GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL PROF. DR. ÂNDERSON DA SILVA VIEIRA. Notas de Aulas de Cálculo Diferencial e Integral III

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL PROF. DR. ÂNDERSON DA SILVA VIEIRA Notas de Aulas de Cálculo Diferencial e Integral III Cotia 2017

SUMÁRIO Introdução 3 Programação - EC4AN 4 1 Tópicos preliminares 5 1.1 Funções.............................................. 5 2 Funções Vetoriais 7 2.1 Conceitos............................................. 7 2.2 Limites e Continuidade...................................... 8 2.3 Derivada.............................................. 9 2.4 Integral.............................................. 11 2.5 Comprimento de arco...................................... 12 3 Funções de várias variáveis 13 3.1 Funções de Duas Variáveis.................................... 13 3.1.1 Gráfico de uma função de duas variáveis........................ 14 3.1.2 Curvas de nível...................................... 15 3.2 Funções de três variáveis e superfícies de nível......................... 15 3.3 Limite e Continuidade...................................... 16 3.4 Propriedades........................................... 17 4 Derivadas parciais 19

SUMÁRIO 2 4.1 Definição e interpretação..................................... 19 4.1.1 Derivadas de ordem superior.............................. 22 4.2 Funções Diferenciáveis...................................... 23 4.3 Planos Tangente......................................... 23 4.4 Regra da Cadeia......................................... 24 4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente........................... 25 4.5.1 Vetor Gradiente..................................... 26 4.5.2 Funções de Três variáveis................................ 27 4.5.3 Maximizando a Derivada Direcional.......................... 28 4.6 Valores máximos e mínimos................................... 28 5 Integrais Múltiplas 31 5.1 Integrais Duplas sobre Retângulos............................... 31 5.1.1 Revisão da Integral Definida.............................. 31 5.1.2 Volumes e Integrais Duplas............................... 32 5.2 Integrais Iteradas......................................... 34 5.3 Integrais Duplas sobre regiões genéricas............................ 36 5.4 Propriedades da Integral Dupla................................. 38 5.5 Integrais Duplas em coordenadas polares............................ 39 5.6 Aplicações das Integrais Duplas................................. 40 5.6.1 Densidade e Massa.................................... 40 5.6.2 Momentos e Centro de Massa.............................. 41 5.6.3 Momento de Inércia................................... 41 5.7 Área de Superfície........................................ 42 5.8 Integrais Triplas......................................... 43 5.8.1 Aplicações de Integral Tripla.............................. 44 5.9 Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas.................... 45 5.9.1 Coordenadas Cilíndricas................................. 45 5.9.2 Coordenadas Esféricas.................................. 45 Referências 47

INTRODUÇÃO Aqui encontra-se as notas de aulas da disciplina Cálculo III dadas ao curso de Engenharia Civil na Faculdade Mário Schenberg para as turmas que estão no quarto semestre do curso. Tais notas têm como referências os seguinte livros: [1], [2], [3].

PROGRAMAÇÃO - EC4AN Avaliações Diversificadas: 1 a 27/09 2 a 22/11 Multidisciplinar: 14/11 Oficial: 06/12 Substitutiva: 13/12 Exame: 20/12 A Média das Avaliações Diversificas será calculada através da seguinte fórmula: D 1 + 0, 7 D 2 + T + 0, 3M 2. 2 onde T representa o somatórios dos trabalhos feitos durante o semestre. Referências 1. STEWART, James. Cálculo v. 2. Thomson Learning, São Paulo: Pioneira, 4 a edição, 2001. 2. BOULOS, P, ABUD Z. I, Cálculo Diferencial e Integral. v. 2. São Paulo: Pearson Education, Makron Books, 2006. 3. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. v. 2. São Paulo: Makron Books, 1995. 4. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 3. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 5. AYRES JR., F, MENDELSON E., Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Makron Books, 1999.

CAPÍTULO1 TÓPICOS PRELIMINARES 1.1 Funções Função Dados dois conjuntos não vazios A R e B R, uma relação (ou correspondência) que associa a cada elemento x A um único elemento y B recebe o nome de função de A em B. Notação: f : A B f A x R y = f(x) B R Nota O subconjunto A é chamado domínio de f e pode ser denotado por Dom(f). O subconjunto B é chamado contradomínio de f. Definimos o conjunto imagem da f : A B para ser Im(f) = {y B y = f(x), x A}. O gráfico de f é o conjunto Graf(f) = {(x, f(x)) x Dom(f)}.

1.1 Funções 6 y (x, f(x)) f(x) = y B f A x x Exemplo 1.1.1. Determine o domínio de (a) f(x) = 2x 1 (b) f(x) = x 2 (c) f(x) = x 3 (d) f(x) = 3 x 1 (e) f(x) = 8 x 2 4 (f) f(x) = 1 x 8 + x 5 x 4 (g) f(x) = x 2 9 (h) f(x) = cos(x)

CAPÍTULO2 FUNÇÕES VETORIAIS 2.1 Conceitos Uma função vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Seja F : A R R n uma função de uma variável real a valores em R n. Para cada t A, temos F (t) = (F1 (t),..., F n (t)). As n funções F i : A R são chamadas as funções coordenadas de F. O domínio de F são todos os valores de t para os quais a expressão F está definida. Casos particulares: n = 2: r(t) = r(t) = f(t) i + g(t) j = (f(t), g(t)), t I = [a, b] n = 3: r(t) = r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k = (f(t), g(t), h(t)) t I = [a, b]

2.2 Limites e Continuidade 8 Exemplo 2.1.1. Determine as funções coordenadas e o domínio da função vetorial r(t) = t 3 i + ln(3 t) j + t k Exemplo 2.1.2. Encontre a função vetorial que descreve a curva de intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 4 e o plano x + y + 2z = 4. Dadas F (t) = (F 1 (t),..., F n (t)) e G(t) = (G 1 (t),..., G n (t)) definimos a função F G : A R dada por F (t) G(t) = F1 (t)g 1 (t) + + F n (t)g n (t) a qual chamamos de produto escalar de F e G. em R 3 a função F G : A R dada por i j k F (t) G(t) = F 1 (t) F 2 (t) F 3 (t) G 1 (t) G 2 (t) G 3 (t) a qual chamamos de produto vetorial de F e G. Exemplo 2.1.3. Considere F (t) = t 3 i + ln(3 t) j + t k e G(t) = cos(t) i + sin(t) j + t k. Calcule: (a) F (t) G(t) (b) F (t) G(t) 2.2 Limites e Continuidade então Seja F : A R R n uma função de uma variável real a valores em R n e L = (L 1,..., L n ) R n, lim t t 0 F (t) = L lim t t0 F i (t) = L i, i = 1,..., n. Exemplo 2.2.1. Seja F (t) = cos(t) i + sin(t) j + t k, calcule lim t π F (t). 4 Exemplo 2.2.2. Seja F (t) = cos(t) i + sin(t) j + t k, calcule lim h 0 F (t + h) F (t). h

