V. A carga Q depende apenas, para um dado valor V da diferença de potencial Figura 1. Condensador constituído aplicada, do meio e das características geométricas dos dois por dois condutores planos de área A e condutores, variando linearmente com V. Define-se então a colocados paralelamente, no vazio, a capacidade C do sistema de dois condutores (designado neste uma distância d um do outro contexto por condensador) como sendo o quociente entre a carga Q e a diferença de potencial V: Q C = (1) V A unidade S.I. de capacidade é o Farad (F), que corresponde à capacidade de um condensador que acumula uma carga de 1 Coulomb quando se lhe aplica uma diferença de potencial de 1 Volt. No caso exemplificado na figura 1, de um condensador plano e de placas paralelas, constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro, pode-se demonstrar que a capacidade vem dada pela seguinte expressão: ε A C = 0 (2) d 12 em que ε 0 = 8.854187817 10 F / m é a permitividade eléctrica do vazio. Se as placas estiverem separadas por um meio isolador dieléctrico, a capacidade vem aumentada de um factor κ, designado constante dieléctrica do meio: ε 0 A εa C = κ =, ε = κε0 (3) d d ε designa-se então por permitividade eléctrica do meio dieléctrico. Neste trabalho prático determinar-se-á a constante dieléctrica de um filme de poliéster (a vulgar "folha de acetato"). 1.2. Carga e descarga de um condensador através de uma resistência 1.2.1. Carga Considere-se o circuito da figura 2 que é apresentado na página seguinte. Departamento de Física da FCTUC 1/6
Figura 2. Circuito série de uma bateria de força electromotriz E com um condensador de capacidade C e uma resistência R. Inicialmente, o condensador encontra-se descarregado e o interruptor S encontra-se aberto. Em t = 0, fecha-se o interruptor, iniciando-se o processo de carga do condensador. Quando se fecha o interruptor, a diferença de potencial devida à pilha força o estabelecimento de uma corrente i da placa do condensador ligada ao positivo da pilha para a placa ligada ao negativo. À medida que se vai armazenando a carga q nas placas do condensador (+q numa das placas e -q na outra), estabelece-se no circuito uma diferença de potencial que contraria a força electromotriz da pilha (E). Quando estas duas diferenças de potencial se igualam, cessa a corrente no circuito e a carga nas placas atinge o valor máximo Q f = CE (+Q f na placa positiva e -Q f na placa negativa). A corrente no circuito e a carga do condensador variam no tempo de acordo com as equações: q () ( t) R i t + = E (4) C dq () ( t) i t = (5) dt A solução destas equações, conforme pode ser facilmente verificado (admitindo que o condensador está inicialmente descarregado), tem as formas seguintes: t q() t = CE 1 exp (6) RC E t i() t = exp R RC (7) A evolução temporal prevista por estas equações está representada graficamente nas figuras 3 e 4. Saliente-se a importância do factor τ = RC, que tem dimensões de tempo (verifique!). τ corresponde ao tempo que o condensador levaria a carregar até à carga final Q f = CE, se a corrente se mantivesse constantemente igual a I 0 = E/R. No entanto, uma vez que a corrente diminui exponencialmente com o tempo, a carga acumulada em t = RC é (1-1/e)Q f, tendo nesse instante a corrente decrescido para I 0 /e. De qualquer forma, RC caracteriza o tempo típico que o condensador leva a carregar (ou a descarregar, como veremos adiante). Para tempos t >> RC, pode-se considerar o condensador completamente carregado. Figura 3. Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 2. O condensador carrega desde a carga inicial Q(0)=0 até à carga final Q f = CE. Em t = RC, acumulou já a carga Q f (1-1/e). Figura 4. Evolução temporal da corrente no circuito da figura 2. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0)=E/R até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e. Departamento de Física da FCTUC 2/6
