Álgebra Cadeia de tarefas I Contextos Numéricos Tabelas coloridas A Maria desenhou uma tabela com números de 1 a 25 e depois construiu as cinco tabelas com padrões coloridos e sem números. Qual teria sido o critério que levou a Maria a colorir cada uma das tabelas anteriores desse modo? Explica a tua resposta. Cadernetas O João tem 40 cromos e deu três cromos a cada um dos seus amigos. Quantos amigos tem o João? Gratificação da avó O Daniel foi visitar a avó, que lhe deu 1,5. Depois de visitar a avó o Daniel comprou um livro que custou 3,20, e ficou com 2,30 no bolso. Quanto dinheiro tinha o Daniel antes de ter visitado a sua avó. (Kieran:1992,393) Aluguer de Vídeos O Clube de Vídeo oferece vários planos de aluguer de Dvd s. O primeiro plano inclui o pagamento anual de 22,5 e de 2 por cada vídeo alugado. O segundo plano não tem pagamento anual mas tem um custo de 3,25 por cada vídeo alugado. Se o João e Ana forem utilizadores de diferentes planos qual o número de vídeos que cada um terá de alugar para que o custo por vídeo seja o mesmo? (Kieran:1992,393) Galinhas e Porcos O António e a Susana foram à quinta dos avós e viram algumas galinhas e alguns porcos. O António disse que viu 18 animais. A Susana concordou com o António e acrescentou que tinha contado um total de 52 patas. Quantas galinhas e quantos porcos foram vistos pelo António e pela Susana? Apertos de Mão Numa festa cinco amigos encontraram-se todos apertaram a mão a cada um dos outros, uma única vez. Quantos apertos de mão foram dados no total? E se fossem seis amigos? E se fossem 100?
Matemática e Arte No âmbito de um trabalho da disciplina de educação visual o João produziu o seguinte trabalho: A professora questionou-lhe o que representava e o João referiu que a chave estava no seguinte código: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O que poderá representar o trabalho do João? Explica a tua resposta In Santos, J. Trocado, A. (2008) Explicador em Casa 2º Ciclo. Quid Novi. ( no prelo) Maças e cestos Pretende-se transportar 120 maçãs em diversos cestos. Dependendo dos cestos, em alguns é possível transportar mais maçãs que noutros e nem sempre haverá cestos em quantidade suficiente para transportar todas as maçãs. Neste contexto completa a tabela seguinte: "#$%&#'$&#'()%"(&)%"%&$%*%"+,'%$&-.&/01'*,'&2,(,-3%&0-4%/*(5&60"%02%"7&*8%"%&)#(& "#$%&#'$&#'()%"(&)%"%&$%*%"+,'%$&-.&/01'*,'&2,(,-3%&0-4%/*(5&60"%02%"7&*8%"%&)#(& "#$%&#'$&#'()%"(&)%"%&$%*%"+,'%$&-.&/01'*,'&2,(,-3%&0-4%/*(5&60"%02%"7&*8%"%&)#(& "#$%&#'$&#'()%"(&)%"%&$%*%"+,'%$&-.&/01'*,'&2,(,-3%&0-4%/*(5&60"%02%"7&*8%"%&)#(& "#$%&#'$&#'()%"(&)%"%&$%*%"+,'%$&-.&/01'*,'&2,(,-3%&0-4%/*(5&60"%02%"7&*8%"%&)#(& *8#*&#&(,',9,/#'*&+#*8%+#*,/#3&%2%'*&90"&*8%(%&(*1$%'*(&)#(&'0*&0'3.