CINEMÁTICA VETORIAL Movimento Circular Profª Andreia Andrade AULA 7
CINEMÁTICA VETORIAL GRANDEZAS ANGULARES As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas: deslocamento/espaço angular: velocidade angular: ω (ômega) aceleração angular: α (alpha) (phi)
ÂNGULO HORÁRIO ( ) CINEMÁTICA VETORIAL Consideremos um móvel percorrendo no sentido antihorário a trajetória circular de um raio R indicada na figura. P(t) (Origem das posições) Seja P a posição do móvel no instante t. Denominamos ângulo horário ou fase o ângulo corresponde ao arco de trajetória OP. que
CINEMÁTICA VETORIAL VELOCIDADE ANGULAR ( ) Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento: Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s. Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:
CINEMÁTICA VETORIAL ACELERAÇÃO ANGULAR ( ) Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular média como:
CINEMÁTICA VETORIAL RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Grandezas Lineares Grandezas Angulares S (m) ϕr (rad) V (m/s) ωr (rad/s) A (m/s 2 ) αr (rad/s 2 ) Grandeza linear = Grandeza Angular X Raio s = ϕr v= ωr a = αr
CINEMÁTICA VETORIAL PERÍODO E FREQUÊNCIA Denominamos periódico T o tempo gasto pelo móvel para realizar uma volta completa. Denominamos frequência f do movimento, o número de voltas efetuadas na unidade de tempo.
PERÍODO E FREQUÊNCIA Se, por exemplo, cada cadeira dá 15 voltas por minuto, dizemos que a roda-gigante com uma freqüência de 15 ciclos por minuto ou 15 rotações por minuto (15 rpm). Se quisermos achar a freqüência em segundos, basta dividirmos por 60, por 1min = 60s. A unidade ciclos por segundo ou rotações por segundo é chamada hertz, Hz. Por outro lado, o tempo que a rodagigante leva para dar uma volta completa é denominado período do movimento.
CINEMÁTICA VETORIAL MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Um ponto material está animado de um movimento circular uniforme (MCU) quando sua trajetória é uma circunferência e o módulo de sua velocidade permanece cte no decorrer do tempo. O carro da figura ao lado, por exemplo, realiza um MCU ao descrever a trajetória circular de raio R.
No dia a dia, vemos muitos exemplos de MCUs: disco, pás de um ventilador, carrossel, satélite em volta da Terra e etc.
CINEMÁTICA VETORIAL ACELERAÇÃO CENTRÍPETA Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta. Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:
CINEMÁTICA VETORIAL FUNÇÃO HORÁRIA ANGULAR Sabendo que e que, pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular: Temos:
CINEMÁTICA VETORIAL MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α). As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.
Assim: E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centrípeta:
ACOPLAMENTO DE POLIAS É possível efetuar a transmissão de movimentos circulares entre duas rodas, dois discos ou duas polias através de dois procedimentos básicos: encostando-os (figura 1) ou ligando-os por uma corrente (figura 2). Em ambos os casos, costuma-se usar engrenagens cujos dentes se adaptam entre si, quando em contato, ou se encaixam nos elos da corrente de ligação, para não haver deslizamento ou escorregamento.
Unidade 3 CINEMÁTICA VETORIAL Embora na transmissão por contato haja inversão no sentido do movimento, o que não ocorre na transmissão por corrente (ou correia), em ambas as situações as velocidades lineares dos pontos periféricos das duas rodas são iguais, em cada instante. Assim, considerando os pontos A e B destacados nas figuras 1 e 2, temos: Os raios das rodas, e portanto, dos movimentos descritos pelos pontos A e B são RA e RB respectivamente. Temos então: Logo:
Portanto as velocidades angulares das rodas são inversamente proporcionais aos respectivos raios. Essa proporcionalidade inversa em relação aos raios vale também para as frequências pois:
EXERCÍCIOS 1. Um corpo se movimenta em trajetória circular no sentido anti-horário. Nos instantes de 3 s e 5 s suas posições são, respectivamente, 30º e 120º. Calcule: a) O ângulo descrito nesse intervalo de tempo; b) A velocidade angular média. 2. Um corpo em MCU efetua 480 voltas numa circunferência de raio 0,5 m em 2 minutos. Determinar: a) A frequência; b) O período; c) A velocidade escalar do corpo.
3. A lua gira em torno da Terra, completando uma revolução em 27,3 dias. Suponha que sua orbita seja circular e tenha um raio de 385 000 km. Determinar a aceleração da Lua nesse movimento. 4. Dois móveis, A e B, percorrem a mesma pista circular com movimentos uniformes, partindo do mesmo ponto e caminhando no mesmo sentido. Determinar as velocidades angulares desses móveis, sabendo que 0,5 s após a partida eles se alinham pela primeira vez com o centro da pista, e que a velocidade angular de B é o triplo da de A.
5. As polias indicadas na figura ao lado tem raios R A = 60 cm e R B = 10 cm. Sabendo que f A = 20 rpm, determinar o numero de rotações da polia B. 6. As polias indicadas na figura giram coaxialmente. Sabendo que R A = 20 cm, R B = 60 cm e que a velocidade escalar de um ponto periférico da polia A é 50 cm/s. Calcular a velocidade do ponto X.
7. Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 2rad/s². a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos? b) Qual será o ângulo descrito neste tempo? c) Qual será o vetor aceleração resultante?