SISTEMAS DE PROJEÇÃO

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa - Disciplina CD020 Geometria Descritiva Curso de Engenharia de Produção Turma PA 2016.1 Apostila GD - Parte 1 1. Operações fundamentais no desenho projetivo 1.1 Conceito de projetar SISTEMAS DE PROJEÇÃO a) Projetar um ponto A a partir de um outro ponto O, distinto de A, significa determinar a reta pertencente aos dois pontos. A reta OA é denominada projetante do ponto A e o ponto O é denominado de centro de projeção (Figura 1). FIGURA 1 PROJEÇÃO DO PONTO A b) Projetar uma reta r partir de um ponto O, não pertencente a essa reta, significa determinar o plano pertencente ao ponto e à reta. Esse plano,, é denominado plano projetante da reta r (Figura 2). FIGURA 2 PROJEÇÃO DA RETA R, A PARTIR DO PONTO O c) Projetar um objeto a partir de um ponto significa determinar as projetantes de todos os pontos desse objeto. Quando se quer projetar um objeto, normalmente são projetados somente os elementos necessários e suficientes que o determinam (Figura 3). FIGURA 3 PROJEÇÃO DE UM OBJETO A PARTIR DO PONTO O Observação: Sejam uma reta a e um ponto A fixos e b uma reta móvel passando por A, que rotaciona em torno do ponto A (Figura 4): FIGURA 4 CONCEITO DE PONTO IMPRÓPRIO

2 1.2 Conceito de cortar a) Cortar uma reta a por outra b, significa obter o ponto (ab) comum às duas retas. O ponto considerado pode ser próprio ou impróprio, conforme as retas sejam concorrentes ou paralelas (Figura 5). FIGURA 5 CORTE DA RETA a NA RETA b b) Cortar um plano por uma reta a, ou uma reta a por um plano, significa obter o ponto (a ) comum à reta e ao plano (Figura 6). FIGURA 6 CORTE DA RETA a NO PLANO c) Cortar um plano outro significa encontrar a reta comum a ambos os planos (Figura 7). FIGURA 7 CORTE DO PLANO NO PLANO d) Cortar um objeto por um plano significa encontrar a seção plana produzida por este plano no sólido considerado (Figura 8). FIGURA 8 CORTE DO PLANO NA SUPERFÍCIE Observação: o ponto ou a reta ou a curva quando determinados por cortes chamam-se traços.

3 2. Conceito de projeção cônica (ou central) Considere um plano e um ponto fixo O não pertencente ao plano considerado. Denomina-se projeção central ou cônica, no plano, de um ponto A, distinto de O, ao traço A, produzido sobre o plano, pela reta projetante do ponto A a partir do ponto O (Figura 9). FIGURA 9 PROJEÇÃO CÔNICA DO PONTO A O plano é denominado plano de projeção e o ponto O é denominado centro, pólo ou vértice de projeção. A projeção central ou cônica é também denominada perspectiva cônica, ou perspectiva linear exata do ponto A. Plano de projeção não é o mesmo que plano projetante. O sistema é chamado de projeção cônica, pois as projetantes descrevem uma superfície cônica. 3. Conceito de projeção cilíndrica (oblíqua ou ortogonal) Denomina-se projeção cilíndrica de um ponto A, no plano a partir de O, ao traço A produzido sobre, pela reta projetante do ponto A a partir do ponto O (Figura 10). FIGURA 10 PROJEÇÃO CILÍNDRICA DO PONTO A Observações: Dado o ponto A, A é único, porém dado somente A sabe-se que o ponto A pertence a sua reta projetante; O sistema é denominado projeção cilíndrica, pois as projetantes descrevem uma superfície cilíndrica; Os pontos do plano de projeção coincidem com suas projeções; Se a direção das projetantes for oblíqua ao plano de projeções tem-se o sistema de projeção Cilíndrica Oblíqua; Se a direção das projetantes for perpendicular ao plano de projeções tem-se o Sistema de Projeção Cilíndrica Ortogonal.

