Análise do comportamento sísmico de pilares de pontes em flexão composta desviada Pedro Jerónimo da Silva Benito Garcia Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil Orientadores: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro Júri Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara Orientador: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso Vogal: Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida Novembro de 2014
Agradecimentos Quero agradecer, em primeiro lugar, ao Prof. Francisco Virtuoso pela orientação na elaboração desta dissertação, pelo apoio e ensinamentos prestados e pela disponibilidade que demonstrou durante o decorrer da mesma, que em muito excedeu as suas obrigações profissionais. O seu contributo foi fundamental para a concretização deste trabalho. Ao Prof. Luís Guerreiro deixo também um agradecimento pelos acelerogramas artificiais que me foram facultados, sem os quais não seria possível realizar as análises dinâmicas, e pela disponibilidade e ajuda na resolução das questões que se foram colocando ao longo da realização deste trabalho. Agradeço ainda a ambos os Professores a forma cuidada como efectuaram a revisão do texto. Ao Mário Mesquita dirijo um agradecimento especial pela disponibilidade e amizade que sempre demonstrou e pela preciosa ajuda nas questões relacionadas com a programação em MATLAB. Aos meus restantes amigos quero agradecer a confiança que sempre depositaram em mim, os momentos de confraternização e o apoio demonstrado durante a realização da dissertação. À minha família quero agradecer o apoio e incentivo que sempre me deram, principalmente nos momentos mais difíceis, e os ensinamentos que me prestaram não só durante o decorrer do curso, mas em toda a minha vida. À Vera quero deixar um agradecimento especial pela presença, ajuda e compreensão durante a realização desta dissertação. i
ii
Resumo Este trabalho insere-se no âmbito da análise sísmica de pontes e tem como principal objectivo avaliar o comportamento e a resistência de pilares de betão armado quando sujeitos a acções sísmicas em qualquer direcção horizontal. É apresentada uma metodologia de análise fisicamente não-linear de secções de betão armado solicitadas em flexão composta desviada, permitindo a determinação das relações momentocurvatura e das envolventes de rotura e de cedência da secção transversal. Apresenta-se também uma metodologia de análise sísmica não-linear de pilares, admitindo que a acção sísmica pode actuar em qualquer direcção. Para efeitos da quantificação de coeficientes de comportamento utilizou-se o mesmo modelo para realizar análises sísmicas lineares equivalentes. Para que as conclusões a retirar das análises sísmicas não-lineares fossem aplicáveis em projecto, definiu-se uma relação constitutiva para o betão que permitisse estimar, da melhor forma possível, simultaneamente a deformabilidade e o valor de cálculo da capacidade resistente das secções. Estudou-se a influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes através da aplicação de acelerogramas segundo várias direcções. Apresentam-se exemplos para comparar os resultados obtidos considerando o comportamento em flexão composta desviada dos pilares com os resultados obtidos considerando separadamente o comportamento em flexão composta recta segundo cada uma das direcções principais de inércia das secções transversais. Esta comparação é apresentada quer em termos dos resultados da metodologia de aplicação de sismos segundo várias direcções, quer em termos de metodologias simplificadas propostas por outros autores, em que se inclui a metodologia proposta pelo EC8. Palavras-chave: pontes, pilares, sísmica, flexão composta desviada, análise não-linear, rótula plástica iii
Abstract The present work falls within the field of seismic analysis of bridge structures and its main purpose is to evaluate the behaviour and the resistance of reinforced concrete piers when submitted to seismic action in any horizontal direction. A method of physical non-linear analysis of reinforced concrete cross-sections submitted to biaxial bending is presented, allowing the evaluation of the bending-curvature relations and the rupture and yielding interaction surfaces of the cross-section. A methodology for non-linear seismic analysis of piers is also presented, assuming that the seismic action can act in any direction. This same model was used to perform equivalent seismic linear analysis in order to quantify behaviour factors. To apply the conclusions obtained from seismic non-linear analyses in bridge design, a stressstrain relation for concrete was defined enabling the simultaneous evaluation, in the best possible manner, of the deformability and the design value of the ultimate moments of resistance of crosssections. The influence of the bi-directional seismic action in the behaviour of bridge piers was studied through the application of seismic signals in several directions. Some examples are presented comparing the results obtained considering the behaviour of piers in biaxial bending with the results obtained considering separately the behaviour in axial bending in each of the principal directions of inertia. This comparison is presented in terms of the results from the application of earthquakes in several directions and also in terms of the simplified methods proposed by other authors, in which the method proposed by the EC8 is included. Keywords: bridges, piers, seismic, biaxial bending, non-linear analysis, plastic hinge iv
Índice Agradecimentos Resumo.. Abstract.. Índice.. Lista de figuras... Lista de tabelas Notação. i iii iv v viii xiii xv 1. Introdução. 1 1.1. Enquadramento e objectivos.......... 1 1.2. Estrutura da dissertação 3 2. Análise fisicamente não linear de secções de betão armado... 5 2.1. Introdução 5 2.2. Discretização da secção 8 2.2.1. Modelo adoptado... 8 2.2.2. Secções poligonais sem vazamento.. 11 2.2.3. Secções poligonais com vazamento.. 17 2.2.4. Secções circulares sem vazamento... 18 2.2.5. Secções circulares com vazamento... 22 2.2.6. Exemplos de aplicação. 25 2.3. Relações constitutivas dos materiais.. 27 2.3.1. Considerações gerais... 27 2.3.2. Relações constitutivas propostas pela EN1992-1-1 27 2.3.3. Relações constitutivas utilizadas... 31 2.4. Relações esforços-deformações.. 33 v
2.4.1. Considerações gerais... 33 2.4.2. Relações momentos-curvaturas para esforço normal e uma das componentes de momento constantes... 34 2.4.3. Relações momentos-curvaturas para esforço normal e direcção do vector momento constantes... 42 2.4.4. Exemplos de aplicação. 43 2.5. Envolventes de rotura e cedência 46 2.5.1. Considerações gerais... 46 2.5.2. Determinação de uma envolvente de rotura. 47 2.5.3. Determinação de uma envolvente de cedência 55 2.5.4. Exemplos de aplicação... 57 2.6. Rigidez efectiva de secções de betão armado.. 59 2.6.1. Definição de rigidez efectiva 59 2.6.2. Exemplos de aplicação... 60 3. Análise dinâmica de pilares de pontes. 63 3.1. Análise linear vs análise fisicamente não linear 63 3.2. Análise sísmica de um oscilador ao longo do tempo 65 3.2.1. Equação da dinâmica e métodos de resolução 65 3.2.2. Integração passo-a-passo 66 3.2.3. Massa, rigidez e amortecimento. 69 3.2.4. Caracterização da acção sísmica... 71 3.2.5. Incorporação da acção sísmica na equação da dinâmica... 74 3.3. Aplicação ao caso de um pilar de uma ponte 76 3.3.1. Modelação do pilar 76 3.3.2. Análise sísmica não linear do pilar ao longo do tempo... 81 3.3.3. Análise sísmica linear do pilar ao longo do tempo... 90 3.3.4. Exemplos de aplicação. 91 4. Escolha da relação constitutiva do betão para realização de análises não lineares 99 4.1. Concepção da relação constitutiva.. 99 vi
4.2. Validação da relação constitutiva. 101 4.2.1. Validação da estimativa da capacidade resistente.. 101 4.2.2. Validação da estimativa da deformabilidade... 104 5. Estudo da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes.. 109 5.1. Definição da acção sísmica bi-direccional.. 109 5.2. Exemplos estudados... 110 5.3. Apresentação e análise de resultados 112 5.3.1. Método de aplicação de acelerogramas segundo várias direcções (Método de Referência) 112 5.3.2. Método proposto por Clough & Penzien... 119 5.3.3. Comparação entre métodos 123 6. Conclusões e desenvolvimentos futuros... 129 Bibliografia. 135 Anexos... I Anexo 1: Resultados das análises método de aplicação de acelerogramas segundo várias direcções (Método de Referência). II Anexo 2: Resultados das análises método proposto por Clough & Penzien. VII vii