&*8%&$%2%30;+%'*& *8#*&#&(,',9,/#'*&+#*8%+#*,/#3&%2%'*&90"&*8%(%&(*1$%'*(&)#(&'0*&0'3.&*8%&$%2%30;+%'*& *8#*&#&(,',9,/#'*&+#*8%+#*,/#3&%2%'*&90"&*8%(%&(*1$%'*(&)#(&'0*&0'3.&*8%&$%2%30;+%'*& *8#*&#&(,',9,/#'*&+#*8%+#*,/#3&%2%'*&90"&*8%(%&(*1$%'*(&)#(&'0*&0'3.&*8%&$%2%30;+%'*& *8#*&#&(,',9,/#'*&+#*8%+#*,/#3&%2%'*&90"&*8%(%&(*1$%'*(&)#(&'0*&0'3.&*8%&$%2%30;+%'*& 09& /0""%(;0'$%'/%& -%*)%%'& '1+%"#3& 09& #'$& /0""%(;0'$%'/%& 0-4%/*7& -1*& #3(0& -%*)%%'& *8%&,'*"0$1/*,0'& '1+%"#3& 09& #'$& /0""%(;0'$%'/%& 09& 0-4%/*7& #& -1*& #3(0& -%*)%%'& *8%&,'*"0$1/*,0'& '1+%"#3& 09& #'$& /0""%(;0'$%'/%& 09& 0-4%/*7& #& -1*& #3(0& -%*)%%'& *8%&,'*"0$1/*,0'& '1+%"#3& 09& #'$& /0""%(;0'$%'/%& 09& 0-4%/*7& #& -1*& #3(0& -%*)%%'& *8%&,'*"0$1/*,0'& '1+%"#3& #'$& 09& 0-4%/*7& #& -1*& #3(0& *8%&,'*"0$1/*,0'& 09& #& 91'/*,0'&*#-3%&=*>/8#"*?&#(&#&+%#'(&*0&0"#',@%&A1#'*,*,%(&*8#*&/0>2#".5&B8%&3#**%"&%2%'*& 91'/*,0'&*#-3%&=*>/8#"*?&#(&#&+%#'(&*0&0"#',@%&A1#'*,*,%(&*8#*&/0>2#".5&B8%&3#**%"&%2%'*& Nº de cestos 91'/*,0'&*#-3%&=*>/8#"*?&#(&#&+%#'(&*0&0"#',@%&A1#'*,*,%(&*8#*&/0>2#".5&B8%&3#**%"&%2%'*& 91'/*,0'&*#-3%&=*>/8#"*?&#(&#&+%#'(&*0&0"#',@%&A1#'*,*,%(&*8#*&/0>2#".5&B8%&3#**%"&%2%'*& 3 10 91'/*,0'&*#-3%&=*>/8#"*?&#(&#&+%#'(&*0&0"#',@%&A1#'*,*,%(&*8#*&/0>2#".5&B8%&3#**%"&%2%'*& "%93%/*(&*8%&%#"3.&$%2%30;+%'*&09&"%;"%(%'*#*,0'#3&,'9"#(*"1/*1"%&*0&(1;;0"*%-"#,/& "%93%/*(&*8%&%#"3.&$%2%30;+%'*&09&"%;"%(%'*#*,0'#3&,'9"#(*"1/*1"%&*0&(1;;0"*%-"#,/& "%93%/*(&*8%&%#"3.&$%2%30;+%'*&09&"%;"%(%'*#*,0'#3&,'9"#(*"1/*1"%&*0&(1;;0"*%-"#,/& "%93%/*(&*8%&%#"3.&$%2%30;+%'*&09&"%;"%(%'*#*,0'#3&,'9"#(*"1/*1"%&*0&(1;;0"*%-"#,/& "%93%/*(&*8%&%#"3.&$%2%30;+%'*&09&"%;"%(%'*#*,0'#3&,'9"#(*"1/*1"%&*0&(1;;0"*%-"#,/& "%#(0','5 "%#(0','5 "%#(0','5 "%#(0','5 "%#(0','5 Nº de maças em cada cesto 30 11 C'&0'%&/3#((7&(*1$%'*(&"%/0"$%$&$#*#&-.&+#:,'&#&$0*&90"&%#/8&%.%&#'$&#&30'&+#":&90"& C'&0'%&/3#((7&(*1$%'*(&"%/0"$%$&$#*#&-.&+#:,'&#&$0*&90"&%#/8&%.%&#'$&#&30'&+#":&90"& C'&0'%&/3#((7&(*1$%'*(&"%/0"$%$&$#*#&-.&+#:,'&#&$0*&90"&%#/8&%.%&#'$&#&30'&+#":&90"& C'&0'%&/3#((7&(*1$%'*(&"%/0"$%$&$#*#&-.&+#:,'&#&$0*&90"&%#/8&%.%&#'$&#&30'&+#":&90"& C'&0'%&/3#((7&(*1$%'*(&"%/0"$%$&$#*#&-.&+#:,'&#&$0*&90"&%#/8&%.%&#'$&#&30'&+#":&90"& %#/8&*#,35&D0*(&)%"%&"01;%$&,'&;#,"(&0"&,'&E>$0*7&FGF&#""#.(5&D0*(&=%.%(?&#'$&+#":(& %#/8&*#,35&D0*(&)%"%&"01;%$&,'&;#,"(&0"&,'&E>$0*7&FGF&#""#.(5&D0*(&=%.%(?&#'$&+#":(& %#/8&*#,35&D0*(&)%"%&"01;%$&,'&;#,"(&0"&,'&E>$0*7&FGF&#""#.(5&D0*(&=%.%(?&#'$&+#":(& %#/8&*#,35&D0*(&)%"%&"01;%$&,'&;#,"(&0"&,'&E>$0*7&FGF&#""#.(5&D0*(&=%.%(?&#'$&+#":(& %#/8&*#,35&D0*(&)%"%&"01;%$&,'&;#,"(&0"&,'&E>$0*7&FGF&#""#.(5&D0*(&=%.%(?&#'$&+#":(& %.%(&#'$&*#,3(&90"&#&,2%'&#+01'*&09&$0(5&D#*#&)%"%&#"%#*%$&-.&"01;(&09&$0(7& %.%(&#'$&*#,3(&90"&#&,2%'&#+01'*&09&$0(5&D#*#&)%"%&#"%#*%$&-.