2.3 Derivada 9 Definição 2.2.1. Sejam F : A R R n e t 0 A. Definimos F é contínua em t0 lim t t0 F (t) = F (t0 ). Dizemos que F é contínua em B A, se F for contínua em todo t B e que F é contínua, se for contínua para cada t no seu domínio. 2.3 Derivada Definição 2.3.1. Sejam F : A R R n e t 0 A. Definimos a derivada de F em t 0 por desde que o limite exista. F (t 0 ) = d F dt (t 0) = lim t t0 F (t) F (t0 ) t t 0 Se F admite derivada em t 0, então diremos que F é derivável ou diferenciável em t 0. Dizemos que F é diferenciável em B Dom(f), se F for diferenciável em todo t B e que F é diferenciável, se o for para cada t no seu domínio. Vejamos uma interpretação para uma curva C em R 3. Suponhamos que a curva C é dada pela função vetorial F (t) = F1 (t) i + F 2 (t) j + F 3 (t) k. z F (t) F (t0 ) P Q z F (t) P F (t) F (t0 ) Q t t 0 C F (t) F (t 0 ) C F (t) F (t 0 ) x y x y Logo, d F dt (t 0) = lim t t0 F (t) F (t0 ) t t 0 (F 1 (t) i + F 2 (t) j + F 3 (t) = lim k) (F 1 (t 0 ) i + F 2 (t 0 ) j + F 3 (t 0 ) k t t0 t t 0 (F 1 (t) F 1 (t 0 ) = lim i + F 2(t) F 2 (t 0 ) j + F 3(t) F 3 (t 0 ) k t t0 t t 0 t t 0 t t 0 = F 1 (t 0) i + F 2 (t 0) j + F 3 (t 0) k.

2.3 Derivada 10 De modo geral, temos o resultado Teorema 2.3.1. Sejam F = (F 1,..., F n ) e t 0 Dom( F ). Então, F será derivável em t 0 se, e somente se, cada coordenada de F o for; além disso, se F for derivável em t 0 F (t 0 ) = (F 1(t 0 ),..., F n(t 0 )). Com a interpretação geométrica, temos a seguinte definição Definição 2.3.2. Seja F : A R n derivável em t 0, com tangente à trajetória de F, em F (t 0 ). A reta F dt (t 0) 0. Dizemos que F dt (t 0) é um vetor X = F F (t 0 ) + λ dt (t 0), λ R denomina-se reta tangente à trajetória de F no ponto F (t 0 ). Exemplo 2.3.1. Seja ( ) F (t) = sin(3t), e t2, t. Calcule F (t) e F (0) Exemplo 2.3.2. Seja r (t) = ( t 2, arctan(2t), e t). Calcule d r dt e d2 r dt 2 Exemplo 2.3.3. Seja F (t) = (cos(t), sin(t)), t R. Determine a equação da reta tangente à trajetória de F no ponto ( ) π F. 4 Teorema 2.3.2 (Regras de Derivação). Sejam F, G : A R n, f : A R deriváveis em A. Então, (a) d dt ( F ± G)(t) = d F dt (t) ± d G dt (t) (b) d dt (f F )(t) = f (t) F (t) + f(t) d F dt (t) (c) d dt ( F G)(t) = d F dt (t) G(t) + F (t) d G dt (t) (d) d dt ( F f)(t) = d F dt (f(t))f (t) d (e) para n = 3, dt ( F G)(t) = d F dt (t) G(t) + F (t) d G dt (t) Exemplo 2.3.4. Seja F : A R n deriváveis em A e tal que F (t) = k, para todo t A e k uma constante. Prove que d F F (t) dt (t) = 0 para todo t A.

2.4 Integral 11 Derivadas de ordem superiores Vimos que Logo, De forma geral, onde n 1 é um número natural. F (t 0 ) = (F 1(t 0 ),..., F n(t 0 )). F (t 0 ) = (F 1 (t 0),..., F n (t 0)). F (n) (t 0 ) = (F (n) 1 (t 0 ),..., F (n) n (t 0)), 2.4 Integral Definição 2.4.1. Se F : [a, b] R n é uma função contínua em [a, b], dividimos o intervalo [a, b] em k subintervalos de comprimentos iguais t = b a k. Seja t o(= a), t 1, t 2, t 3,..., t k (= b) os extremos desses subintervalos e vamos escolher os pontos amostrais t 1, t 2,..., t k nesses subintervalos de tal forma que t i está no i-ésimo subintervalo [t i 1, t i ]. Então a integral definida de F é b a F (t) dt = lim k i=1 k F (t i ) t. Então, escrevendo F = (F 1,..., F n ), da definição acima, b a k F (t) dt = lim F (t i ) t k i=1 ( ) k k = lim F 1 (t n i ) t,..., lim F n (t i ) t k i=1 i=1 ( b ) b = F 1 (t) dt,..., F n (t) dt a a Se F for integrável em [a, b] e G uma primitiva de F em [a, b] teremos b a F (t) dt = G(b) G(a). Exemplo 2.4.1. Calcule 1 0 t i + 4 j + t 2 k dt.

2.5 Comprimento de arco 12 2.5 Comprimento de arco [a, b]. Suponhamos que uma curva C seja definida pela equação γ : [a, b] R n, onde γ é derivável em Definição 2.5.1 (Comprimento de Arco). Definimos comprimento L(γ) da curva γ por L(γ) = b a γ (t) dt. Exemplo 2.5.1. Calcule o comprimento da curva γ(t) = (cos(t), sin(t), t), t [0, 2π].

CAPÍTULO3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Até o momento, trabalhamos apenas com funções de uma variável. No entanto, frequentemente, encontramos situações em que uma quantidade depende de duas, três ou mais quantidades. Por exemplo: Volume de um cilindro de raio r e altura h: V = V (r, h) = πr 2 h Volume de uma caixa retangular de largura l, comprimento w e altura h: V = V (l, w, h) = lwh 3.1 Funções de Duas Variáveis Definição 3.1.1 (Função de duas variáveis). Seja D = {(x, y) x, y R} um subconjunto do plano xy (R 2 ). Uma função f de duas variáveis é uma relação que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) D a um número real z. O conjunto D é chamado de domínio de f e o conjunto dos valores correspondentes de z é chamado de imagem de f, dito de outra forma, Im(f) = {z R z = f(x, y), (x, y) D}. As variáveis x e y são chamadas de variáveis independente e z de variável dependente.