4 3.1 Propriedades das projeções cilíndricas (oblíquas ou ortogonais) Propriedade 1: A projeção cilíndrica de uma reta não paralela à direção das projetantes é uma reta (Figura 11). A projeção cilíndrica de uma reta paralela à direção das projetantes é um ponto (Figura 12). FIGURA 11 PROJEÇÃO CILÍNDRICA DA RETA R Observações: FIGURA 12 PROJEÇÃO CILÍNDRICA DA RETA R a) Se a projeção cilíndrica de uma reta é uma reta, então a reta objetiva não é paralela a direção das projetantes; b) Se a projeção cilíndrica de uma reta é um ponto, então a reta é paralela à direção das projetantes; c) Se uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção cilíndrica-ortogonal sobre o mesmo será o seu traço no plano de projeção considerado. Reciprocamente, se a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano reduzir-se a um ponto, então a reta será perpendicular ao plano de projeção, ou o que é equivalente, a reta será paralela à direção das projetantes. d) Uma reta r, não paralela à direção das projetantes, e sua projeção cilíndrica r são coplanares; logo, pode ocorrer entre a reta e sua projeção uma das seguintes condições: r e r são concorrentes, neste caso a reta corta o plano de projeção (Figura 11); São paralelas, neste caso a reta será paralela ao plano de projeção; São coincidentes, neste caso a reta estará contida no plano de projeção.

5 Propriedade 2: Se duas retas r e s são paralelas, então as suas projeções cilíndricas ou são paralelas (Figura 13), ou são coincidentes (Figura 14) ou são pontuais (Figura 15). FIGURA 13 PROJEÇÕES PARALELAS =s FIGURA 14 PROJEÇÕES COINCIDENTES FIGURA 15 PROJEÇÕES PONTUAIS Observação: A recíproca da propriedade 2 não é verdadeira (Figura 16). Ou seja, se t //s não implica que t//s. =t FIGURA 16 CONTRA EXEMPLO DA RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 2

6 Propriedade 3: Se dois segmentos são paralelos ou são colineares, então a razão entre eles no espaço conserva-se na projeção cilíndrica, desde que a direção dos segmentos não seja paralela à direção das projetantes (Figuras 17 e 18). a) AB//CD AB // CD Se ou colineares AB A B e não paralelos a d CD C D b) AB e CD colineares FIGURA 17 RAZÃO ENTRE AS PROJEÇÕES DE SEGMENTOS PARALELOS FIGURA 18 RAZÃO ENTRE AS PROJEÇÕES DE SEGMENTOS COLINEARES Conseqüência: Se M é ponto médio do segmento AB então M é ponto médio da projeção do segmento AB (A B ). Observação: A recíproca não é verdadeira. Ou seja, se AB/CD=A B /C D não implica que AB//CD ou colineares (Figura 19). FIGURA 19 CONTRA-EXEMPLO PARA A RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 3

7 Propriedade 4: Se uma figura está contida num plano paralelo ao plano de projeção, então essa figura será congruente à sua projeção cilíndrica, isto é, a projeção cilíndrica desta figura está em verdadeira grandeza (VG) (Figura 20). FIGURA 20 PROPRIEDADE 4 Observação: A recíproca não é verdadeira em projeção oblíqua, porém é verdadeira em projeção ortogonal (Figura 21). =C =D FIGURA 21 CONTRA-EXEMPLO PARA A RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 4 Propriedade 5: Qualquer figura contida num plano paralelo à direção das projetantes tem para projeção um segmento que está contido no traço do plano dessa figura sobre o plano de projeção (Figura 22). FIGURA 22 PROPRIEDADE 5 Observação: A recíproca da Propriedade 5 é verdadeira.

8 3.2 Propriedades das projeções cilíndricas ortogonais Propriedade 6: Se um segmento é oblíquo ao plano de projeção ortogonal é menor que a sua verdadeira grandeza (Figura 23)., então sua projeção FIGURA 23 PROPRIEDADE 6 Observação: A recíproca da Propriedade 6 é verdadeira. Propriedade 7: Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas paralela ou pertencente ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, então as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si (Figura 24). Resumindo: Se r s ou r s (1) r // ou r (2) r s (4) s (3) FIGURA 24 PROPRIEDADE 7 Observação: As recíprocas da propriedade 7 são verdadeiras. São elas: Recíproca 1: (2) + (3) +(4) (1) Recíproca 2: (1) + (4) (2) + (3)