&"01;(&09&$0(7& %.%(&#'$&*#,3(&90"&#&,2%'&#+01'*&09&$0(5&D#*#&)%"%&#"%#*%$&-.&"01;(&09&$0(7& %.%(&#'$&*#,3(&90"&#&,2%'&#+01'*&09&$0(5&D#*#&)%"%&#"%#*%$&-.&"01;(&09&$0(7& %.%(&#'$&*#,3(&90"&#&,2%'&#+01'*&09&$0(5&D#*#&)%"%&#"%#*%$&-.&"01;(&09&$0(7& )8,/8&)%"%&$"#)'&#'$&;#,'*%$&-.&(*1$%'*(7&#'$&*8%&/0""%(;0'$,'&'1+-%"&(%'*%'/%(& )8,/8&)%"%&$"#)'&#'$&;#,'*%$&-.&(*1$%'*(7&#'$&*8%&/0""%(;0'$,'&'1+-%"&(%'*%'/%(& Maças que )8,/8&)%"%&$"#)'&#'$&;#,'*%$&-.&(*1$%'*(7&#'$&*8%&/0""%(;0'$,'&'1+-%"&(%'*%'/%(& sobraram )8,/8&)%"%&$"#)'&#'$&;#,'*%$&-.&(*1$%'*(7&#'$&*8%&/0""%(;0'$,'&'1+-%"&(%'*%'/%(& 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1;&*0&IJ&$0(5&B>/8#"*(&)%"%&1(%$&,'&(0+%&:,'$%"#"*%'&/3#((%(&=),*8&$#*#&"%/0"$%$& 1;&*0&IJ&$0(5&B>/8#"*(&)%"%&1(%$&,'&(0+%&:,'$%"#"*%'&/3#((%(&=),*8&$#*#&"%/0"$%$& 1;&*0&IJ&$0(5&B>/8#"*(&)%"%&1(%$&,'&(0+%&:,'$%"#"*%'&/3#((%(&=),*8&$#*#&"%/0"$%$& 1;&*0&IJ&$0(5&B>/8#"*(&)%"%&1(%$&,'&(0+%&:,'$%"#"*%'&/3#((%(&=),*8&$#*#&"%/0"$%$& 1;&*0&IJ&$0(5&B>/8#"*(&)%"%&1(%$&,'&(0+%&:,'$%"#"*%'&/3#((%(&=),*8&$#*#&"%/0"$%$& %.%(&#(&K/01'*,'&-.&F(K7&K+0"%&#'$&+0"%K7&#'$&K%2%".&*,+%&)%&#$$&0'%&+0"%&$07& In Santos, %.%(&#(&K/01'*,'&-.&F(K7&K+0"%&#'$&+0"%K7&#'$&K%2%".&*,+%&)%&#$$&0'%&+0"%&$07& J. Trocado, A. %.%(&#(&K/01'*,'&-.&F(K7&K+0"%&#'$&+0"%K7&#'$&K%2%".&*,+%&)%&#$$&0'%&+0"%&$07& (2008) Explicador em %.%(&#(&K/01'*,'&-.&F(K7&K+0"%&#'$&+0"%K7&#'$&K%2%".&*,+%&)%&#$$&0'%&+0"%&$07& Casa 2º Ciclo. %.%(&#(&K/01'*,'&-.&F(K7&K+0"%&#'$&+0"%K7&#'$&K%2%".&*,+%&)%&#$$&0'%&+0"%&$07& Quid Novi. ( no prelo) )%&%*&*)0&%.%(K5 )%&%*&*)0&%.%(K5 )%&%*&*)0&%.%(K5 )%&%*&*)0&%.%(K5 )%&%*&*)0&%.%(K5 O canil. =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&90"&F&$0(?& Supõe que estás num canil e que queres contar o número de olhos que observaste ao =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&#'$&*#,3(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&#'$&*#,3(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&#'$&*#,3(&90"&F&$0(?& =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&#'$&*#,3(&90"&F&$0(?& olhar para uma das jaulas. Se na jaula havia um cão, quantos olhos estariam lá? =B0*#3&'1+-%"&09&%.%(&#'$&*#,3(&90"&F&$0(?& E se fossem dois cães? E se fossem três cães? E se fossem100 cães? Podes Figure 1. relacionar students' representation o Figure número 1. for 2 dogs. de students' cães representation Figure e 1. for o 2 dogs. número students' representation total Figure 1. for de 2 dogs. olhos? students' representation Figure Como 1. for 2 dogs. descreves students' representation esta for 2 dogs. relação? PME28 2004 Como sabes PME28 2004 que funciona? PME28 2 137 2004 PME28 2 137 2004 2 137 2 137 Agora queres contar o total de olhos e de caudas que estão nas diferentes jaulas do