3.1 Funções de Duas Variáveis 14 y z f y (x, y) + z = f(x, y) x x Exemplo 3.1.1. Seja f(x, y) = x 2 xy + 2y. Encontre o domínio de f e os valores f(1, 2), f(2, 1), f(x 2, y) e f(x + y, x y). Exemplo 3.1.2. Encontre e desenhe o domínio das funções: (a) f(x, y) = y 2 x (b) f(x, y) = ln(x + y + 1) y x 3.1.1 Gráfico de uma função de duas variáveis Definição 3.1.2 (Gráfico). Seja f uma função de duas variáveis com domínio D. O gráfico de f é o conjunto S = Graf(f) = {(x, y, z) z = f(x, y), (x, y) D} S é também chamada de superfície.

3.2 Funções de três variáveis e superfícies de nível 15 3.1.2 Curvas de nível Definição 3.1.3. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas no plano xy com equações f(x, y) = k, onde k é uma constante na imagem de f. A curva de nível com equação f(x, y) = k é o conjunto de todos os ponto no domínio de f correspondenteparaos pontos sobreasuperfície z = f(x, y)tendo amesma altura k. Quandodesenhamos as curvas de nível para diversos valores de k na imagem, obtemos uma aplicação de contorno. Exemplo 3.1.3. Esboce uma aplicação de contorno para a função definida por f(x, y) = y x. Exemplo 3.1.4. Esboce uma aplicação de contorno para a superfície descrita por f(x, y) = x 2 +y 2 usando os níveis 0, 1, 4, 9 e 16. 3.2 Funções de três variáveis e superfícies de nível Definição 3.2.1 (Função de três variáveis). Seja D = {(x, y, z) x, y, z R} um subconjunto do espaço xyz (R 3 ). Uma função f de três variáveis é uma relação que associa a cada tripla ordenada de números reais (x, y, z) D a um número real w. O conjunto D é chamado de domínio de f e o conjunto dos valores correspondentes de z é chamado de imagem de f, dito de outra forma, Im(f) = {w R w = f(x, y, z), (x, y, z) D}. As variáveis x, y e z são chamadas de variáveis independente e w de variável dependente. Definição 3.2.2. As curvas de nível de uma função f de três variáveis são as superfícies no espaço xyz com equações f(x, y, z) = k, onde k é uma constante na imagem de f. Exemplo 3.2.1. Encontre os superfícies de nível da função f definida por f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2

3.3 Limite e Continuidade 16 3.3 Limite e Continuidade Definição 3.3.1. Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrários próximos de (a, b). Então, dizemos que o limite de f(x, y) quanto (x, y) converge para (a, b) é L e escrevemos lim f(x, y) = L, (x,y) (a,b) se para todo número ε > 0, existe uma número correspondente δ > 0 tal que se (x, y) D e 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ, então f(x, y) L < ε. y z b δ (x, y) f (a, b) L + ε L L ε a x Notação Podemos escrever (x a) 2 + (y b) 2 = (x, y) (a, b). Exemplo 3.3.1. Se f(x, y) = k é uma função constante, então, para todo (a, b) em R 2, lim f(x, y) = k. (x,y) (a,b) Exemplo 3.3.2. Suponhamos que lim f(x, y) = L. Seja γ uma curva em (x,y) (a,b) R2, contínua em t 0, com γ(t 0 ) = (a, b) e, para todo t t 0, γ(t) γ(t 0 ) com γ(t) D. Então, lim f(γ(t)) = L. t t0 Nota O Exemplo acima nos garante que se existem duas curvas γ 1 e γ 2 nas mesmas hipóteses e com L 1 L 2, então lim f(γ 1 (t)) = L 1 e lim f(γ 2 (t)) = L 2 t t 0 t t0 lim f(x, y) não existirá. (x,y) (a,b)

3.4 Propriedades 17 Exemplo 3.3.3. Se f(x, y) = x2 y 2 Exemplo 3.3.4. Se f(x, y) = Exemplo 3.3.5. Seja f(x, y) = x 2 tem limite em (0, 0)? Justifique. + y2 xy x 2 tem limite em (0, 0)? Justifique. + y2 2xy2 x 2 + y 4. (a) Descreva as curvas de nível. (b) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a 2 + b 2 > 0; mostre que, quaisquer que sejam a e b, (c) Calcule lim t 0 f(δ(t)), onde δ(t) = (t 2, t). (d) lim f(x, y) existe? Por quê? (x,y) (0,0) Exemplo 3.3.6. Mostre que 3.4 Propriedades lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 2 = 0 lim f(γ(t)) = 0. t 0 1. (Teorema do confronto) Se f(x, y) g(x, y) h(x, y), para 0 < (x, y) (a, b) < r e se lim f(x, y) = lim h(x, y), (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) então, lim g(x, y) = L. (x,y) (a,b) 2. Se lim f(x, y) = 0 e se g(x, y) M, para 0 < (x, y) (a, b) < r, onde r > 0 e M > 0 são (x,y) (a,b) reais fixos, então lim f(x, y)g(x, y) = 0. (x,y) (a,b)

3.4 Propriedades 18 3. Se lim f(x, y) = L 1 e lim g(x, y) = L 2, então (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (a) (b) (c) (d) lim [f(x, y) + g(x, y)] = L 1 + L 2. (x,y) (a,b) lim kf(x, y) = kl 1. (x,y) (a,b) lim f(x, y)g(x, y) = L 1L 2. (x,y) (a,b) f(x, y) lim (x,y) (a,b) g(x, y) = L 1, com L 2 0. L 2 Exemplo 3.4.1. Calcule, caso exista, Exemplo 3.4.2. Calcule, caso exista, lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x 3 x 2 + y 2 x 2 x 2 + y 2 Definição 3.4.1. Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrários próximos de (a, b). Então, dizemos que f é contínua em (a, b) se lim f(x, y) = f(a, b), (x,y) (a,b) ou seja, se para todo número ε > 0, existe uma número correspondente δ > 0 tal que se (x, y) D e (x, y) (a, b) < δ, então f(x, y) f(a, b) < ε. Diremos que f é contínua em D, se f é contínua em todo(a, b) D. x 2 y 2 Exemplo 3.4.3. A função f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) é contínua em (0, 0)? Justifique. 0 se (x, y) = (0, 0) 3x 2 Exemplo 3.4.4. A função f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) é contínua em (0, 0)? Justifique. 0 se (x, y) = (0, 0) Exemplo 3.4.5. Determine onde a função é contínua (a) f(x, y) = xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2 (b) f(x, y) = 1 y x 2 Teorema 3.4.1 (Continuidade de uma função composta). Se f é contínua em (a, b) e g é contínua em f(a, b), então a função composta h = g f definido por h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua em (a, b). Exemplo 3.4.6. Determine onde a função é contínua (a) F(x, y) = sin(xy) (b) G(x, y) = 1 2 cos(2x2 + y 2 ) 1 + 2x 2 + y 2