9 Exercícios: Considere um sistema de projeção cilíndrica com somente um plano de projeção. Escrever ao lado de cada exercício as propriedades geométricas e as propriedades das projeções cilíndricas utilizadas. 1. Representar o ponto médio M do segmento dado AB. a) b) 2. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os três vértices. a) b) c) d)

10 3. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os pontos A e B e o ponto M de interseção das diagonais. a) b) c) 4. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. a) b) c)

11 5. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados dois vértices e o centro O da circunferência circunscrita. a) b) c) 6. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados A, B e C a) b) c)

12 O MÉTODO DAS DUPLAS PROJEÇÕES ORTOGONAIS O Método das Duplas Projeções Ortogonais (ou Método de Monge) é utilizada para representar os objetos do espaço tridimensional no espaço bidimensional, mediante a utilização de projeções e resolver os problemas relativos a esses objetos através da Geometria Plana e do Desenho Geométrico. São utilizados pelo menos dois planos de projeção. 1. Planos fundamentais de referência (PFR) I REPRESENTAÇÃO DO PONTO Consideremos e π dois planos perpendiculares entre si, denominados Planos Fundamentais de Referência (PFR) ou Planos de Fundamentais de Projeção (PFP). Denominamos: - 1º PFR ou 1º PFP ou Plano Horizontal de Projeção. π - 2º PFR ou 2º PFP ou Plano Vertical de Projeção. A interseção de e π chama-se Linha de Terra. Esta divide nas partes: anterior e posterior e π em superior e inferior. Estes dois planos dividem o espaço em 4 porções, chamadas de diedros: 1º diedro entre a parte anterior de e a superior de π 2º diedro entre a parte posterior de e a superior de π 3º diedro entre a parte posterior de e a inferior de π 4º diedro entre a parte anterior de e a inferior de π Considerando uma origem O sobre a Linha de Terra temos os eixos x, y e z. No 1º diedro temos os valores para x y e z No 2º diedro temos os valores para x y e z No 3º diedro temos os valores para x y e z No 4º diedro temos os valores para x y e z Consideremos um 3º PFR (ou 3º PFP ou 3º PDP ou Plano Lateral de Projeção) π que contém os eixos y e z. Estes 3 planos dividem o espaço em octantes.

13 2. Representação do ponto Seja A um ponto. Consideremos as três projeções cilíndricas ortogonais: A, A e A sobre os planos, π e π, respectivamente. Temos as distâncias de A até os 3PFR: Cota distância de A até = segmento AA Afastamento distância de A até π = segmento AA Abscissa distância de A até π = segmento AA Estas distâncias também nos fornecem as coordenadas (x,y,z) do ponto A: x = abscissa y = afastamento z = cota Fixamos um dos PFR e rebatemos os outros sobre o primeiro escolhido, temos a representação plana do ponto, chamada de épura do ponto A:

14 Um ponto pode pertencer a qualquer diedro: a) A pertence ao 1º diedro b) B pertence ao 2º diedro c) C pertence ao 3º diedro d) D pertence ao 4º diedro

15 3. Pontos pertencentes aos PFR Espaço: Épura: a) é o lugar geométrico (LG) dos pontos de nulas. Se A LT. b) π é o lugar geométrico (LG) dos pontos de nulos. Se B π LT. c) π é o lugar geométrico (LG) dos pontos de nulas. Se C π. 4. Pontos pertencentes aos eixos Espaço: Épura: a) A LT (eixo x) é o LG dos pontos de nulas. Se A LT. b) O eixo y é o LG dos pontos de nulos. Se B y. c) O eixo z é o LG dos pontos de nulas. Se C z.

16 5. Obtenção da 3 a projeção Para obtermos a representação do ponto na 3ª projeção, podemos rebater o 3º PFP sobre o 1º ou 2º PFP. Rebatimento sobre π : Consideremos o 2º PFP fixo. Ao rebatermos o 3º plano sobre o 2º, a 3ª projeção do ponto descreverá um arco de circunferência com centro no eixo z e raio o seu afastamento. Este arco está contido num plano paralelo a e, portanto está em VG na 1ª projeção. A 3ª projeção rebatida do ponto pertence a uma reta que passa pela segunda projeção do ponto e é paralela à linha de terra. Espaço Épura

17 Exercícios A unidade utilizada é o milímetro. 1. Representar os pontos dados. a) A(30,20,40) b) B(20,-10,40) c) C(30,-20,-40) d) D(20,30,-20)