canil. Quantos olhos e caudas há numa jaula com um cão? E com dois cães? E com três cães? E se forem 100 cães? Podes relacionar o número de cães e o número total de olhos e de caudas? Como descreves esta relação? Como sabes que funciona? In Actas do The 28th International Conference Of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Volume 2 14 18 July 2004 Bergen, Norway ELEMENTARY GRADES STUDENTS' CAPACITY FOR FUNCTIONAL THINKING, Maria L. Blantonand James J. Kaput University of Massachusetts Dartmouth, USA p. 135-142 PME28 2004 2 137
Padrões que crescem A introdução às sequências numéricas pode ser contextualizada em padrões geométricos ao qual está associada uma regularidade numérica. Os padrões que crescem são gerados através de uma lei de formação que se caracteriza por: a) cada termo do padrão ter associado um número inteiro; b) o termo seguinte tem associado um número inteiro maior que o termo anterior; c) à medida que a sequência numérica associada avança os termos tendem para infinito. Deste modo, esta estratégia é adequada para induzir a lei de formação dos múltiplos de um número inteiro, dos quadrados de um número inteiro, e até da soma dos n termos de uma progressão aritmética de razão 1, associada aos padrões triangulares. De seguida estão apresentados alguns exemplos de tarefas que podem conduzir à exploração deste tipo de padrões e às sequências numéricas a estes associadas. Todos estes exemplos devem ser trabalhados de um Sentido modo de número e organização intuitivo de dados no 1º ciclo e de modo mais aprofundado no 2º ciclo. Construções com caricas O Pedro tinha esta construção. Sentido O de sentido número de número e organização no Jardim-de-Infância de dados O sentido de número no Jardim-de-Infância O Pedro tinha esta construção. O Pedro tinha esta construção. E o João tinha outra construção. E o João tinha outra construção. E o João tinha outra construção. Figura 6 Pedro Já estamos iguais. Vamos continuar? Figura 6 Pedro Já estamos iguais. Vamos continuar? João a seguir vou usar mais caricas do que tu Pedro. Pedro construir Já estamos o próximo iguais. pergunta-lhes: Vamos continuar? a) Será que o João tem razão? Explica a tua resposta. Educadora Quantas tampas foram precisas para cada? construir o Pedro próximo Foi pergunta-lhes: 1, depois 3, depois 6. b) Os amigos continuaram as suas construções, mantendo as João regras Foi 2, depois 4, e das depois 6. mesmas. Educadora Quantas tampas foram precisas para cada? Pedro a Foi seguir? 1, depois 3, depois 6. Quantas caricas usaria cada um na quinta construção? João E na Foi Pedro 2, décima? depois Acho 4, que e depois são 10. 