CAPÍTULO4 DERIVADAS PARCIAIS 4.1 Definição e interpretação Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis e seja (a, b) D f. Fixemos y = b. Então, z = f(x, b) é uma função de uma variável que é dada pela curva C que é intersecção do plano y = b com a superfície z = f(x, y). Se f(a + h, b) f(a, b) lim h 0 h existe, mede o ângulo da reta tangente T à curva C no ponto (a, b, f(a, b)) e a taxa de variação de f(x, y) com respeito a x. Similarmente, fixando x = a, z = f(a, y) é uma função de uma variável que é dada pela curva C que é intersecção do plano x = a com a superfície z = f(x, y).

4.1 Definição e interpretação 20 Se f(a, b + k) f(a, b) lim k 0 k existe, mede o ângulo da reta tangente T à curva C no ponto (a, b, f(a, b)) e a taxa de variação de f(x, y) com respeito a y. Diante do exposto acima, temos a definição Definição 4.1.1. Sejam z = f(x, y) e (a, b) D f. A derivada parcial de f com respeito a x em (a, b) é f f(a + h, b) f(a, b) f(x, b) f(a, b) (a, b) = lim = lim x h 0 h x a x a e a derivada parcial de f com respeito a y em (a, b) é desde que cada limite exista. f f(a, b + k) f(a, b) f(a, y) f(a, b) (a, b) = lim = lim y k 0 k y b y b Calculando as derivadas parciais Para calcular f, consideramos y como uma constante e diferenciamos na maneira usual com x respeito a x, uma operação que denotamos por x. Para calcular f, consideramos x como uma constante e diferenciamos na maneira usual y com respeito a y, uma operação que denotamos por y. Exemplo 4.1.1. Seja f(x, y) = 2xy 4y. Determine (a) f (x, y) x

4.1 Definição e interpretação 21 (b) f (x, y) y (c) f (1, 1) x (d) f ( 1, 1) y Exemplo 4.1.2. Seja z = f(x, y) = arctan(x 2 + y 2 ). Determine (a) f (x, y) x (b) f (x, y) y (c) f (1, 1) x (d) f (0, 0) y Exemplo 4.1.3. Seja z = f(x, y) dada implicitamente por x 2 + y 2 + z 2 = 1. Determine (a) z x (b) z y Cuidados com notação A notação f (x, y) é a derivada de f(x, y) com respeito a x, onde y é olhado como constante, x Por outro lado, a notação d [f(x, y)] é a derivada de f(x, y), onde y deve ser olhado como função dx de x. Exemplos: x (x2 + y 2 ) = 2x d dx (x2 + y 2 ) = 2x + 2y dy dx x 3 y 2 Exemplo 4.1.4. Seja f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Calcule (a) z x (b) z y

4.1 Definição e interpretação 22 Para funções de três variáveis temos: Definição 4.1.2. Sejam w = f(x, y, z) e (a, b, c) D f. A derivada parcial de f com respeito a x em (a, b, c) é f f(a + h, b, c) f(a, b, c) f(x, b, c) f(a, b, c) (a, b, c) = lim = lim, x h 0 h x a x a a derivada parcial de f com respeito a y em (a, b, c) é f f(a, b + k, c) f(a, b, c) f(a, y, c) f(a, b, c) (a, b, c) = lim = lim y k 0 k y b y b e a derivada parcial de f com respeito a z em (a, b, c) é desde que cada limite exista. f f(a, b, c + l) f(a, b, c) f(a, b, z) f(a, b, c) (a, b, c) = lim = lim z l 0 l z c z c Exemplo 4.1.5. Calcule as derivadas parciais de f(x, y, z, w) = e xyzw. 4.1.1 Derivadas de ordem superior Consideremos a função z = f(x, y) de duas variáveis. Claramente, f x e f são funções de x e y y. Entretanto, podemos determinar as derivadas parciais de cada uma dessas funções para obtermos as quatros derivadas parciais de segunda ordem de f: f xx = 2 f x 2 = x f xy = 2 f y x = y f yx = 2 f x y = x f yy = 2 f y 2 = y ( ) f x ( ) f x ( ) f y ( ) f y Chamamos f xy e f yx de derivadas parciais mistas. Exemplo 4.1.6. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = 2xy 2 3x 2 + xy 3. Teorema 4.1.1 (Teorema de Clairaut). Se f(x, y) e suas derivadas f x, f y, f xy e f yx são contínuas em uma região aberta R então f xy (x, y) = f yx (x, y). Exemplo 4.1.7. Seja f(x, y, z) = xe yz. Determine f xzy e f yxz.

4.2 Funções Diferenciáveis 23 4.2 Funções Diferenciáveis Definição 4.2.1. Sejam f : A R, A R 2 aberto e (a, b) A. Dizemos que f é diferenciável em (a, b) se, e somente se, existem reais a e b tais que f(a + h, b + k) f(a, b) ah bk lim (h,k) (0,0) (h, k) = 0. Teorema 4.2.1. Se f é diferenciável em (a, b), então f é contínua em (a, b). Teorema 4.2.2. Sejam f : A R, A R 2 aberto e (a, b) A. Se f é diferenciável em (a, b), então f admitirá derivadas parciais em (a, b). Corolário 4.2.2.1. Sejam f : A R, A R 2 aberto e (a, b) A. Então, f é diferenciável em (a, b) se, e somente se, 1. f admite derivadas parciais em (a, b); E(h, k) 2. lim (h,k) (0,0) (h, k) f f = 0, onde E(h, k) = f(a + h, b + k) f(a, b) (a, b)h (a, b)k. x y Dizemos que f é diferenciável em B D f, se f é diferenciável para todo (x, y) B. Exemplo 4.2.1. Prove que f(x, y) = x 2 y é diferenciável. Exemplo 4.2.2. Verifique se 2xy 2 f(x, y) = x 2 + y 4 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é diferenciável em (0, 0). Exemplo 4.2.3. Verifique se x 3 f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é diferenciável em (0, 0). O resultado a seguir nos dá uma condição suficiente para diferenciabilidade. Teorema 4.2.3. Sejam f : A R, A R 2 aberto e (a, b) A. Se as derivadas parciais f x e f y existirem em A e forem contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b). 4.3 Planos Tangente Suponhamos que a superfície S tenha equação z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e seja P(x 0, y 0, z 0 ) um ponto sobre S.