1.2.2. Descarga de um condensador Consideremos agora que temos um condensador inicialmente carregado com uma carga Q 0 e que o ligamos em série com uma resistência R, conforme esquematiza a figura 5. Figura 5. Condensador inicialmente carregado com a carga Q 0 ligado em série a uma resistência R. Em t = 0, fecha-se o interruptor S, iniciando-se o processo de descarga do condensador. Quando se fecha o interruptor S, a diferença de potencial existente entre as placas do condensador motiva o estabelecimento de uma corrente i através da qual ocorre a descarga do condensador. Este processo é regido pelas equações: q( t) R i t + = 0 (8) C i () () t ( t) dq = (9) dt A solução das equações (8) e (9) é, agora, t q() t = Q0 exp (10) RC Q () = 0 t i t exp RC RC Agora, quer a carga do condensador, quer a corrente i no circuito diminuem exponencialmente desde os seus valores iniciais. τ = RC corresponde, analogamente ao processo de carga, ao tempo que o condensador levaria a descarregar completamente se a corrente se mantivesse constantemente igual a Q 0 /RC em todo o processo de descarga. Não sendo i constante, τ corresponde agora ao tempo que a carga e a corrente levam até verem os respectivos valores iniciais diminuídos de um factor e. (11) Figura 6. Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 5. O condensador descarrega exponencialmente desde a carga inicial Q 0 até zero. Em t = RC, a carga diminuiu de um factor e para Q 0 /e. Figura 7. Evolução temporal da corrente no circuito da figura 5. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0) = Q 0 /RC até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e. Departamento de Física da FCTUC 3/6
1.2.3. Estudo da carga e descarga de condensadores usando ondas quadradas Se, em vez de uma fonte de tensão contínua, usarmos um gerador de tensão fornecendo ondas quadradas como a idealizada na figura 8, o processo de carga e descarga do condensador será, em geral, mais complicado do que os processos de carga e descarga simples descritos anteriormente. Tensão (unidades arbitrárias) 1.0 0.8 0.6 T 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10 Tempo (unidades arbitrárias) Figura 8. Idealização de uma onda quadrada de período T (neste caso T = 2). Na realidade, o gerador é obviamente incapaz de fazer subir ou descer a tensão de um modo infinitamente rápido. A tensão leva um certo tempo para conseguir elevar-se desde zero até ao valor máximo, bem como para efectuar o processo inverso, conforme se discute nas notas de introdução ao osciloscópio e noutro trabalho prático (Medição de grandezas eléctricas. Utilização do osciloscópio e do multímetro). Se for escolhido um período T da onda quadrada suficientemente grande, em comparação com τ = RC (T >> RC), então pode admitir-se que o condensador carrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é não nula e que também descarrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é nula. No caso de uma tensão como a da figura 8, por exemplo, o condensador carregará no intervalo de tempo [0,1], descarregará no intervalo [1,2], etc. Vemos assim que, em rigor, devemos escolher o período T de forma que seja T/2 >> RC e não T >> RC. Pode, com o auxílio do osciloscópio, estudar-se simultaneamente os dois processos. Note-se que este instrumento mede diferenças de potencial e não cargas eléctricas. No entanto, da equação (1) temos que a diferença de potencial nos terminais de um condensador é directamente proporcional à sua carga, pelo que o comportamento temporal da tensão é idêntico ao da carga. 2. Realização experimental Material necessário: folhas de alumínio; folhas de acetato; osciloscópio; resistências; gerador de sinais; condensadores comerciais; fita cola. 2.1. Determinação da constante dieléctrica 2.1.1. Verifique, e descreva no seu relatório, o modo como está preparado o condensador. Anote os materiais de que são formadas as placas e o dieléctrico. Faça as medidas necessárias e calcule a área de cada uma das placas. 2.1.2. Meça, com o auxílio de um multímetro, o valor da resistência (da ordem de 10 kω) que utilizará no circuito. Considere o erro nesta determinação desprezável. Anote o valor na folha de registo de dados. 2.1.3. Monte o circuito esquematizado na figura ao lado. Substitua o gerador E e o interruptor S pelo sinal obtido de um gerador de sinais. Isto é, ligue os terminais do gerador de sinais ao terminal livre de C e ao terminal também livre de R. Tenha o cuidado de forçar um bom contacto entre as folhas de alumínio e a folha de acetato (PORQUÊ?), colocando um peso em cima do conjunto (distribuído uniformemente). Departamento de Física da FCTUC 4/6
