SUMÁRIO. Pra começo de conversa

SUMÁRIO Pra começo de conversa... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 1 Introdução aos Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 1.1 Conceitos Básicos- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11 1.2 O Conceito de Vetor- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13 1.3 Operações com Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16 1.3.1 Adição de vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16 1.3.2 Diferença de Vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17 1.3.3 Multiplicação por Escalar- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18 2 Vetores: Um Tratamento Algébrico - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 21 2.1 Vetores no Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -23 2.2 Operações com Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 25 2.3 Vetores no Espaço - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30 3 Produtos de Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 35 3.1 Produto Escalar - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 37 3.2 Ângulo entre Vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38 3.3 Produto Vetorial - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42 3.4 Produto Misto - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 46 4 Retas no Plano e no Espaço - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 49 4.1 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51 4.2 Posições Relativas de Retas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57

4.3 Ângulos entre Retas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 60 4.4 Distância de Ponto a Reta - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64 5 Planos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69 5.1 Equação de um Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71 5.2 Posições relativas de reta e plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76 5.3 Posições Relativas de Planos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 79 5.4 Ângulo entre Reta e Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 83 5.5 Ângulo entre Dois Planos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84 5.6 Distância de Ponto a Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86 6 Mudança de Coordenadas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91 6.1 Coordenadas Polares - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 93 6.2 Coordenadas Cilíndricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95 6.3 Coordenadas Esféricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 97 6.4 Rotação e Translação - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 99 6.4.1 Rotação dos Eixos Coordenados - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 104 6.4.2 Translação dos Eixos Coordenados - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106 7 Cônicas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 109 7.1 Introdução - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 111 7.2 Elipse - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 113 7.2.1 Equação da Elipse com Centro na Origem do Sistema - - - - - - - - - - - - 106 7.2.2 Equação da Elipse com Centro no Ponto O (x 0, y 0 ) - - - - - - - - - - - - - - - - 120 7.3 Hipérbole - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 126 7.3.1 Equação da Hipérbole com Centro na Origem - - - - - - - - - - - - - - - - - - 128 7.3.2 Equação da Hipérbole com Centro no Ponto O (x 0, y 0 ) - - - - - - - - - - - - - 132

7.4 Parábola - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 137 7.4.1 Equação da Parábola com Vértice na Origem - - - - - - - - - - - - - - - - - - 138 7.4.2 Parábola com Vértice no Ponto V (x 0, y 0 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 142 8 Superfícies Quádricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 147 8.1 Introdução - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 149 8.2 Elipsoide - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 150 8.3 Hiperboloide de uma Folha - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 152 8.4 Hiperboloide de Duas Folhas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 154 8.5 Paraboloide Elíptico - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 156 8.6 Paraboloide Hiperbólico - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 158 8.7 Superfície Cônica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 159 8.8 Superfície Cilíndrica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 161 Para Final de Conversa... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 163 Referências - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 165

Para Começo de Conversa... Prezado(a) Aluno(a): É com muita satisfação que estamos iniciando o estudo da disciplina de Geometria Analítica. Convido cada um de vocês para mergulharmos profundamente nesta disciplina. Todos nós já estudamos de alguma forma a disciplina chamada Geometria Analítica no ensino médio. Aqui, estudaremos a Geometria Analítica com tratamento vetorial. Estamos falando de Geometria Analítica, mas, você saberia dizer o que significa essa expressão? Como ela surgiu? A geometria analítica, se baseia nos estudos da geometria através da utilização da álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês, René Descartes (1596-1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. De agora em diante, nosso principal objetivo será de aproveitar essa disciplina da melhor forma possível, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos, revisando alguns conceitos e conhecendo outros. Para elaboração deste texto, as principais referências utilizadas foram Winterle (2006) e Boulos (1997). Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em oito capítulos (ou

unidades). O tempo que você terá para cursar essa disciplina será de sessenta dias e você deverá se organizar para estudar os seguintes tópicos: Introdução aos Vetores Vetores: Um Tratamento Algébrico Produtos de Vetores Retas no Plano e no Espaço Planos Mudança de Coordenadas Cônicas Superfícies Quádricas Importante! Procure se organizar e dedicar da melhor forma possível a esta disciplina. Caso você tenha qualquer tipo de dificuldade, procure trocar ideias com o tutor presencial, com o tutor a distância ou com o professor da disciplina. Que cada um de vocês aproveitem o máximo esta disciplina. Bons estudos! Os Autores.

capítulo 1 Introdução aos Vetores Objetivo Construir vetores no plano usando as operações vetoriais. 9