Lista de figuras Figura 2.1 Secção genérica submetida a flexão composta desviada e respectivos estados de tensão e deformação na secção. Variáveis cinemáticas e estáticas. 5 Figura 2.2 Ilustração do modelo de discretização adoptado no programa da análise da secção 8 Figura 2.3 Processo de discretização de uma secção genérica de betão em triângulos. 9 Figura 2.4 Ilustração da condição de Delaunay: (a) condição satisfeita; (b) condição não satisfeita. 10 Figura 2.5 Exemplo de definição do contorno da subsecção a introduzir no programa (secção poligonal sem vazamento).. 11 Figura 2.6 Processo de divisão de um segmento de recta genérico, para um dado grau de discretização dx 12 Figura 2.7 Ilustração do processo de discretização de um segmento de contorno (secção poligonal sem vazamento).. 12 Figura 2.8 Malha de pontos para servir de base à triangulação: (a) geração de malha ortogonal de pontos com afastamento constante; (b) exclusão dos pontos com distância ao contorno inferior a dx... 13 Figura 2.9 Triangulação com base nos pontos criados (secção poligonal sem vazamento)... 13 Figura 2.10 Determinação das coordenadas do CG e da área de um triângulo genérico a partir das coordenadas dos seus vértices 14 Figura 2.11 Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de betão (secção poligonal sem vazamento)... 14 Figura 2.12 Definição da camada de armaduras contida na subsecção e ordenação dos dados a introduzir. 15 Figura 2.13 Discretização da camada de armaduras em varões isolados. 15 Figura 2.14 Eliminação das fibras de aço localizadas sobre os eixos de rebatimento. 16 Figura 2.15 Rebatimento dos varões de aço sobre os eixos centrais principais de inércia e acréscimo dos varões localizados sobre os eixos.. 16 Figura 2.16 Processo de discretização do betão de uma secção poligonal com vazamento.. 17 Figura 2.17 Processo de discretização do aço de uma secção poligonal com vazamento 18 Figura 2.18 Processo de divisão de um segmento circular genérico, para um dado grau de discretização dx 19 Figura 2.19 Processo de discretização do betão de uma secção circular sem vazamento. 20 viii
Figura 2.20 Processo de discretização do aço de uma secção circular sem vazamento 22 Figura 2.21 Processo de discretização do betão de uma secção circular com vazamento. 23 Figura 2.22 Processo de discretização do aço de uma secção circular com vazamento 24 Figura 2.23 Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para verificação dos Estados Limites de Utilização 28 Figura 2.24 Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para realização de análises estruturais não lineares... 29 Figura 2.25 Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para determinação da capacidade resistente de secções 30 Figura 2.26 Relação constitutiva do aço proposta pelo EC2. 30 Figura 2.27 Relação constitutiva utilizada para as fibras de aço no programa de análise não linear... 31 Figura 2.28 Comportamento histerético considerado nas fibras de aço. 32 Figura 2.29 Ilustração do processo de Newton-Raphson aplicado à determinação de relação Momentos-Curvaturas para N=cte..... 34 Figura 2.30 - Ângulo que define a direcção do vector momento. 42 Figura 2.31 Relações momentos-curvaturas para N=cte e M z =0, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal 43 Figura 2.32 Relações momentos-curvaturas para N=cte e M y =0, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal 43 Figura 2.33 Relações momentos-curvaturas segundo y, para N=cte e α=30º, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal... 44 Figura 2.34 Relações momentos-curvaturas segundo z, para N=cte e α=30º, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal... 44 Figura 2.35 Diagrama de interacção de rotura de uma secção de betão armado para o caso de flexão composta desviada... 46 Figura 2.36 Diagramas de interacção de cedência e rotura para um dado nível de esforço axial (1º quadrante).. 47 Figura 2.37 Ilustração da definição de α e β para uma secção genérica submetida a flexão composta desviada.. 48 Figura 2.38 Zonas entre diagramas de extensões de rotura notáveis, para uma dada combinação (M y, M z ) 48 Figura 2.39 Mudança de referencial para uma dada inclinação da linha neutra. Diagrama de extensões e tensões na secção... 50 ix
Figura 2.40 Definição dos referenciais com origem no ponto fixo inferior, superior e central, para uma secção genérica. 51 Figura 2.41 Ilustração do processo de determinação do diagrama de extensões de rotura correspondente a um N aplicado pertencente à zona 1.. 54 Figura 2.42 Zonas entre diagramas de extensões de cedência notáveis, para uma dada combinação (M y, M z ). Esquerda: Aço A400, Direita: Aço A500 55 Figura 2.43 Diagramas de interacção de rotura para N=cte, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal 57 Figura 2.44 Diagramas de interacção de cedência para N=cte, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal 57 Figura 2.45 Diagramas de interacção de rotura e cedência para v = 0 e v = 0,4, para a secção rectangular compacta 5mx1m.. 58 Figura 2.46 Rigidez efectiva de uma secção que contém rótula plástica, de acordo com a EN1998-2.. 59 Figura 2.47 Definição de α e β. Decomposição de M segundo a direcção de χ 60 Figura 2.48 Variação da relação entre rigidez efectiva e rigidez elástica, ao longo da direcção da secção, para as cinco secções de estudo.. 61 Figura 2.49 Relação entre α e β, em situação de rotura, para as cinco secções de estudo... 62 Figura 3.1 Comportamento não linear de um oscilador de um grau de liberdade. 63 Figura 3.2 Relação entre o factor de amortecimento ξ e a frequência angular do sistema p.. 70 Figura 3.3 Conceito de Espectro de Resposta (adaptado de [10])... 72 Figura 3.4 Acelerograma genérico representativo de um sismo... 73 Figura 3.5 Decomposição do deslocamento absoluto do oscilador na soma do deslocamento do solo com o deslocamento relativo entre o solo e o grau de liberdade em causa.. 74 Figura 3.6 Modelo de cálculo adoptado para a análise dinâmica não linear de um pilar de ponte... 76 Figura 3.7 Conceito de Rótula Plástica aplicado a um pilar em consola. 77 Figura 3.8 Deslocamento total no topo do pilar (d ), obtido pela soma da parcela elástica devida à flexão da barra (d ) e da parcela inelástica devida à rotação da rótula plástica (d ) 78 Figura 3.9 Modelo considerado no EC8-2 para o cálculo do deslocamento no topo do pilar. Ilustração da rotação equivalente de rótula plástica... 79 Figura 3.10 Ilustração da modelação de um pilar genérico como uma consola equivalente... 80 x
Figura 3.11 Determinação da primeira coluna da matriz rigidez global da estrutura. 82 Figura 3.12 Relação entre o factor de amortecimento e a frequência angular para cada direcção.. 85 Figura 3.13 Acelerograma representativo de uma acção sísmica tipo 1, zona 1.1, terreno tipo A... 91 Figura 3.14 Resposta do oscilador em termos de deslocamento relativo... 93 Figura 3.15 Resposta do oscilador em termos de velocidade relativa. 93 Figura 3.16 Resposta do oscilador em termos de aceleração absoluta.. 94 Figura 3.17 Resposta do oscilador em termos de esforço transverso. 94 Figura 3.18 Resposta do oscilador em termos de momento flector. 95 Figura 3.19 Resposta do oscilador em termos da relação força-deslocamento 95 Figura 4.1 Modelo de relação constitutiva adoptado para o betão... 100 Figura 4.2 Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para v = 0 e ρ = 0,5%... 104 Figura 4.3 Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para v = 0 e ρ = 2,0%... 104 Figura 4.4 Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para v = 0,4 e ρ = 0,5%... 105 Figura 4.5 Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para v = 0,4 e ρ = 2,0%... 105 Figura 4.6 Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para v = 0,2 e ρ = 1,0%... 106 Figura 5.1 Direcção de aplicação dos acelerogramas em cada pilar de estudo (Método de Referência). 113 Figura 5.2 Evolução, ao longo da direcção do sismo, do coeficiente de comportamento em momento para cada um dos cinco pilares de estudo, de acordo com o Método de Referência. 118 Figura 5.3 Evolução, ao longo da direcção do sismo, do coeficiente de comportamento em deslocamento para cada um dos cinco pilares de estudo, de acordo com o Método de Referência... 118 Figura 5.4 Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Exemplo 1)..... 124 xi