6. João O meu deve dar mais Oh acho que vai dar 8 a seguir? c) As construções dos amigos, depois da quinta, poderão alguma vez usar o mesmo Pedro Acho que são 10. João E todos O meu se deve lançaram dar mais na descoberta Oh acho da que próxima vai dar construção 8 do João. número de caricas? Explica a tua resposta. Adaptado de Castro, J. Rodrigues M. Sentido de número e organização E todos se lançaram de na dados, descoberta próxima Textos construção de Apoio do João. para Educadores de Infância. DGIDC. Lisboa: 2008 (P. 28) Disponivel em http://sitio.dgidc.min-edu.pt/recursos/lists/repositrio%20recursos2/attachments/781/sent_num_net.pdf Cardumes 1. Completa a tabela. 28 28 A educadora apercebe-se da potencialidade da construção, e, antes de os deixar A educadora apercebe-se da potencialidade da construção, e, antes de os deixar Educadora Conseguem descobrir quantas tampas serão necessárias para a outra Educadora Conseguem descobrir quantas tampas serão necessárias para a outra Educadora E a seguir? Será que o João precisa de mais tampas que o Pedro? Pedro Eu preciso de mais cinco e ele não pode pôr 5. Preciso de 15, queres ver? Educadora E a seguir? Será que o João precisa de mais tampas que o Pedro? Pedro Eu preciso de mais cinco e ele não pode pôr 5. Preciso de 15, queres ver? A actividade realizada por estas crianças é bastante complexa, não se esperando, portanto, que todas as crianças tenham a capacidade de utilizar este tipo de procedimentos. A actividade Nesta actividade realizada não por se trata estas de crianças contar mas é bastante de compreender complexa, processo não se lógico esperando, de construção portanto, e saber que inferir todas sobre as crianças a sua conti- o tenham nuação, a capacidade ou seja, compreender utilizar este a relação tipo de entre procedimentos. as várias construções. No não entanto, se trata devem contar ser criadas mas de oportunidades compreender deste o Nesta actividade processo tipo, lógico em que de construção cada criança, e saber de acordo inferir com sobre o a seu sua desenvolvimento, ou seja, consegirá, compreender ou não, a realizá-las. relação entre as várias cons- continuaçãotruções. No entanto, devem ser criadas oportunidades deste tipo, em que cada criança, de acordo com o seu desenvolvimento, consegirá, ou não, realizá-las. N.º da figura 1 2 3 4 5 N.º total de peixes 1 3 5 2. O que muda ao passar de uma figura para a outra? 3. Encontras alguma regularidade no número total de peixes de cada figura do padrão? 4. Como descreves este padrão? 5. Quantos peixes são precisos para construíres a figura 9? [In, APM (2002, 2ª Ed.). Materiais para o 1.º Ciclo. Caderno 1. Lisboa: APM. (pp. 16-17)]
Cardumes I Peixes Quantos são? 1º 2º 3º 4º 5º 6º 10º Qual será o número de peixes na 100.ª posição? Qual será a lei de formação do padrão? Experimenta-a nos casos anteriores.