4.4 Regra da Cadeia 24 Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P(x 0, y 0, z 0 ) é dada por z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Exemplo 4.3.1. Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico z = 2x 2 + y 2 no ponto (1, 1, 3). 15 10 5 0-5 -10-15 -2-1 0 1 2-2 0 2 4.4 Regra da Cadeia Recordemos que a regra da cadeia para para funções de uma variável dá a regra para derivação de uma função composição. Se y = f(x) e x = g(t), onde f e g são funções diferenciáveis, então y é uma função diferenciável de t e dy dt = dy dx.dx dt. Teorema 4.4.1 (Regra da Cadeia - Caso 1). Suponhamos que z = f(x, y) é uma função diferenciável de x e y, onde x = f(t) e y = g(t) são ambas diferenciáveis de t. Então, z é uma função diferenciável de t e dz dt = df dx dx dt + df dy dy dt.

4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente 25 Exemplo 4.4.1. Se z = x 2 y + 3xy 4, onde x = sin(2t) e y = cos(t), encontre dz dt em t = 0. Teorema 4.4.2 (Regra da Cadeia - Caso 2). Suponhamos que z = f(x, y) é uma função diferenciável de x e y, onde x = f(s, t) e y = g(s, t) são ambas diferenciáveis de s e t. Então, z é uma função diferenciável de s e t e z ds = f x x s + f y y s e z dt = f x x t + f y y t. Exemplo 4.4.2. Se z = e x sin(y), onde x(s, t) = st 2 e y(s, t) = s 2 t, encontre z ds e z dt. Teorema 4.4.3 (Regra da Cadeia - Caso Geral). Suponhamos que u é uma função diferenciável de n variáveis x 1, x 2,..., x n, onde cada x j é uma função diferenciável de m variáveis t 1, t 2,..., t m. Então, u é uma função diferenciável det 1, t 2,..., t m variáveis e onde j = 1, 2,..., n. u dt i = u x 1 x 1 t i + u x 2 x 2 t i + + u x n x n t i Exemplo 4.4.3. Escreva a regra da cadeia para o caso onde w = f(x, y, z, t) e x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) e t = t(u, v). Exemplo 4.4.4. Se u = x 4 y + y 2 z 3, onde x = x(r, s, t) = rse t, y = y(r, s, t) = rse t e z = z(r, s, t) = r 2 s sin(t), encontre os valor de u onde r = 2, s = 1 e t = 0. s Exemplo 4.4.5. Se g(s, t) = f(s 2 t 2, t 2 s 2 ) e f é diferenciável, prove que g satisfaz a equação t g s + s g t = 0. Exemplo 4.4.6. Se z = f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e x = r 2 + s 2 e y = 2rs, encontre (a) z r (b) 2 z r 2 4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente Suponhamos que queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto (x 0, y 0 ) na direção de um vetor unitário u = (a, b). Consideremos a superfícies S com equação z = f(x, y) e z 0 = f(x 0, y 0 ). O ponto P(x 0, y 0, z 0 ) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C. A inclinação da reta tangente T a C em P é a taxa de variação de z na direção de u.

4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente 26 y u (x 0, y 0 ) θ cos(θ) sin(θ) x Definição 4.5.1. A derivada direcional de f em (x 0, y 0 ) na direção do vetor unitário u = (a, b) é se o limite existir. D u f(x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb) f(x 0, y 0 ) h Teorema 4.5.1. Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer versor u = (a, b) e D u f(x, y) = f x (x, y)a + f y (x, y)b. Exemplo 4.5.1. Determine a derivada direcional D u f(x, y) se f(x, y) = x 3 3xy + 4y 2 e u é um vetor unitário dado pelo ângulo θ = π 6. Qual é D uf(1, 2)? 4.5.1 Vetor Gradiente Note que D u f(x, y) = f x (x, y)a + f y (x, y)b = (f x (x, y), f y (x, y)), (a, b) = (f x (x, y), f y (x, y)), u Definição 4.5.2. Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial f definida por f(x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) = f x i + f y j. Exemplo 4.5.2. Se f(x, y) = sin(x) + e xy. Determine: (a) f(x, y)

4.5 Derivadas Direcionais e o Vetor gradiente 27 (b) f(0, 1) Pela definição anterior, podemos escrever D u f(x, y) = f(x, y), u Exemplo 4.5.3. Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x 2 y 3 4y no ponto (2, 1) na direção v = 2 i + 5 j. y f( 2,1) v x (2, 1) 4.5.2 Funções de Três variáveis Definição 4.5.3. A derivada direcional de f em (x 0, y 0, z 0 ) na direção do vetor unitário u = (a, b, c) é se o limite existir. D u f(x 0, y 0, z 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb, z 0 + hc) f(x 0, y 0, z 0 ) h Definição 4.5.4. Se f é uma função de três variáveis x, y e z, o gradiente de f é a função vetorial f definida por f(x, y, z) = (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)) = f x i + f y j + f z k. Pela definição, podemos escrever D u f(x, y, z) = f(x, y, z), u

4.6 Valores máximos e mínimos 28 Exemplo 4.5.4. Se f(x, y, z) = x sin(yz), determine 1. f(x, y) 2. a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direção v = i + 2 j k 4.5.3 Maximizando a Derivada Direcional Teorema 4.5.2. Suponha que f seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da derivada direcional D u f(x) é f(x) e ocorre quando u tem a mesma direção que o vetor gradiente f(x). Exemplo 4.5.5. Se f(x, y) = xe y, determine a taxa de variação de f no ponto P(2, 0) na direção de P a Q( 1 2, 2). Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação? f(x,y) = xe y 600 400 200 0-200 -400 P x 0 2 f(2,0) 4 4 Q 2 0 y Exemplo 4.5.6. Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço seja dada por T (x, y, z) = 80 1 + x 2 + y 2 + 3z2, onde T é a medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, 2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento? 4.6 Valores máximos e mínimos Definição 4.6.1. Uma função f de duas variáveis tem máximo absoluto(ou máximo global) em (a, b), se f((a, b)) f(x, y), para todo x D, onde D é o domínio de f. O número f(a, b) é chamado de valor máximo de f em D. Uma função f tem mínimo absoluto(ou mínimo global) em (a, b), se f(a, b) f(x, y), para todo x D, onde D é o domínio de f. O número f(a, b) é chamado de valor mínimo de f em D. Os valores máximo e mínimos de f são chamados de valores extremos de f.