Figura 5.5 Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Exemplo 2).. 124 Figura 5.6 Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Exemplo 3)..... 125 Figura 5.7 Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Exemplo 4)....... 125 Figura 5.8 Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção circular oca D e =3m, D i =2m (Exemplo 5)... 126 xii
Lista de Tabelas Tabela 2.1 Exemplos de discretização de secções transversais.. 25 Tabela 2.2 Descrição das zonas entre diagramas de extensões de rotura notáveis 49 Tabela 2.3 Parâmetros que definem os diagramas de extensões notáveis 52 Tabela 2.4 Descrição das zonas entre diagramas de extensões de cedência notáveis... 56 Tabela 3.1 Propriedades do pilar de estudo. 92 Tabela 3.2 Determinação dos coeficientes de comportamento em deslocamento e momento, para o acelerograma em estudo. 96 Tabela 3.3 Esforços máximos obtidos pelo espectro de resposta elástico do EC8.. 97 Tabela 4.1 Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção rectangular compacta 5mx1m. 102 Tabela 4.2 Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção rectangular oca 5mx2mx0,4m. 102 Tabela 4.3 Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção quadrangular compacta 2mx2m.. 103 Tabela 4.4 Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção circular compacta D=2m... 103 Tabela 4.5 Comparação das relações constitutivas nos valores dos coeficientes de comportamento. 107 Tabela 5.1 Características dos pilares estudados na análise da influência da bidireccionalidade da acção sísmica 111 Tabela 5.2 Resultados da análise linear por espectro de resposta que serviu de base ao dimensionamento dos pilares em estudo. 111 Tabela 5.3 Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Método de Referência). 114 Tabela 5.4 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Método de Referência).. 114 Tabela 5.5 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Método de Referência). 114 xiii
Tabela 5.6 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Método de Referência).. 114 Tabela 5.7 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Método de Referência).. 115 Tabela 5.8 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção quadrangular compacta 2m2m (Método de Referência)... 115 Tabela 5.9 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Método de Referência)... 115 Tabela 5.10 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Método de Referência)... 115 Tabela 5.11 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular oca D e =3m, D i =2m (Método de Referência).. 116 Tabela 5.12 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular oca D e =3m, D i =2m (Método de Referência)... 116 Tabela 5.13 Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (método proposto por Clough & Penzien).. 120 Tabela 5.14 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (método proposto por Clough & Penzien) 120 Tabela 5.15 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (método proposto por Clough & Penzien).. 120 Tabela 5.16 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (método proposto por Clough & Penzien) 120 Tabela 5.17 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (método proposto por Clough & Penzien)... 121 Tabela 5.18 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção quadrangular compacta 2m2m (método proposto por Clough & Penzien)... 121 Tabela 5.19 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular compacta D=2m (método proposto por Clough & Penzien) 121 Tabela 5.20 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular compacta D=2m (método proposto por Clough & Penzien). 121 Tabela 5.21 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular oca D e =3m, D i =2m (método proposto por Clough & Penzien) 122 Tabela 5.22 Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular oca D e =3m, D i =2m (método proposto por Clough & Penzien). 122 xiv
Notação Lista de abreviaturas CEN CG EC2 EC8-1 EC8-2 ICIST IST LN REPP RKS RPR Comité Européen de Normalization (Comité Europeu de Normalização) Centro de Gravidade EN1992-1-1 EN1998-1 EN1998-2 Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção Instituto Superior Técnico Linha Neutra Relação elástica perfeitamente plástica Relação k η Relação parábola-rectângulo Lista de variáveis Capítulo 2 Subcapítulo 2.1 A A A da da E I I área da secção transversal área total de betão área total de aço área de um elemento infinitesimal de betão área de um elemento infinitesimal de aço módulo de elasticidade momento de inércia segundo y momento de inércia segundo z xv
M M M M, M, M, M, N N N P S S y z g c s c s y z K çã momento flector componente do momento flector segundo y componente do momento flector segundo z contribuição do betão para o momento flector segundo y contribuição do betão para o momento flector segundo z contribuição do aço para o momento flector segundo y contribuição do aço para o momento flector segundo z esforço normal contribuição do betão para o esforço normal contribuição do aço para o esforço normal produto de inércia momento estático segundo y momento estático segundo z coordenada segundo a direcção principal de maior inércia coordenada segundo a direcção principal de menor inércia extensão axial extensão axial ao nível do centro de gravidade extensão axial de uma fibra de betão extensão axial de uma fibra de aço tensão normal tensão normal de uma fibra de betão tensão normal de uma fibra de aço componente da curvatura segundo y componente da curvatura segundo z matriz rigidez tangente da secção transversal Subcapítulo 2.2 af af afastamento dos varões numa secção com uma camada de armaduras afastamento dos varões da primeira camada de armaduras xvi
af A A dx dθ D D D R rec rec rec R R R R S v, v, y y z z y z y z φ ρ afastamento dos varões da segunda camada de armaduras área da fibra de betão i área da fibra de aço i grau de discretização da secção ângulo correspondente a um afastamento igual a dx no contorno de uma secção circular compacta diâmetro da secção circular compacta diâmetro exterior da secção circular oca diâmetro interior da secção circular oca raio exterior da secção recobrimento recobrimento medido em relação ao contorno exterior da secção recobrimento medido em relação ao contorno interior da secção raio interior da secção raio da camada de armaduras raio da camada de armaduras exterior raio da camada de armaduras interior segmento de recta i componente segundo y do vector director do segmento de recta i componente segundo z do vector director do segmento de recta i coordenada y da fibra de betão i coordenada y da fibra de aço i coordenada z da fibra de betão i coordenada z da fibra de aço i coordenada segundo a direcção principal de maior inércia no referencial auxiliar coordenada segundo a direcção principal de menor inércia no referencial auxiliar coordenada y do centro de gravidade da secção coordenada z do centro de gravidade da secção diâmetro dos varões percentagem de armadura da secção xvii
Subcapítulo 2.3 E valor médio do módulo de elasticidade do betão E módulo de elasticidade tangente da relação constitutiva do betão E valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço f valor de cálculo da resistência à compressão do betão f valor médio da resistência à compressão do betão f valor médio da resistência à tracção do betão f valor de cálculo da tensão de cedência do aço f valor característico da tensão de cedência do aço ε extensão última do betão na relação k η do EC2 ε extensão última do betão na relação parábola-rectângulo do EC2 ε extensão do betão correspondente à tensão máxima na relação k η do EC2 ε extensão do betão correspondente à tensão máxima na relação parábola- rectângulo do EC2 ε valor de cálculo da extensão última do aço ε valor característico da extensão última do aço ε valor de cálculo da extensão de cedência do aço γ coeficiente parcial de segurança Subcapítulo 2.4 E nc ns M M módulo de elasticidade tangente da relação constitutiva do aço número total de fibras de betão número total de fibras de aço momento flector segundo y, aproximado de forma linear, no método de Newton-Raphson momento flector segundo z, aproximado de forma linear, no método de Newton-Raphson xviii