18 2. Localizar os pontos dados nos diedros. A B C D E 3. Representar os pontos dados (as primeiras e segundas projeções). Identificar a posição do ponto em relação aos diedros ou aos planos de projeção. A(20,30,10) B(50,-20,40) C(30,-40,-20) D(40,50,-10) E(10,0,30) F(60,20,0) G(-20,40,50) O

19 4. Representar os pontos dados e obter as terceiras projeções. A(20,50,20) B(40,-10,-20) C(50,-20,10) D(60,30,-40) E(10,40,?) F(-10,-20,-30) G(-40,30,-10) H(-20,0,20) O 5. Representar um quadrado contido em sendo dados A e B.

20 6. Representar um quadrado contido num plano paralelo a sendo dados A e B. A(20,20,10) B(40,30,?) 7. Representar o paralelogramo ABCD, sendo dados os vértices A e B, e o ponto M de interseção das diagonais. A(10,60,50) B(30,20,20) M(40,40,30)

21 8. Representar um hexágono regular ABCDEF, contido em sendo dados dois vértices. a) A(20,?,20) e B(40,?,10) b) A(30,?,50) e C(60,?,30)

22 9. Representar o triângulo ABC sendo dados M, N e P, pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. M(20,15,30) N(40,40,20) P(60,30,10) 10. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. A(30,10,20) B(20,50,40) G(50,30,30).

23 11. Representar um quadrado contido em sendo dados A(20,40,?) e sabendo-se que o lado AB mede 30 e é paralelo à LT. 12. Representar os pontos A e B de conhecendo A(10,30,?) e B(x,50,?) sabendo-se que AB=30.

24 II REPRESENTAÇÃO DA RETA 1. Representação da reta Propriedade já vista: Se r é uma reta então r ou é uma reta (se r não for paralela à direção das projetantes d) ou um ponto (se r for paralela à direção das projetantes d). Para obtemos a projeção de uma reta consideramos: - ou dois pontos A e B pertencentes a r - ou o seu plano projetante Como temos 3 PFR então há 3 projeções e portanto 3 planos projetantes. Normalmente, consideramos apenas a 1ª e a 2ª projeções da reta, pois são suficientes para determinar a 3ª projeção (exceto para a reta de perfil que veremos mais tarde). Espaço Épura 2. Ponto pertencente à reta Propriedade: P r P r e P r Mas se r// π e r então também deve ser verificado se P r. Exemplos:

25 3. Posições da reta em relação aos PFR A reta pode ocupar posições distintas em relação aos 3 PFR, podendo ser: - r perpendicular a um dos PFR: reta vertical reta de topo reta fronto-horizontal - r paralela a um dos PFR e oblíqua em relação aos outros dois PFR: r' reta horizontal reta frontal reta de perfil - r oblíqua em relação a todos os 3 PFR: reta qualquer

26 3.1. Reta vertical Essa reta é perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: b) Épura: c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π e) Tem alguma projeção em VG? f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

27 3.2. Reta de topo Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e perpendicular em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: b) Épura c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π e) Tem alguma projeção em VG? f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

28 3.3. Reta fronto-horizontal Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: b) Épura: c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π e) Tem alguma projeção em VG? f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

29 3.4. Reta horizontal Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: b) épura c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π e) Tem alguma projeção em VG? f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

30 3.5. Reta frontal Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: b) Épura: c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π e) Tem alguma projeção em VG? f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

31 3.6. Reta de perfil Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção e ao Plano Vertical de Projeção e paralela ao Plano Lateral de Projeção. a) Característica espacial: b) Épura: c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π e) Tem alguma projeção em VG? f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

32 3.7. Reta qualquer Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção, ao Plano Vertical de Projeção e ao Plano Lateral de Projeção. a) Característica espacial: b) Épura z c) Diedros: d) Ângulos: com com π com π r r" x e) Tem alguma projeção em VG? y r' f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: g) Traços: H, V, L

33 Exercícios 1. Na reta r, definida pelos pontos A(20,40,10) e B(60,10,-40) representar os pontos: C(40,?,?) D(?,50,?) E(?,?,-10) F(?,-10,?) G(?,?,0) H(-10,?,?) I(0,?,?) O 2. Na reta r, definida pelos pontos A(40,30,10) e B(40,10,30) representar os pontos: C(?,35,?) D(?,?,20) E(?,?,-10) F(?,-10,?) G(?,?,0) H(?,0,?) O