4.6 Valores ma ximos e mı nimos 29 Teorema 4.6.1. Se uma func a o f tem um ma ximo ou mı nimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, enta o fx (a, b) = 0 e fy (a, b) = 0. Definic a o 4.6.2. Um ponto (a, b) e dito ponto crı tico (ou ponto estaciona rio) de f se fx (a, b) = 0 e fy (a, b) = 0, ou se as derivadas parciais na o existirem. Exemplo 4.6.1. Determine os valores extremos de f (x, y) = x2 + y 2 2x 6y + 14. Exemplo 4.6.2. Determine os valores extremos de f (x, y) = y 2 x2. f (x, y) = x2 + y 2 2x 6y + 14 f (x, y) = y 2 x2 10 20 5 15 0 10-5 5 10 0 10 y 5 5-10 x 0-5 -2-2 0 y -5 0 0 2 2 x Teorema 4.6.2 (Teste da derivada segunda). Suponhamos que as derivadas de segunda ordem de f sa o contı nuas sobre um disco centrado em (a, b), fx (a, b) = 0 e fy (a, b) = 0. Seja D = D(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b) (fxy (a, b))2 = fxx (a, b) fxy (a, b) fyx (a, b) fyy (a, b) (a) Se D > 0 e fxx (a, b) > 0, enta o f (a, b) e um mı nimo local. (b) Se D > 0 e fxx (a, b) < 0, enta o f (a, b) e um ma ximo local. (c) Se D < 0, enta o f (a, b) na o e um mı nimo ou ma ximo local. No caso (c) o ponto (a, b) e chamado de ponto de sela de f e o gra fico de f corta seu plano tangente em (a, b). Exemplo 4.6.3. Encontre os valores de mı nimo e ma ximo local e pontos de sela de f (x, y) = x4 + y 4 4xy + 1

4.6 Valores máximos e mínimos 30 f(x,y) = x 4 +y 4 4xy +1 5 4 3 2 1 0-1 -2-2 -3 0 x -2-1 0 y 1 2 2 Exemplo 4.6.4. Encontre e classifique os pontos críticos da função f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4. f(x,y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 3 y 2.5 2 10 5 1.5 1 0 x -5-2 -4-0.5-10 -2-1 0 1 y 2 3 4 2 0 x -1-1.5-3 -2-1 1 2 3 Exemplo 4.6.5. Encontre a menor distância do ponto (1, 0, 2) para o plano x + 2y + z = 4. Exemplo 4.6.6. Uma caixa retangular sem a tampa é feito de 12m 2 de papelão. Encontre o volume máximo da caixa. Teorema 4.6.3 (Teorema de valores extremos). Se f é contínuo sobre um conjunto D limitado e fechado D em R 2, então f assume máximo absoluto f(x 1, y 1 ) e mínimo absoluto f(x 2, y 2 ) em algum ponto (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) em D Exemplo 4.6.7. Encontre os valores máximo e mínimos absolutos da função f(x, y) = x 2 2xy + 2y sobre o retângulo D = {(x, y) 0 x 3, 0 y 2}.

CAPÍTULO5 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 5.1 Integrais Duplas sobre Retângulos Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular volume de um sólido e no processo chegar à definição de integral dupla. 5.1.1 Revisão da Integral Definida Se f(x) é definida para a x b, subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [x i 1, x i ] de comprimento igual x = b a e escolhemos pontos arbitrários x i em cada um desses subintervalos. Em n seguida, formamos a soma de Riemann n f(x i ) x i=1 e tomando o limite dessa soma quando n para obter a integral definida de a até b da função f. b a n f(x) dx = lim f(x n i ) x i=1 No caso especial, em que f(x) 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das áreas dos retângulos aproximados (da área) da figura abaixo e y = f(x) de a até b. b a f(x) dx representa a área sob a curva

5.1 Integrais Duplas sobre Retângulos 32 5.1.2 Volumes e Integrais Duplas fechado De modo semelhante, vamos considerar uma função f de duas variáveis definidas em um retângulo R = [a, b] [c, d] = { } (x, y) R 2 a x b e c y d e vamos supor inicialmente f(x, y) 0. O gra fico de f é a superfície com equação z = f(x, y). Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de f, ou seja, S = { } (x, y, z) R 3 0 z f(x, y). Nosso objetivo é determinar o volume de S. Dividiremos o retângulo R em sub-retângulos, ou seja, dividiremos o intervalo [a, b] em m intervalos [x i 1, x i ] e [c, b] em n intervalos [y i 1, y i ] com os respectivos comprimentos x = b a m e x = d c n. Assim temos os sub-retângulos } R ij = [x i 1, x i ] [y i 1, y i ] = {(x, y) R 2 x i 1 x x i e y i 1 y y i cada um dos quais com área A = x y.

5.1 Integrais Duplas sobre Retângulos 33 Vamos escolher um ponto arbitrário, que chamaremos ponto amostra, (x ij, y ij ) em cada R ij. Note que o volume da parte de S que está acima da região de cada R ij tem volume Então, f(x ij, y ij)δa. m n V f(x ij, yij)δa. i=1 j=1 Portanto, se fizermos m, n, melhoraremos a estimativa e m n V = lim f(x m,n ij, yij) A i=1 j=1

5.2 Integrais Iteradas 34 Sendo assim temos: Definição 5.1.1. A integral dupla de f sobre o retângulo R é m n f(x, y) da = lim f(x R m,n ij, yij) A i=1 j=1 se esse limite existir. Se f(x, y) 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x, y) é V = f(x, y) da. 5.2 Integrais Iteradas R Suponha que f seja uma função de duas variáveis, contínua no retângulo R = [a, b] [c, d]. Usaremos a notação d c f(x, y) dy significando que x é mantido constante e e f(x, y) é integrado em relação y de y = c até y = d. Esse procedimento é chamado integração parcial em relação a y. Como d f(x, y) dy é um número que depende do valor de x, ele define uma função de x c A(x) = d c f(x, y) dy. Se integrarmos a função A com relação à variável x de x = a até x = b obteremos b a A(x) dx = [ b d a c f(x, y) dy ] dx. (5.1) A integral do lado direito da Equação (5.1) é chamada integral iterada. Usualmente os colchetes são suprimidos. Então, b d [ b ] d f(x, y) dy dx = f(x, y) dy dx, (5.2) a c significando que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de a até b. Da mesma forma, Então, d b c a f(x, y) dx dy = a c [ d b c a f(x, y) dx ] dx, (5.3) significando que primeiro integramos com relação a x de a até b e depois em relação a y de c a d. Exemplo 5.2.1. Calcule o valor das integrais (a) (b) 3 2 0 1 2 3 1 0 x 2 y dx dy x 2 y dy dx