N esforço normal, aproximado de forma linear, no método de Newton- Raphson M momento flector segundo y aplicado na secção, no método de Newton- Raphson M N tlr ε momento flector segundo z aplicado na secção, no método de Newton- Raphson esforço normal aplicado na secção, no método de Newton-Raphson tolerância de Newton-Raphson resíduo do momento flector segundo y, no método de Newton-Raphson ε ε ν resíduo do momento flector segundo z, no método de Newton-Raphson resíduo do esforço normal, no método de Newton-Raphson esforço normal reduzido da secção Subcapítulo 2.5 d referencial perpendicular à linha neutra com origem no CG da secção d referencial perpendicular à linha neutra com origem no ponto fixo f d, coordenada do ponto fixo f no referencial d M componente segundo y do momento de rotura da secção M componente segundo z do momento de rotura da secção N esforço normal correspondente à zona limite de rotura i N esforço normal correspondente à transição entre as zonas de rotura j e k N esforço normal correspondente à zona limite de cedência i N esforço normal correspondente à transição entre as zonas de cedência j e k h x α β distância entre fibras com coordenadas máxima e mínima d distância entre o ponto de rotação da zona 5 e a fibra mais comprimida ângulo que o vector momento faz com o eixo y da secção ângulo que a linha neutra faz com o eixo y da secção ε extensão no ponto fixo f xix
ε extensão última do betão ε extensão última do aço ε extensão de cedência do aço Subcapítulo 2.6 EI rigidez efectiva da secção EI rigidez da secção em estado não fendilhado EI rigidez da secção em estado fendilhado I momento de inércia efectivo da secção I momento de inércia em estado não fendilhado I momento de inércia em estado fendilhado M momento flector de cedência M valor de cálculo do momento flector de rotura M, componente segundo y do momento de cedência M, componente segundo z do momento de cedência M vector momento flector χ curvatura de cedência χ curvatura última χ curvatura de cedência, de acordo com a EN1998-2 χ, componente segundo y da curvatura de cedência χ, componente segundo z da curvatura de cedência χ vector curvatura xx
Capítulo 3 Subcapítulo 3.1 F força aplicada no oscilador F força máxima no oscilador linear F força máxima no oscilador não linear F força de cedência no oscilador não linear q coeficiente de comportamento associado a uma determinada grandeza δ deslocamento sofrido pelo oscilador δ deslocamento máximo no oscilador linear δ deslocamento máximo no oscilador não linear δ deslocamento de cedência no oscilador não linear Subcapítulo 3.2 a aceleração do oscilador a aceleração absoluta do oscilador a valor de cálculo da aceleração à superfície para um terreno do tipo A a aceleração relativa entre o solo e o grau de liberdade a aceleração do solo c amortecimento do oscilador c amortecimento crítico h k m p Q intervalo de tempo fictício na análise passo-a-passo rigidez do oscilador massa do oscilador frequência angular própria do oscilador acção exterior aplicada no oscilador xxi
S coeficiente de solo S valor de cálculo da aceleração espectral t instante de tempo T limite inferior do período no patamar de aceleração espectral constante T limite superior do período no patamar de aceleração espectral constante T valor que define no espectro o início do ramo de deslocamento constante u deslocamento do oscilador u deslocamento absoluto do oscilador u deslocamento relativo entre o solo e o grau de liberdade u deslocamento do solo v velocidade do oscilador v velocidade absoluta do oscilador v velocidade relativa entre o solo e o grau de liberdade v velocidade do solo γ coeficiente de importância ξ Δt {a} {u} {v} [C] [K] [M] K Q factor de amortecimento intervalo de tempo real na análise passo-a-passo vector de acelerações de um oscilador de múltiplos graus de liberdade vector de deslocamentos de um oscilador de múltiplos graus de liberdade vector de velocidades de um oscilador de múltiplos graus de liberdade matriz de amortecimento de um oscilador de múltiplos graus de liberdade matriz de rigidez de um oscilador de múltiplos graus de liberdade matriz de massas de um oscilador de múltiplos graus de liberdade rigidez equivalente na análise passo-a-passo força equivalente na análise passo-a-passo xxii
Subcapítulo 3.3 c amortecimento do pilar segundo a direcção j d altura útil da secção d parcela elástica de deslocamento devida à flexão da barra d parcela inelástica de deslocamento devida à rotação da rótula plástica d deslocamento total no topo do pilar f, frequência cíclica própria do oscilador segundo a direcção j kθ L rigidez da mola que traduz o comportamento não linear do pilar em torno da direcção j altura do pilar L comprimento de rótula plástica associado à flexão em torno da direcção j L comprimento de consola equivalente do pilar associado à direcção j m massa oscilante do pilar segundo a direcção j M, valor máximo do momento segundo y ao longo da análise sísmica M, valor de cálculo do momento resistente da secção em torno de y M, valor de cálculo do momento resistente da secção em torno de z N valor de cálculo do esforço normal p frequência angular própria do oscilador segundo a direcção j p, frequência angular própria do oscilador segundo a direcção j numa situação próxima da rotura p, frequência angular própria do oscilador segundo a direcção j numa fase inicial elástica u deslocamento do topo do pilar segundo a direcção j u, valor máximo do deslocamento segundo z ao longo da análise sísmica χ curvatura da secção onde se forma a rótula plástica ν valor de cálculo do esforço normal reduzido xxiii
θ ângulo em torno da direcção j que a corda do pilar faz com a vertical num modelo com rótula na base θ [D] K Q ângulo em torno da direcção j que a corda do pilar faz com a vertical num modelo com rótula situada a meio do comprimento de rótula plástica matriz dinâmica da estrutura matriz de rigidez equivalente na análise passo-a-passo vector de força equivalente na análise passo-a-passo Capítulo 4 Subcapítulo 4.1 κ parâmetro que calibra a máxima tensão do betão na relação constitutiva elástica perfeitamente plástica Subcapítulo 4.2 M momento resultante na secção proveniente da relação constitutiva elástica perfeitamente plástica M momento resultante na secção proveniente da relação constitutiva parábolarectângulo do EC2 q coeficiente de comportamento em momento q coeficiente de comportamento em deslocamento δ desvio do momento proveniente da relação elástica perfeitamente plástica em relação ao momento proveniente da relação parábola-rectângulo δ média dos desvios δ ao longo de um quadrante da secção com incrementos Δβ = 1º δ máximo desvio positivo δ ao longo de um quadrante da secção com incrementos Δβ = 1º δ máximo desvio negativo δ ao longo de um quadrante da secção com incrementos Δβ = 1º xxiv
Capítulo 5 Subcapítulo 5.1 A, acção sísmica de cálculo na direcção i E efeitos da acção sísmica E efeitos da acção sísmica provenientes de uma análise na direcção i Int Intensidade não reduzida do acelerograma aplicado segundo a direcção i Subcapítulo 5.3 e e e e e e M M u u desvio entre o valor do momento linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta desvio entre o valor do momento não linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta desvio entre o valor do deslocamento linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta desvio entre o valor do deslocamento não linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta desvio entre o valor do coeficiente de comportamento em momento obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta desvio entre o valor do coeficiente de comportamento em deslocamento obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta média dos máximos, para várias análises sísmicas lineares, da projecção do vector momento na direcção perpendicular ao sismo média dos máximos, para várias análises sísmicas não lineares, da projecção do vector momento na direcção perpendicular ao sismo média dos máximos, para várias análises sísmicas lineares, da projecção do vector deslocamento na direcção do sismo média dos máximos, para várias análises sísmicas não lineares, da projecção do vector deslocamento na direcção do sismo xxv
xxvi