2.1.4. Ajuste o gerador de sinais para que forneça ondas quadradas com frequência de 1 khz. Anote na folha de registo de dados o valor da frequência e também da amplitude. 2.1.5. Observe, com o auxílio do osciloscópio, a tensão aos terminais do condensador e a tensão à saída do gerador. Para isso, observe no canal 1 do osciloscópio, com o auxílio da ponta de prova adequada, a tensão nos terminais do condensador. No canal 2, com o auxílio da outra ponta, observe a tensão à saída do gerador. Estabilize a imagem da tensão no condensador, fazendo o trigger pelo canal 2. Ajustando o trigger e a base de tempos de forma adequada, obtenha no écrã imagens semelhantes às das figuras 3 e 6 (reproduzidas de seguida). Figura 3 Figura 6 2.1.6. A partir das imagens obtidas no ponto anterior, pode estimar o tempo característico RC. Para tal, orientando-se pela imagem correspondente à descarga do condensador (figura 6) e com o auxílio de um pequeno papel, determine o ponto em que a tangente à curva de descarga no ponto inicial corta o eixo dos tempos. Esse instante corresponde a τ = RC. Registe o valor na tabela Ι. 2.1.7. Calcule a partir do valor de τ a capacidade do condensador - C. Usando um multímetro apropriado, faça a medida da mesma capacidade. Compare os dois valores. 2.1.8. Determine, usando a equação (3), a permeabilidade eléctrica e a constante dieléctrica do meio, completando a tabela I. Para isso, calcule a espessura média das folhas de acetato com o auxílio de uma craveira, medindo a espessura de um conjunto de folhas (cerca de 5). 2.1.9. Verifique que também pode extrair RC a partir da imagem correspondente à carga do condensador. Descreva o modo como procederia. 2.2. Dependência da capacidade com a espessura 2.2.1. Repita a medição da capacidade do condensador (passos 2.1.3 até 2.1.7) usando, sucessivamente, 2, 4 e 8 folhas de acetato entre as folhas de alumínio. Agrupe todos os valores na tabela II. 2.2.2. Em gráfico (a incluir no relatório) represente a variação da capacidade em função de 1/d. A partir do gráfico, determine o valor da permeabilidade eléctrica e da constante dieléctrica do meio. Compare com os valores obtidos no ponto anterior e comente. Departamento de Física da FCTUC 5/6
2.3. Variação da capacidade com a área das placas 2.3.1. Repita a medição da capacidade do condensador formado por uma única folha de acetato, para pelo menos um valor diferente da área das folhas de alumínio. Descreva o modo como procedeu. Registe valores e cálculos na tabela III. 2.3.2. Compare o resultado com valor anteriormente obtido. Qual o efeito da área das placas sobre a capacidade de um condensador paralelo? 2.4. Comparação com condensadores comerciais 2.4.1. No circuito eléctrico que vem utilizando, substitua o condensador de acetato por um ou vários dos condensadores comerciais disponibilizados. 2.4.2. Compare a forma dos sinais de carga e descarga com os do condensador artesanal e comente. 2.4.3. Meça a capacidade de um dos condensadores comerciais usando o mesmo método utilizado anteriormente. Relatório O relatório deste trabalho vai ser elaborado de acordo com um modelo que será distribuído na aula. Bibliografia [1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, 2ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (2004). [2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (2005/06). [5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). Departamento de Física da FCTUC 6/6