5.2 Integrais Iteradas 35 Teorema 5.2.1 (Teorema de Fubini). Se f for contínua no retângulo R = [a, b] [c, d] = { } (x, y) R 2 a x b e c y d, então R f(x, y) da = b d a c f(x, y) dy dx = d b c a f(x, y) dx dy. Da figura abaixo, podemos ver que A(x) é a área da curva C suja função é z = f(x, y), onde x é mantida constante e c y d. Portanto, e temos R A(x) = f(x, y) da = V = Exemplo 5.2.2. Calcule a integral Exemplo 5.2.3. Calcule R R b a d c f(x, y) dy A(x) dx = b d a c f(x, y) dy dx. (x 3y 2 ) da, onde R = {(x, y) 0 x 2, 1 y 2}. (y sin(xy)) da, onde R = [1, 2] [0, π]. Suponhamos que f pode ser fatorada da forma f(x, y) = g(x)h(y) e R = [a, b] [c, d]. Então, pelo Teorema de Fubini, Exemplo 5.2.4. Calcule R f(x, y) da = R b d a c g(x)h(y) dy dx = sin(x) sin(y) da, onde R = [ 0, π 2 b a d g(x) dx h(y) dy. c ] [ 0, π 2 ].

5.3 Integrais Duplas sobre regiões genéricas 36 5.3 Integrais Duplas sobre regiões genéricas Para integrais únicas, a região sobra a qual integramos é sempre um intervalo. Mas para integrais dupla, queremos integrar a função f não somente sobre retângulos, mas também sobre regiões D de formatos mais gerais, tal como a figura ilustrada abaixo: Suponhamos que D é uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular como a figura abaixo: Então, definimos a nova função F com domínio R por F(x, y) = { f(x, y), (x, y) D 0, (x, y) R\D (5.4) Se F é integrável sobre R, então definimos a integral dupla de f sobre D por f(x, y) da = F(x, y) da, D R onde F é dada pela equação (5.4). A região plana D é dita de tipo I se está limitada entre gráficos de duas funções contínuas de

5.3 Integrais Duplas sobre regiões genéricas 37 x, isto é, D = {(x, y) a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} onde g 1 e g 2 são contínuas sobre [a, b]. Definição 5.3.1. Se f é contínua sobre uma região D do tipo I tal que D = {(x, y) a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} então, b g2 (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx. D a g 1 (x) Também consideramos regiões planas do Tipo II, que pode ser expressa como D = {(x, y) c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} onde h 1 e h 2 são contínuas sobre [c, d]. Então, Exemplo 5.3.1. Avalie D D f(x, y) da = d h2 (y) c h 1 (y) f(x, y) dx dy. (x + 2y) da, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x 2 e y = 1+x 2

5.4 Propriedades da Integral Dupla 38 Exemplo 5.3.2. Determine o volume do sólido que está contido debaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2 Exemplo 5.3.3. Calcule xy da, onde D é a região limitada pela reta y = x 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6. D Exemplo 5.3.4. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Exemplo 5.3.5. Calcule a integral iterada 1 1 0 x 5.4 Propriedades da Integral Dupla sin(y 2 ) dy dx. Suponhamos que todas as integrais existam em uma região D. D [f(x, y) + g(x, y)] da = D cf(x, y) da = c D f(x, y) da + g(x, y) da D D g(x, y) da Se f(x, y) g(x, y), para todo (x, y) D, então f(x, y) da g(x, y) da D D Se D = D 1 D 2, onde D 1 e D 2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras, então f(x, y) da = f(x, y) da + g(x, y) da. D D 1 D 2 Se integrarmos uma função constante f(x, y) = 1 sobre uma região D obteremos a área de D: 1 da = A(D). D

5.5 Integrais Duplas em coordenadas polares 39 5.5 Integrais Duplas em coordenadas polares Suponha que queremos calcular a integral dupla R f(x, y) da, onde R é umadas regiões abaixo (a) R = {(r, θ) 0 r 1, 0 θ 2π} (b) R = {(r, θ) 1 r 2, 0 θ 2π} Recordemos da figura abaixo que as coordenadas polares (r, θ) de um ponto relacionadas com as coordenadas retangulares (x, y) pelas equações r 2 = x 2 + y 2 x = r cos θ y = r sin(θ). Definição 5.5.1 (Mudança para Coordenadas Polares numa Integral Dupla). Se f é contínua no retângulo polar R dado por 0 a r b, α θ β, onde 0 β α 2π, então Exemplo 5.5.1. Calcule x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4. R R f(x, y) da = β b α a f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ (3x+4y 2 ) da, onde R é aregião no semiplano superior limitada pelos círculos Exemplo 5.5.2. Determine o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 x 2 y 2. Definição 5.5.2. Se f é contínua no retângulo polar da forma D = {(r, θ) α θ β, h 1 (θ) r h 1 (θ)},

5.6 Aplicações das Integrais Duplas 40 então D f(x, y) da = β h2 (θ) α h 1 (θ) f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ Exemplo 5.5.3. Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x 2 + y 2, acima do plano xy e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2x. 5.6 Aplicações das Integrais Duplas 5.6.1 Densidade e Massa Já vimos como calcular momentos e centro de massa de placas finas ou lâminas de densidade constante usando integrais simples. Agora com o auxílio das integrais duplas, temos condições de considerar lâminas com densidade variável. Suponha uma lâmina colocada numa região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) D é dada por ρ(x, y), onde ρ é uma função contínua sobre D. Isso significa que ρ(x, y) = lim m A onde m e A são a massa e a área do pequeno retângulo que contém (x, y) e tomamos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de 0. Então, m = D ρ(x, y) da. Físicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma maneira. Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a densidade de carda (em unidades de carga por unidade de área) é dada por σ(x, y) num ponto (x, y) D, então a carga Q é dada por Q = D σ(x, y) da. Exemplo 5.6.1. A carga é distribuída sobre uma região D da figura abaixo de modo que a densidade de carga em (x, y) seja σ(x, y) = xy, medida em coulombs por metro quadrado (C/m 2 ). Determine a carga total.