1. Introdução 1.1. Enquadramento e objectivos Em países com sismicidade acentuada, como é o caso de Portugal, o dimensionamento dos pilares de pontes é frequentemente condicionado pela acção sísmica. Assim, é de elevada importância prever o seu comportamento sísmico, uma vez que um adequado dimensionamento poderá salvar vidas e bens materiais, bem como reduzir as exigências financeiras associadas a eventuais danos. A regulamentação europeia actual, mais especificamente a EN1998-2 (ou EC8-2), define uma acção sísmica horizontal e outra vertical, sendo que, para efeitos de análise, a primeira é definida em termos de duas componentes ortogonais. Este regulamento não impõe de forma explícita a forma como se deve ter em conta a bi-direccionalidade da acção sísmica horizontal, fornecendo apenas uma metodologia simplificada de análise que consiste na combinação das duas componentes ortogonais, de modo a se cobrir os problemas de flexão desviada de pilares. Esta dissertação tem por objectivo principal desenvolver uma metodologia mais rigorosa para o estudo do comportamento sísmico e avaliação da resistência de pilares de pontes em flexão composta desviada através de uma análise mais rigorosa dos efeitos da bidireccionalidade da acção sísmica horizontal. O dimensionamento de uma ponte sujeita a acção sísmica deve ser efectuado de modo a que não dependa da sua orientação espacial, uma vez que a acção sísmica, dada a sua natureza, não tem direcções preferenciais. Deste modo, a forma mais rigorosa de se verificar a segurança da estrutura consiste em efectuar a análise para todas as direcções possíveis da acção no plano horizontal. Note-se que o EC8-2 não define quais as direcções ortogonais a considerar na definição da acção sísmica, sendo que na prática comum de projecto se utilizam, em geral, duas direcções preferenciais da ponte, dependentes da geometria desta. Assim, pretende-se também, com esta dissertação, avaliar a influência da escolha do referencial a utilizar para definir a acção sísmica na verificação da segurança da estrutura a essa mesma acção, nomeadamente averiguar em que situações se pode efectuar a verificação de segurança apenas para duas direcções ortogonais sem necessidade de verificar situações intermédias ou combinar os efeitos correspondentes às direcções estudadas. Uma vez que a metodologia de aplicação de sismos em todas as direcções do plano pode tornar-se muito morosa, pretende-se também estudar a viabilidade da aplicação de uma metodologia alternativa mais simplificada proposta por outros autores, comparando os resultados provenientes desta com os da metodologia de referência anteriormente descrita (mais rigorosa) e com os da proposta pelo EC8-2, de modo a averiguar se os métodos simplificados são conservativos e qual a sua aplicabilidade. 1
Para se concretizar o estudo do comportamento sísmico de pilares de betão armado de pontes e avaliar a sua resistência quando sujeitos a acções sísmicas em qualquer direcção, desenvolveu-se um modelo analítico para o cálculo fisicamente não linear de secções de betão armado em flexão composta desviada. Um dos objectivos deste modelo consistiu na determinação das relações momento-curvatura (associadas a cada uma das direcções principais de inércia) de uma secção com geometria genérica (bi-simétrica) para uma dada história de carregamento (ou deformação) pré-definida, com vista à generalização para o caso da acção sísmica num pilar. Outro dos objectivos deste modelo subsistiu na determinação das envolventes de rotura e de cedência de secções, assunto de grande importância para a quantificação da rigidez e da resistência de pilares. Por último, pretendeu-se determinar a rigidez efectiva de secções (definida no EC8-2) e avaliar a sua variação com a direcção em causa, com vista à aplicação em análises sísmicas lineares equivalentes. Utilizando o modelo para o cálculo fisicamente não linear de secções anteriormente referido para caracterizar o comportamento de rótulas plásticas, desenvolveu-se um modelo de análise sísmica não linear de pilares, em que a acção sísmica pode actuar em qualquer direcção horizontal. Para efeitos da quantificação de coeficientes de comportamento considerou-se também a possibilidade de este modelo realizar análises sísmicas lineares. É de salientar que o EC2-1 define várias relações constitutivas para o betão, sugerindo a relação k η para a realização de análises estruturais não lineares. Esta relação está definida em valores médios e, das relações propostas pelo EC2, é a que melhor descreve o comportamento médio do betão em termos da sua deformabilidade. No entanto, de acordo com a filosofia dos Eurocódigos, as verificações de segurança devem ser efectuadas em valores de cálculo, e com a relação constitutiva anteriormente mencionada não se consegue estimar o valor de cálculo da capacidade resistente de secções, uma vez que se refere a valores médios. Por outro lado, a relação proposta pelo EC2 para a verificação dos Estados Limites Últimos (parábola-rectângulo), que satisfaz o critério anterior, sobrestima, de um modo geral, a deformabilidade da secção. Deste modo, para se realizarem análises sísmicas não lineares, em que os esforços são dependentes das deformações, e para se aplicarem os seus resultados de acordo com a filosofia dos Eurocódigos, em que não é possível ultrapassar o valor de cálculo da resistência das secções, foi necessário definir uma relação constitutiva que tivesse em conta, da melhor forma possível, simultaneamente a deformabilidade real do betão e o valor de cálculo da capacidade resistente das secções. 2
1.2. Estrutura da dissertação A presente dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo os capítulos de introdução e conclusão. De seguida descreve-se o conteúdo de cada um deles, com excepção do primeiro. No Capítulo 2 descreve-se o modelo desenvolvido para a análise fisicamente não linear de secções de betão armado submetidas a flexão composta desviada. Em primeiro lugar descreve-se o método adoptado para a discretização das secções, em que se adoptaram modelos de fibras para cada um dos materiais, e abordam-se quais as relações constitutivas a utilizar em cada material para se ter em conta o comportamento fisicamente não linear. Seguidamente descrevem-se os modelos desenvolvidos para a determinação de relações momento-curvatura associadas a cada uma das direcções principais de inércia da secção, e para a determinação das envolventes de rotura e de cedência de secções em flexão composta desviada. No final do capítulo apresenta-se um método de determinação da rigidez efectiva definida no EC8-2 para aplicação em análises lineares equivalentes. Cada um dos modelos desenvolvidos é acompanhado de exemplos de aplicação de modo a ilustrar a sua aplicabilidade e comprovar a sua validade. O Capítulo 3 é dedicado à descrição do modelo desenvolvido para realização de análises lineares e não lineares dinâmicas ao longo do tempo de pilares de pontes sujeitos à acção de sismos em qualquer direcção. Neste capítulo distinguem-se as diferenças entre a realização de análises sísmicas lineares e fisicamente não lineares. Para cada um dos casos descreve-se o tipo de modelo adoptado e descreve-se o método para a realização de análises dinâmicas ao longo do tempo a partir de acelerogramas gerados artificialmente representativos da acção sísmica. No final do capítulo apresenta-se um exemplo ilustrativo associado a cada tipo de análise, linear e não linear, em que se quantificam os coeficientes de comportamento em momento e em deslocamento. No Capítulo 4 apresenta-se um estudo efectuado para a escolha da relação constitutiva a utilizar no betão para efeitos da realização das análises sísmicas não lineares. Apresentam-se, em primeiro lugar, os critérios utilizados para a definição da relação constitutiva proposta, seguindo-se um estudo de validação da mesma para uma vasta gama de situações, coerente com os critérios inicialmente apresentados. O Capítulo 5 destina-se à apresentação do estudo da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes. Neste capítulo descreve-se o modo de considerar a bi-direccionalidade da acção sísmica e apresentam-se os resultados das análises lineares e não lineares provenientes do método de aplicação de sismos segundo várias direcções, adoptado como método de referência, donde se inferem conclusões acerca do comportamento de pilares em flexão composta desviada. Também neste capítulo se apresenta 3