34 3. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Representá-la, identificar o nome da reta e sua posição em relação aos PFR (paralela, oblíqua ou perpendicular). a) A(30,20,10), B(60,50,20) b) A(20,30,20), B(20,40,20) c) A(10,20,30), B(40,20,50) d) A(40,50,10), B(40,20,30)

35 4. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Representar os traços H, V e L sobre os PFR(, π e π ). Identificar os diedros pelos quais a reta atravessa. a) A(30,20,10), B(50,10,40) b) A(20,30,10), B(40,20,10) c) A(30,20,20), B(30,20,40) d) A(30,30,10), B(30,20,30)

36 5. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Identificar o nome da reta. Encontrar os ângulos que a reta forma com os PFR, bem como a VG do segmento AB. a) A(10,20,30) B(40,20,10) b) A(30,-10,40), B(30,20,40) c) A(20,20,10), B(40,30,40) d) A(30,-30,-10), B(30,-30,20)

37 e) A(20,-20,-30), B(50,-20,-30) f) A(30,10,50), B(30,-20,-15) g) A(20,10,0), B(40,10,30) h) A(0,-20,-10), B(50,20,-10)

38 6. Representar as retas horizontais que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo dado com um dos PFR. a) A(20,30,40) 3 =30 o b) A(30,40,20) 2 =15 o 7. Representar as retas frontais que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo dado com um dos PFR. a) A(30,30,40) 1 =30 o b) A(30,30,40) 3 =15 o

39 8. Representar as retas de perfil que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo dado com um dos PFR. a) A(20,30,10), 1 = 60 0 b) A(30,20,40), 2 = 15 0

40 9. Representar uma reta horizontal que passe pelo ponto dado A(30,40,30) sabendo-se que qualquer segmento da mesma tem a sua segunda projeção reduzida a metade desse segmento. 10. Representar as retas quaisquer que passam pelo ponto dado A(30,20,40) e formam ângulo θ 1 =30º com e θ 2 = 45º com π.

41 4. Posição relativa de duas retas Duas retas r e s podem ser: paralelas coplanares concorrentes coincidentes não coplanares ou reversas Observação: sejam r, s, P r e (P,s) então - se (P,s) possuir em comum com r apenas o ponto P então r e s são reversas e P (r ); - ou se r estiver contida em então as retas r e s são coplanares. 4.1. Condições de paralelismo 1º) Retas não de perfil Vimos propriedade 2: Se r//s então r //s ou r s ou são pontuais. Como trabalhamos com pelo menos duas projeções então: r' //s' e r" //s" r//s r' s' e r" //s" (ou r" s" e r' // s' ) r' e s' são pontuais e r" //s" ( ou r" e s" são pontuais Se r s e r s e r e s são não de perfil então r s 2º) Retas de perfil e r //s ) a) as retas pertencem a um mesmo plano projetante em 1ª e 2ª projeções paralelas se r //s r e s podem ser coincidentes se r s concorrentes se r xs b) as retas pertencem a planos projetantes distintos em 1ª e 2ª projeções paralelas se r //s ou r s r e s podem ser reversas se r xs 4.2. Condições de incidência 1º) Retas não de perfil r x s em P e r x s em P e P P mesma LC r x s r x s e r s (ou r x s e r s ) r x s,r é um ponto e a s (ou r x s, r é um ponto e a s ) 2º) Uma reta é de perfil e a outra não Além das condições anteriores deve ser verificada também a 3ª projeção. 3º) Retas de perfil Duas retas de perfil somente poderão ser concorrentes se pertencem ao mesmo plano projetante em 1ª projeção e suas 3 as projeções são concorrentes.