5.6 Aplicações das Integrais Duplas 41 5.6.2 Momentos e Centro de Massa Veremos como determinar o centro de massa (ou centro de gravidade) da lâmina com densidade ρ(x, y) que ocupa a região D. O momento da lâmina inteira é em torno do eixo x: M x = em torno do eixo y: M y = D D yρ(x, y) da; xρ(x, y) da. As coordenadas (x, y) do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e tendo função densidade ρ(x, y) são onde a massa m é dada por x = M y m = 1 yρ(x, y) da m D m = D y = M x m = 1 xρ(x, y) da, m D ρ(x, y) da. Exemplo 5.6.2. Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2) se a função densidade é ρ(x, y) = 1 + 3x + y. Exemplo 5.6.3. A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina. 5.6.3 Momento de Inércia O momento de inércia, também chamado de segundo momento, de uma partícula de massa m em torno de um eixo é definido como mr 2, onde r é a distância da partícula ao eixo. Estendemos o conceito a uma lâmina com função densidade ρ(x, y) e ocupando uma região D pelo mesmo processo que fizemos para momento simples. O resultado é momento de inércia da lâmina é

5.7 Área de Superfície 42 em torno do eixo x: I x = em torno do eixo y: I y = D D y 2 ρ(x, y) da; x 2 ρ(x, y) da. É de interesse ainda considerar o momento de inércia em torno da origem, também chamado momento polar de inércia I o = I x + I y = D (x 2 + y 2 )ρ(x, y) da Exemplo 5.6.4. Determine os momentos de inércia I x, I y e I 0 do disco homogêneo D com densidade ρ(x, y) = ρ, centro na origem e raio a. 5.7 Área de Superfície Calcularemos aqui a área de uma superfície cuja equação é dada por z = f(x, y), o gráfico de um função de duas variáveis. Seja S a superfície com equação z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais contínuas. Consideremos a seguinte figura: A área da superfície S é dada por n m A(S) = lim T ij. m,n i=1 j=1 Note que T ij = a b

5.8 Integrais Triplas 43 Temos que a = x i + f x (x i, y j ) x k b = y j + f x (x i, y j ) y k logo T ij = a b = [f x (x i, y j )] 2 + [f y (x i, y j )] 2 + 1 A. Portanto A(S) = D [f x (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 + 1 A. Exemplo 5.7.1. Determine a área da parte da superfície z = x 2 +2y que está acima da região triangular T no plano xy com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1). Exemplo 5.7.2. Determine a área da parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está abaixo do plano z = 9. 5.8 Integrais Triplas Consideremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular: B = {(x, y, z) a x b, c y d, r z s}. Definição 5.8.1. A integral tripla de f sobre a caixa B é se o limite existir. l m n f(x, y, z) dv = lim f(x i, y j, z k ) V B l,m,n i=1 j=1 k=1 Teorema 5.8.1 (Teorema de Fubini para Integrais Triplas). Se f é contínua em uma caixa retangular B = [a, b] [c, d] [r, s], então B f(x, y, z) dv = s d b r c a f(x, y, z) dx dy dz.

5.8 Integrais Triplas 44 Exemplo 5.8.1. Calcule a integral tripla B xyz 2 dv, onde B é a caixa retangular dada por B = {(x, y, z) 0 x 1, 1 y 2, 0 z 3}. Definiremos agora a integral tripla sobre uma região limitada genérica E no espaço tridimensional. Consideremos E = {(x, y, z) a x b, g 1 (x) y g 2 (x), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)}. Então, Exemplo 5.8.2. Calcule B y = 0, z = 0 e x + y + z = 1. Exemplo 5.8.3. Calcule pelo plano y = 4. f(x, y, z) dv = E E b g2 (x) u2 (x,y) a g 1 (x) u 1 (x,y) f(x, y, z) dz dy dx. z dv, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x = 0, x 2 + z 2 dv, onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x 2 + z 2 e 5.8.1 Aplicações de Integral Tripla O volume de um sólido é é V (E) = Exemplo 5.8.4. Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. E dv. Se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é ρ(x, y, z), em unidade de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z), então sua massa é m = E ρ(x, y, z) dv e seus momentos em relação aos três planos coordenados são M yz = M xz = M xy = E E E xρ(x, y, z) dv ; yρ(x, y, z) dv ; zρ(x, y, z) dv. O centro de massa está localizado no ponto (x, y, z), onde x = M yz m y = M xz m z = M xy m

5.9 Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas 45 Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide de E. Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são I x = I y = I z = E E E (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z) dv ; (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z) dv ; (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z) dv. Exemplo 5.8.5. Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico x = y 2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1. 5.9 Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas Nesta seção veremos que algumas integrais triplas são mais simples de calcular utilizando coordenadas polares ou esféricas. 5.9.1 Coordenadas Cilíndricas Suponha que f seja contínua e E = {(x, y, z) (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} onde D = {(r, θ) α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)}. A fórmula para integração tripla em coordenadas cilíndricas é E f(x, y, z) dv = β g2 (θ) u2 (r cos(θ),r sin(θ)) α h 1 (θ) u 1 (r cos(θ),r sin(θ)) f(r cos(θ), r sin(θ), z)r dz dr dθ. Exemplo 5.9.1. Um sólido E está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 x 2 y 2. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E. 2 4 x 2 2 Exemplo 5.9.2. Calcule (x 2 + y 2 ) dz dy dx. 4 x 2 x 2 +y 2 2 5.9.2 Coordenadas Esféricas As coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de um ponto P

Índice Remissivo 46 são dadas por x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ Nesse sistema de coordenadas o correspondente à caixa retangular é uma cunha esférica E = {(ρ, θ, φ) a ρ b, α θ β, c φ d} onde a 0, β α 2π e β α 2π e d c π. Então, a fórmula para integração tripla em coordenadas esféricas é E f(x, y, z) dv = Exemplo 5.9.3. Calcule d β b c B α a f(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ))ρ 2 sin(φ) dρ dθ dφ. e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 dv, onde B = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1}.

REFERÊNCIAS [1] Guidorizzi, H. Um curso de cálculo, vol. 3. LTC, 2001. [2] Leithold, L. O Cálculo com geometria analítica, vol. 2. Harbra, 1994. [3] Stewart, J., M. A.; Martins, A. Cálculo, vol. 2. Cengage Learning, 2010.