uma comparação entre este método e os métodos simplificados propostos pelo EC8 e por Clough & Penzien [5], de modo a se averiguar a sua viabilidade na aplicação em projecto. No Capítulo 6 apresentam-se as principais conclusões a retirar desta dissertação e referem-se algumas propostas de desenvolvimento de estudos relacionados com este tema. 4
2. Análise fisicamente não linear de secções de betão armado 2.1. Introdução Este capítulo dedica-se à descrição do modelo desenvolvido para a análise não linear de uma secção genérica de betão armado submetida a flexão composta desviada. O objectivo deste modelo é simular o comportamento de uma rótula plástica em flexão composta (recta ou desviada), servindo, assim, de base ao modelo de análise sísmica não linear de um pilar de uma ponte sob a acção de um sismo actuando apenas numa ou com componentes nas duas direcções principais de inércia. Considere-se a secção genérica representada na figura 2.1, a qual está submetida a flexão composta desviada. Admita-se como válida a hipótese de Bernoulli (secções planas e perpendiculares ao eixo da peça mantém-se planas e perpendiculares ao eixo após a deformação), o que resulta num diagrama de extensões plano para a secção. Figura 2.1 Secção genérica submetida a flexão composta desviada e respectivos estados de tensão e deformação na secção. Variáveis cinemáticas e estáticas. 5
Como em qualquer problema de mecânica estrutural, a metodologia de análise de uma secção provém da reunião das considerações de equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas dos seus materiais. Começando pelo equilíbrio, sabe-se que as resultantes da distribuição de tensões normais na secção são estaticamente equivalentes aos esforços internos N (esforço normal) e M (momento flector), sendo que este último se pode decompor nas componentes segundo cada um dos eixos de inércia da secção (M y e M z ): N = σ da (2.1) M = σ. z da (2.2) M = σ. y da (2.3) M = M + M (2.4) Dado que se trata de uma secção heterogénea, estes resultados podem decompor-se nas parcelas correspondentes à contribuição de cada um dos materiais, em que os índices c e s correspondem ao betão e aço, respectivamente: N = N + N = σ da + σ da (2.5) M = M, + M, = σ. z da + σ. z da (2.6) M = M, + M, = σ. y da + σ. y da (2.7) Relativamente à compatibilidade, a hipótese de Bernoulli permite definir a deformação de qualquer ponto da secção em função de três parâmetros (caso geral), os quais definem um plano para o diagrama de extensões da secção (ver Figura 2.1). Escolhendo para estes parâmetros as componentes de curvatura segundo cada um dos eixos de inércia (χ, χ ) e a extensão na origem (ε ), pode determinar-se a extensão de qualquer ponto da secção através da seguinte equação: ε(y, z) = ε + χ. z χ. y (2.8) 6
As relações constitutivas dos materiais podem ser escritas na forma σ = σ(ε) ou ε = ε(σ). Nesta dissertação adoptou-se o primeiro dos formatos, ou seja: σ = σ (ε ) (2.9) σ = σ (ε ) (2.10) Dada a não linearidade das relações constitutivas, e exceptuando-se casos particulares, a relação entre os estados de tensão ou deformação da secção e os esforços aplicados não pode ser escrita de forma explícita. Através das considerações anteriores verifica-se que existem seis variáveis que definem um problema de flexão composta desviada numa secção, sendo que três delas estão do lado da estática (N, M y, M z ) e as outras três do lado da cinemática ( y, z, g ). A reunião das equações de equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas dos materiais permite escrever uma relação entre os dois tipos de variáveis, formando uma relação constitutiva para a secção, a qual pode ser descrita através do seguinte sistema de equações (quando se admite a linearidade do comportamento dos materiais): N K K K M = K K K M K K K çã ε χ χ (2.11) Verifica-se, assim, que as variáveis estáticas e cinemáticas se relacionam através de uma matriz rigidez da secção [K çã ], a qual depende do estado de tensão e deformação instalado na secção. Quando a relação que define o comportamento dos materiais é do tipo σ = Eε, com igual comportamento à compressão e tracção, a relação anterior toma a seguinte forma: N EA ES ES M = ES EI EP M ES EP EI ε χ χ (2.12) Contudo, sabe-se que as relações constitutivas do betão e do aço não são lineares, ao que acresce ainda o facto de o betão praticamente não resistir à tracção. Por outro lado, é difícil efectuar cálculos com a secção definida como um elemento contínuo. Deste modo, interessa discretizar a secção em elementos base, de forma a se poder estudar o problema com um rigor controlável através do grau de discretização imposto. 7
2.2. Discretização da secção 2.2.1. Modelo adoptado O modelo adoptado para a discretização da secção consiste num modelo de discretização em fibras (Gomes, A.M. [1]), em que se consideram relações constitutivas uniaxiais separadas para o betão e para o aço das armaduras. Relativamente ao betão, uma vez que o objectivo passa pela análise do comportamento da secção em flexão composta desviada, mostra-se útil discretizar o mesmo em elementos de base (fibras) triangulares. A escolha pelo elemento triangular teve em conta o facto de se pretender modelar secções de geometria genérica, sendo que o triângulo é a figura geométrica mais simples e que se adapta a qualquer tipo de geometria, quando combinada com mais figuras do mesmo tipo. Cada fibra de betão tem, portanto, a área do triângulo que lhe corresponde, estando esta dependente do grau de discretização a adoptar. Já no caso das armaduras, considerou-se cada varão isolado como uma fibra de aço, pelo que a sua área é independente do grau de discretização, dependendo apenas da área do varão respectivo. Na figura 2.2 ilustra-se a discretização pretendida. Figura 2.2 Ilustração do modelo de discretização adoptado no programa da análise da secção O objectivo do modelo de discretização da secção passa pela determinação das áreas de cada fibra (aço e betão) e respectivas coordenadas do seu centro de gravidade, medidas no referencial central principal de inércia da secção. 8
Relativamente ao betão, o processo de discretização em causa consiste na definição de um contorno (figura geométrica), o qual é dividido em troços de comprimento constante e dependente do grau de discretização da secção. Posteriormente, no interior desse contorno gera-se uma grelha ortogonal de pontos com espaçamento constante segundo os dois eixos, também dependente do grau de discretização em causa, sendo que esse espaçamento constante dos pontos tem por objectivo regularizar o máximo possível a malha a ser criada. Finalmente, utiliza-se o conjunto de pontos formado pelos pontos do contorno e pelos pontos do interior para se efectuar uma triangulação. Na figura 2.3 resume-se o processo de discretização efectuado para uma secção genérica de betão. Figura 2.3 Processo de discretização de uma secção genérica de betão em triângulos Para o modelo em causa, optou-se por uma Triangulação do tipo Delaunay, pois verifica-se ser a mais conveniente de todas, como se mostra de seguida. Em matemática, uma triangulação de Delaunay para um conjunto de pontos P no plano é uma triangulação DT(P) onde nenhum ponto em P está dentro da circunferência formada por qualquer triângulo pertencente a DT(P) (de Berg, M. et al. [4]). Na figura 2.4 ilustra-se este conceito. 9