42 Exercícios de posição relativa de duas retas 1. Representar a reta r pertencente ao ponto A(10,20,30) e paralela a reta s(p,q): a) P(40,10,30) Q(40,20,30) b) P(40,30,10) Q(40,30,20) c) P(30,30,20) Q(50,30,20) d) P(30,10,20) Q(50,30,20) e) P(30,30,20) Q(50,30,30) f) P(30,40,10) Q(60,30,-10)

43 2. Representar a reta r, pertencente ao ponto dado A e paralela a reta s(p,q) a) A(30,50,20) P(30,40,50) Q(30,20,30) b) A(60,40,10) P(40,30,40) Q(40,10,20)

44 3. São dadas duas retas r(a,b) e s(p,q), verificar se são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas. Caso sejam concorrentes, determinar o ponto X em comum. 3.1 As retas dadas são não de perfil a) b) c) d)

45 e) f) g) h)

46 3.2. As retas dadas são de perfil i) A(30,30,40) B(30,40,20) P(30,10,30) Q(30,20,40) j) A(30,20,10) B(30,10,20) P(30,30,30) Q(30,40,40)

47 k) A(20,30,40) B(20,40,50) P(40,40,20) Q(40,10,30) l) A(20,30,40) B(20,40,50) P(40,40,20) Q(40,50,30)

48 3.3 Uma das retas dadas é de perfil e a outra é não de perfil m) A(30,-10,40) B(30,0,40) P(30,10,20) Q(30,20,30) n) A(40,10,20) B(40,30,10) P(20,10,10) Q(60,30,50)

49 4. Representar a reta horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta qualquer s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,10) P(30,30,30) Q(50,20,40) 5. Representar a reta frontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta qualquer s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,50) P(30,30,30) Q(50,10,40)

50 6. Representar a reta de perfil r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta qualquer s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,10) P(30,20,30) Q(50,10,40) 7. Representar a reta horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta de perfil s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,20) P(30,30,40) Q(30,10,10)

51 8. Representar a reta de topo r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta de perfil s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(30,-10,30) P(30,30,20) Q(30,50,10) 9. Representar a reta vertical r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta de perfil s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(30,15,50) P(30,30,20) Q(30,50,10)

52 10. Representar a reta fronto-horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta de perfil s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(20,30,?) P(30,10,20) Q(30,40,10) 11. Representar uma reta r(a,b) qualquer concorrente com uma reta de perfil s(p,q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,30,30) B(30,20,?) P(40,30,40) Q(40,10,10)

53 5. Perpendicularidade e ortogonalidade de retas Relembrando a Propriedade 7 para somente uma projeção: (1) r s ( ou r s ) Se (2) r // ( ou r ) (4) r s (3) s Recíprocas são válidas: (2) r // ( ou r ) Se (3) s (1) r s ( ou r s ) (4) r s Se (1) r s ( ou r s ) (3) s (4) r s (2) r // ( ou r ) Na projeção cilíndrica ortogonal tem-se que um ângulo não reto somente se projeta em VG quando os dois lados forem paralelos ao plano de projeção. Porém, se o ângulo for reto, basta um só lado ser paralelo (ou estar contido) e o outro ser não perpendicular ao plano de projeção para que ele tenha projeção ortogonal em VG. Exercícios de perpendicularidade e ortogonalidade de retas 1. Representar a reta s que passe pelo ponto dado P e seja perpendicular a uma reta dada r. a) r é horizontal b) r é frontal

54 c) r é de perfil d) r é fronto-horizontal e) r é qualquer

55 2. Representar pelo ponto dado P uma reta s ortogonal a reta dada r, sabendo-se que: a) s é horizontal b) s é frontal c) s é de perfil d) s é qualquer

56 3. Representar a distância do ponto dado P a uma reta dada r. Obter a verdadeira grandeza dessa distância. a) r é horizontal b) r é frontal c) r é de perfil d) r é fronto-horizontal e) r é qualquer

57 4. Representar o losango ABCD, de diagonal BD horizontal, sendo dados os vértices A e C, e o comprimento da diagonal BD. A(20,35,10) C(50,15,30) BD=30 5. Representar o losango ABCD, de diagonal BD horizontal, sendo dados os vértices A e C e sabendo-se que a primeira projeção do mesmo deve ser um quadrado. A(20,35,10) C(50,15,30)

58 6. Representar um triângulo ABC isósceles, de base AB horizontal dada, sendo dados o afastamento e a cota do vértice C. A(20,40,20) B(50,50,20) C(x,20,40) 7. Representar um retângulo ABCD, sendo dados os vértices A e C, e sabendo-se que o lado AB é frontal e tem comprimento dado. A(20,20,25) C(50,40,45) AB=20