Cardumes II Peixes Quantos são? 1º 2º 3º 4º 5º 6º 10º Qual será o número de peixes na 100.ª posição? Qual será a lei de formação do padrão? Experimenta-a nos casos anteriores.
EXPLORAÇÃO DOS MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Preparação. O objectivo desta actividade é descobrir uma lei geral para um padrão, relacionando um múltiplo de três com a sua ordem na sequência. Para a realizar os alunos podem necessitar de pequenas peças ou fichas, como feijões, fósforos ou bolas de plasticina. O trabalho em pequenos grupos facilitará a exploração e a discussão. Desenvolvimento. Distribua um número suficiente de peças por cada grupo. No retroprojector, ou no quadro, represente os três primeiros números. Em que é que são parecidas estas figuras? Em que é que são diferentes? Existirá um padrão? Explica. Como é que será a figura seguinte da sequência? Quantas peças existem em cada figura? Faz uma tabela mostrando quantas peças são necessárias em cada figura. Conceda algum tempo para que os alunos construam e registem os primeiros sete múltiplos. Ajude-os na observação da diferença entre múltiplos consecutivos. Será que a diferença constante é 3? Porquê? Poderás formar um triângulo com 62 peças? Como sabes? Desafie os alunos a fazer uma descrição, por escrito, da regularidade que relaciona o número do termo com o número de peças. Os alunos terão formas diferentes para descrever o padrão: Os números que formam triângulos são múltiplos de 3. Cada triângulo tem mais 3 unidades que o anterior. Multiplica-se o termo por 3. Cada triângulo novo precisa de mais 3 peças. Cada lado precisa de mais uma peça e há 3 lados. O nível das respostas mede a capacidade matemática dos alunos. Os alunos que reconheçam e consigam descrever regularidades de várias formas estarão mais habilitados para a utilização de regularidades em estratégias de resolução de problemas. Pergunte aos alunos se conseguem usar a sua regra geral para descobrirem o décimo número. Dê-lhes o tempo necessário para eles desenharem ou construirem o décimo número, se for necessário. Alguns alunos serão capazes de escrever a regra ou a fórmula geral: a expressão 3n espelha a relação entre o n-ésimo termo e o n-ésimo número. A resposta para o quinquagésimo número é 3x50, ou 150. Qual será o centésimo número? Continuação. Repita esta actividade com números que formam quadrados, pentágonos e hexágonos. Como é que estes números estão relacionados com a tabuada da multiplicação? [Adaptado de, NCTM (1993). Quinto ano. Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar, Colecção de Adendas Anos de Escolaridade K-6. Lisboa: APM e IIE. (Tradução portuguesa da edição original de 1992). (pp.3-4)]
NÚMEROS COM FIGURAS (POLIGONAIS) 1. Números quadrados: Como podes prever o próximo número quadrado? Que padrões observas? Descreve-os. 2. Números rectangulares: Como podes prever o próximo número rectangular? Que padrões observas? Descreve-os. 3. Números triangulares: Como podes prever o próximo número triangular? Que padrões observas? Descreve-os. 4. Consegues encontrar alguma relação entre os números quadrangulares e os números rectangulares? Descreve-a. Como a explicarias recorrendo apenas à representação geométrica (representação por pontos)? 5. Consegues encontrar alguma relação entre os números rectangulares e os números triangulares? Descreve-a. Como a explicarias recorrendo apenas à representação geométrica (representação por pontos)? [In, NCTM (2001). Geometria nos 2.º e 3.º Ciclos. Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar, Colecção de Adendas, Anos de Escolaridade 5-8. Lisboa: APM. (pág.39)]