Figura 2.4 Ilustração da condição de Delaunay: (a) condição satisfeita; (b) condição não satisfeita A opção pela Triangulação de Delaunay tem por base o facto de ser a triangulação que maximiza o menor ângulo de todos os triângulos na triangulação, tendendo a evitar triângulos com ângulos internos muito pequenos. Isto regulariza muito a malha de discretização e evita ao máximo a possibilidade de aparecerem triângulos muito distorcidos na mesma, os quais tenderiam a ter áreas muito pequenas ou nulas, evitando-se, assim, eventuais problemas numéricos no modelo. No que toca ao aço, cada camada de armaduras é tratada como um contorno, o qual vai ser posteriormente discretizado em pontos com afastamento predefinido. Para que os resultados das análises possam ser mais precisos, não dependendo tanto do grau de discretização, interessa que o modelo crie uma malha de fibras simétrica em relação ao centro de gravidade da secção. Assim sendo, optou-se por gerar inicialmente a parte da secção contida num dos quadrantes, extrapolando-se, de seguida, os resultados de forma simétrica em relação aos dois eixos de inércia para se reproduzir a restante parte da secção (contida nos outros três quadrantes). Tomou-se esta opção dado que as secções dos pilares das pontes são, em geral, bi-simétricas, tendo-se, por esse motivo, limitado o modelo a discretizar secções desse tipo. Nesta dissertação, pretende-se estudar o comportamento de secções poligonais e de secções de revolução, ambas com ou sem vazamento, pelo que se descreve de seguida o processo detalhado de discretização adoptado para cada um desses casos. De referir, ainda, que se limitou o número de camadas de armadura a dois para cobrir os casos com vazamento, uma vez que estes, em geral, também contêm uma camada de armaduras junto à face interior da secção. Note-se, por último, que o modelo efectuado permite a utilização de varões de diâmetro diferente na mesma camada de armaduras, no caso de secções poligonais, desde que se mantenha constante em cada segmento. No caso das secções de revolução, cada camada de armaduras só pode ser formada por varões de igual diâmetro. Em qualquer um dos casos, os diâmetros escolhidos para as camadas de armaduras são independentes. 10
2.2.2. Secções poligonais sem vazamento Apresenta-se, de seguida, o processo sequencial de discretização de uma secção poligonal genérica de betão armado adoptado no modelo criado para análise da secção. Discretização do betão: i) Definição do contorno do polígono correspondente ao quarto de secção localizado no primeiro quadrante dos eixos centrais principais de inércia da secção em causa (subsecção): A definição deste contorno é conseguida introduzindo no programa as coordenadas dos vértices dessa subsecção medidas num referencial arbitrário (y,z ). Por uma questão de simplicidade na introdução de dados, escolheu-se o referencial localizado no vértice do rectângulo envolvente da secção total. Com este referencial, as coordenadas do CG da secção correspondem aos máximos das coordenadas y e z introduzidas. É de referir que as coordenadas dos vértices a introduzir têm que estar ordenadas de forma a gerar um ciclo, tal como se ilustra na figura 2.5. Figura 2.5 Exemplo de definição do contorno da subsecção a introduzir no programa (secção poligonal sem vazamento) ii) Discretização do contorno da subsecção em pontos: O processo de discretização do contorno da subsecção inicia-se com a identificação do vector director do segmento de recta i, v = (v, v ), em que as suas coordenadas são iguais às diferenças de coordenadas dos pontos extremos desse contorno (previamente introduzidas). Através da equação vectorial da recta (x, y) = (x, y ) + k(v, v ), para o segmento de recta i, calcula-se, posteriormente, o valor de k correspondente ao grau de discretização (dx) pretendido. Finalmente, usa-se o valor de k determinado para calcular as coordenadas dos pontos que correspondem à subdivisão deste segmento, através do incremento sucessivo de k na equação vectorial da recta desde o ponto extremo inicial até se chegar ao ponto extremo final do segmento, tal como se representa na figura 2.6. 11
y, z = (y, z ) + kv, v k = y v = z v dx = y + z k = dx (kv ) dx kv = v v (y l, z l ) = (y i, z i ) + nkv y, v z ; nεn, kεr Figura 2.6 Processo de divisão de um segmento de recta genérico, para um dado grau de discretização dx Este processo generaliza-se para todos os segmentos de recta que constituem o contorno a discretizar, respeitando a ordem de pontos que for dada ao programa. Assim se justifica o facto de os pontos dos vértices a introduzir terem que formar um ciclo. Na figura 2.7, esquematiza-se o processo de discretização de um contorno de uma secção poligonal, para um dado grau de discretização. (a) (b) Figura 2.7 Ilustração do processo de discretização de um segmento de contorno (secção poligonal sem vazamento) iii) Geração de malha de pontos no interior da subsecção: Nesta fase, cria-se uma malha ortogonal de pontos entre o mínimo e o máximo das coordenadas dos vértices da subsecção, com espaçamento constante nas duas direcções ortogonais e igual ao grau de discretização da secção (dx). De seguida, excluem-se os pontos que distem menos do que dx do contorno, de forma a evitar a existência de triângulos muito distorcidos na posterior triangulação. Na figura 2.8 ilustra-se este processo. É de referir que se utilizou o mesmo grau de discretização para o contorno e para o interior, de modo a se obter no final uma malha o mais regular possível. 12
(a) (b) Figura 2.8 Malha de pontos para servir de base à triangulação: (a) Geração de malha ortogonal de pontos com afastamento constante; (b) exclusão dos pontos com distância ao contorno inferior a dx iv) Triangulação de Delaunay: Com o conjunto de todos os pontos calculados anteriormente, através das suas coordenadas, efectua-se uma triangulação tipo Delaunay, restringindo-a pelo polígono que constitui o contorno da subsecção em causa, ou seja, formando uma triangulação apenas no interior do contorno, tal como pretendido (ver figura 2.9). Figura 2.9 Triangulação com base nos pontos criados (secção poligonal sem vazamento) Conhecendo-se as coordenadas dos vértices de cada triângulo que constitui a subsecção, está-se em condições de determinar o CG de cada triângulo (através da média das coordenadas dos três pontos que o formam), e a respectiva área. Este processo é ilustrado na figura 2.10. 13
yi + yj + yk zi + zj + zk ycg = ; zcg = 3 3 dij = (zj zi) + (yj yi) djk = (zk zj) + (yk yj) dki = (zi zk) + (yi yk) h = sin α dki h α, β, h = sin β djk dki cos α + djk cos β = dij A = dij h 2 Figura 2.10 Determinação das coordenadas do CG e da área de um triângulo genérico a partir das coordenadas dos seus vértices v) Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de betão: Uma vez que se pretende, de seguida, efectuar o rebatimento dos triângulos anteriormente determinados, usando como charneiras os eixos centrais principais de inércia da secção em causa, interessa, nesta fase, efectuar a mudança de coordenadas dos CG s dos triângulos de betão do referencial (y,z ) para o (y,z), tal como se ilustra na figura 2.11. Figura 2.11 Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de betão (secção poligonal sem vazamento) De forma a construir a secção em causa a partir dos triângulos da subsecção formada anteriormente, rebatem-se as coordenadas dos centros de gravidade dos triângulos previamente calculadas em relação aos eixos centrais principais de inércia da secção. Este rebatimento é feito triângulo a triângulo, de modo a se efectuar a devida correspondência de áreas de um quadrante para os outros. 14
Discretização do aço: i) Definição da camada de armaduras contida na subsecção: A definição da camada de armaduras é efectuada introduzindo no programa as coordenadas dos vértices da linha poligonal que contém a localização dos varões de um quarto da secção (subsecção). De forma idêntica ao contorno de betão, essas coordenadas são introduzidas em relação ao referencial auxiliar (y,z ) anteriormente arbitrado, por uma questão de conveniência. De referir que, neste caso, também interessa que os vértices sejam dados com ordem, tal como se representa na figura 2.12. Note-se, ainda, que as áreas de cada varão são calculadas a partir do seu diâmetro, que surge também como dado de entrada ao programa. Figura 2.12 Definição da camada de armaduras contida na subsecção e ordenação dos dados a introduzir ii) Discretização da camada de armaduras em varões isolados (fibras de aço): A discretização da camada de armaduras contida na subsecção é efectuada de forma idêntica à utilizada na discretização do contorno da própria subsecção de betão. O programa utiliza a ordem com que foram introduzidas as coordenadas dos vértices para, de seguida, segmento a segmento, os discretizar em pontos através da equação vectorial da recta de cada segmento. A única diferença em relação à discretização da subsecção de betão reside apenas no grau de discretização dos segmentos, que neste caso é igual ao afastamento real dos varões (af), sendo independente do grau de discretização utilizado para o betão (dx). A figura 2.13 ilustra o procedimento descrito. Figura 2.13 Discretização da camada de armaduras em varões isolados 15
iii) Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de aço: De forma a evitar sobreposições de pontos, após o rebatimento, uma vez que existem fibras de aço sobre os eixos a rebater, eliminam-se, nesta fase, esses pontos (figura 2.14). Figura 2.14 Eliminação das fibras de aço localizadas sobre os eixos de rebatimento Seguidamente efectua-se a mudança de referencial, de forma análoga à que foi efectuada com as coordenadas dos CG s dos triângulos de betão, de forma a criar condições de aplicar os rebatimentos, varão a varão (para não se perder a correspondência das áreas). Por fim, voltam-se a acrescentar os pontos sobre os eixos que previamente tinham sido eliminados, ficando, no final, guardadas as coordenadas de todos os varões existentes na secção e respectivas áreas (figura 2.15). Figura 2.15 Rebatimento dos varões de aço sobre os eixos centrais principais de inércia e acréscimo dos varões localizados sobre os eixos 16
2.2.3. Secções poligonais com vazamento O processo anteriormente descrito para as secções poligonais sem vazamento também é aplicável para as secções com vazamento, uma vez que a subsecção de uma secção com vazamento genérica corresponde sempre a uma secção sem vazamento. Assim sendo, a única diferença em relação ao caso sem vazamento consiste na geometria da subsecção a dar ao programa. Nas figuras 2.16 e 2.17, apresenta-se um caso ilustrativo. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Figura 2.16 Processo de discretização do betão de uma secção poligonal com vazamento 17
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Figura 2.17 - Processo de discretização do aço de uma secção poligonal com vazamento 2.2.4. Secções circulares sem vazamento Discretização do betão: i) Definição do contorno da subsecção: No caso da secção circular, o contorno da subsecção é definido, não pelas coordenadas dos vértices de um polígono, mas apenas pela introdução do raio exterior. Neste caso não é necessário considerar um referencial auxiliar, pois o referencial que mais simplifica a introdução de dados é o referencial central principal de inércia, que é independente da orientação, por se tratar de uma secção de revolução. 18
ii) Discretização do contorno da subsecção em pontos: O contorno da subsecção, neste caso, é formado por dois segmentos rectos e um troço curvo (circunferencial). Os segmentos rectos serão tratados da mesma forma da que foi descrita nas secções poligonais, ou seja, através de sucessivos incrementos de k na equação vectorial da recta entre o ponto inicial e o final de cada segmento, de modo a que os pontos, após discretização, fiquem afastados de uma distância igual ao grau de discretização pretendido (dx). No entanto, para o troço curvo, tem que se usar a equação da circunferência em coordenadas polares ao invés da equação da recta. Neste caso, consideram-se incrementos de ângulo (dθ) de modo a satisfazer o grau de discretização predefinido (dx). Estes incrementos de ângulo dependem do raio exterior, de modo a que o afastamento entre pontos, após discretização, seja aproximadamente igual a dx. Neste caso, discretiza-se o contorno com uma sucessão de pontos até atingir 45º e depois rebatem-se esses pontos em torno do eixo a 45º. Assim se garante que a discretização fica igual na vizinhança dos dois eixos ortogonais de inércia. Na figura 2.18 ilustra-se o processo de divisão de um segmento circular genérico. Re dθ = dx yn = Re cos(ndθ) zn = Re sin(ndθ) nεn Figura 2.18 - Processo de divisão de um segmento circular genérico, para um dado grau de discretização dx iii) Geração de malha de pontos no interior da subsecção: No caso da secção circular, o processo de geração de malha de pontos no interior da subsecção segue os mesmos passos que no caso da secção poligonal. Cria-se, inicialmente, uma malha ortogonal de pontos com afastamento constante nas duas direcções e igual a dx, num quadrado de lado igual ao raio exterior do círculo. Optou-se por uma malha ortogonal ao invés de uma malha radial/circunferencial, uma vez que desta forma se obtêm triângulos com áreas mais próximas e uma malha mais regular. Seguidamente, excluem-se os pontos que distam menos do que dx do contorno, pelas razões já referidas no caso poligonal. Note-se que também no caso circular se usou o mesmo grau de discretização para o interior e contorno, pois verifica-se ser um bom compromisso entre a simplicidade de cálculo e uma boa regularização da malha de triângulos. iv) Triangulação de Delaunay: O processo de triangulação é em tudo idêntico ao caso poligonal, uma vez que só depende das coordenadas dos pontos anteriormente determinados. 19
v) Rebatimento das fibras de betão: O processo de rebatimento dos triângulos de betão também é semelhante ao caso poligonal. Na figura 2.19 esquematiza-se o processo de discretização do betão de uma secção circular, com base nos passos anteriormente descritos. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Figura 2.19 Processo de discretização do betão de uma secção circular sem vazamento 20
Discretização do aço: i) Definição da camada de armaduras contida na subsecção: A definição da camada de armaduras concretiza-se fixando o recobrimento que se deseja para a secção em causa, o diâmetro e o afastamento dos varões pretendido para essa camada. Sabendo o raio exterior da secção, o recobrimento e o diâmetro do varão, facilmente se calcula o raio da circunferência que passa pela localização dos varões. ii) Discretização da camada de armaduras em varões isolados (fibras de aço): Para fins de discretização, cada camada de armaduras é tratada como um troço curvo circunferencial com raio Rs. Sabendo o afastamento que se pretende para os varões, percorrese a equação do círculo em coordenadas polares, incrementando sucessivamente ângulos dθs (função do afastamento pretendido) entre o ponto localizado no eixo y até ao ponto localizado no eixo z, cujas coordenadas só dependem de Rs. Do mesmo modo que no contorno de betão, deve garantir-se que a distribuição de varões é simétrica em torno do eixo a 45º, para que a discretização seja igual na vizinhança dos dois eixos de inércia. iii) Rebatimento das fibras de aço: Tal como no caso poligonal, antes de efectuar os rebatimentos sobre os eixos centrais principais de inércia eliminam-se os pontos da camada de armaduras que se localizem sobre as charneiras. Seguidamente, efectua-se o rebatimento e volta-se a acrescentar os pontos anteriormente eliminados, evitando-se, assim, sobreposições. O processo de discretização do aço numa secção circular sem vazamento encontra-se esquematizado na figura 2.20. 21
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Figura 2.20 - Processo de discretização do aço de uma secção circular sem vazamento 2.2.5. Secções circulares com vazamento O processo de discretização das secções circulares com vazamento segue o mesmo raciocínio que o das secções sem vazamento. A diferença reside no facto de o contorno da subsecção no caso com vazamento ser formado por dois troços rectos e dois curvos, tratando-se cada um deles da forma já descrita, de modo a formar um ciclo. Nas figuras 2.21 e 2.22, apresenta-se a esquematização deste caso. 22
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Figura 2.21 Processo de discretização do betão de uma secção circular com vazamento 23
(1) (2) (3) (4) (5) Figura 2.22 - Processo de discretização do aço de uma secção circular com vazamento (6) 24
2.2.6. Exemplos de aplicação Apresentam-se na tabela 2.1 cinco exemplos de secções transversais discretizadas de acordo com os procedimentos mencionados nos pontos anteriores. Tabela 2.1 Exemplos de discretização de secções transversais Exemplo 1 - Secção rectangular compacta Dimensões: 5mx1m Discretização do betão: dx = 0,1m Discretização do aço: ɸ25//10 (ρ = 1,1%) rec = 4cm Exemplo 2 - Secção rectangular oca Dimensões: 5mx2mx0,4m Discretização do betão: dx = 0,1m Discretização do aço: 2xɸ16//10 (ρ = 1,0%) rec = 4cm 25
Tabela 2.1 (continuação) Exemplo 3 - Secção quadrangular Dimensões: 2mx2m Discretização do betão: dx = 0,1m Discretização do aço: ɸ25//10 (ρ = 0,9%) rec = 4cm Exemplo 4 - Secção circular compacta Dimensões: D = 2,0m Discretização do betão: dx = 0,05m Discretização do aço: ɸ25//10 (ρ = 0,9%) rec = 4cm Exemplo 5 - Secção circular oca Dimensões: Dext = 3,0m, Dint = 2,0m Discretização do betão: dx = 0,05m Discretização do aço: 2xɸ20//10 (ρ = 1,2%) rec = 4cm 26