1.1 Conceitos Básicos Quando nós falamos em vetores, geralmente, o que nos vem em mente é uma seta. Mas não podemos ter isso como definição. Tal seta nos transmite uma ideia de deslocamento ou de translação. Basicamente, podemos imaginar um ponto se deslocando de A para B. Essa é a idéia mais simples que um vetor nos transmite. Assim, o deslocamento é retilíneo, nos dando ideia de direção associada a uma reta. A extremidade da seta nos dá ideia de sentido e o comprimento da seta nos mostra, segundo uma unidade, a distância entre os pontos A e B. Note que tal seta que estamos imaginando não é um vetor, mas representa a idéia que um vetor ou uma grandeza vetorial encerra. Vamos iniciar nossa conversa, para atingirmos a definição precisa de vetor. Segundo WINTERLE (2006), uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta, como mostra a figura abaixo. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos; o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 11

Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB. Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura anterior é de 5 unidades de comprimento: AB = 5 u.c Agora, observe que: Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. AB = BA. Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes. Então, podemos enfatizar que: Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 12

Dois segmentos orientados, AB e CD, são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB CD. Propriedades da Equipolência 1. AB AB (reflexiva). 2. Se AB CD, CD AB (simétrica). 3. Se AB CD, CD EF, AB EF (transitiva). 4. Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB CD. 1.2 O Conceito de Vetor Definição 1.2.1. Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. 13

Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente, poderemos escrever: v = XY/XY AB, em que XY é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B A ou v. Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. O módulo de v é denotado por v. Dois vetores AB e CD são iguais, se, e somente se, AB CD. Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é denotado por O. v. Dado um vetor v = AB, o vetor BA é o oposto de AB e se indica por AB ou por Um vetor v é unitário, se v = 1. Definição 1.2.2. Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v. Os vetores u 1 e u 2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No 14

entanto, apenas u 1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. Portanto, este é o versor de v. Dois vetores u e v são colineares, se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. Se os vetores não nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são coplanares. Guardemos bem o seguinte: dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois re- 15

presentantes de u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.(winterle, 2006). 1.3 Operações com Vetores 1.3.1 Adição de vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dos vetores u e v, isto é, s = u + v. Propriedades da adição 1. Comutativa: u + v = v + u. 2. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ). 3. Existe um só vetor nulo O tal que para todo o vetor v se tem: v + O = O + v = v. 16

4. Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor v (vetor oposto de v ) tal que v + ( v ) = v + v = O. 1.3.2 Diferença de Vetores Chama-se diferença de dois vetores u e v, e se representa por d = u v, ao vetor u + ( v ). Dados dois vetores u e v, representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD, verifica-se que a soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD e que a diferença d = u v é representada pelo segmento orientado CB. Exemplo 1.3.1. Dados dois vetores u e v não paralelos, construa, no mesmo gráfico, os vetores u + v, u v, v u e u v, todos com origem em um mesmo ponto. 17

1.3.3 Multiplicação por Escalar Dados um vetor v 0 e um número real (ou escalar) k 0, chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor p = k v, tal que: a) módulo: p = k v = k v ; b) direção: a mesma de v ; c) sentido: o mesmo de v, se k > 0, e contrário ao de v, se k < 0 Se k = 0 ou v = 0, o produto é o vetor O. Se k é um escalar não nulo, a notação v /k significa 1/k v. Se v é um vetor não nulo, o vetor v / v é o versor de v. Propriedades da Multiplicação por Escalar Se u e v são vetores quaisquer, e a e b, números reais, temos: 18

1. Associativa: a(b v ) = (ab) v. 2. Distributiva em relação à adição de escalares: (a + b) v = a v + b v. 3. Distributiva em relação à adição de vetores: a( u + v ) = a u + a v. 4. Identidade: 1 v = v. Dois vetores não nulos u e v são paralelos, se, e somente se, existe um escalar k tal que u = k v (e, consequentemente, k 0 e v = u /k). Atividade 1. Dados dois vetores u e v não paralelos, construa em uma mesma figura os vetores 2 u + 3 v, 3 u 2 v, v u e todos com origem em um mesmo ponto. 19

capítulo 2 Vetores: Um Tratamento Algébrico Objetivos Estabelecer a igualdade entre dois vetores; Manipular operações entre vetores; Reconhecer vetores paralelos; Representar vetores no espaço. 21

2.1 Vetores no Plano Segundo WINTERLE (2006), dados dois vetores v 1 e v 2, não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v 2 ) pode ser decomposto segundo as direções de v 1 e v 2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a 1 e a 2 tais que: v = a1 v1 + a 2 v2 (2.1) Quando o vetor v estiver representado por 2.1 dizemos que v é combinação linear de v 1 e v 2. O par de vetores v 1 e v 2, não colineares, é chamado base do plano. Aliás, qualquer conjunto { v 1, v 2 } de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os números a 1 e a 2 da representação 2.1 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base { v 1, v 2 }. O vetor a 1v1 é chamado projeção de v sobre v 1 segundo a direção de v 2. Do mesmo modo, a 2v2 é a projeção de v sobre v 2 segundo a direção de v1. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base { e 1, e 2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, e 1 e 2 e e 1 = e 2 = 1. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xoy. Os 23

vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j, ambos com origem em O e extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente, sendo a base C = { i, j } chamada canônica. Portanto, i = (1, 0) e j = (0, 1). Daqui por diante, trataremos somente da base canônica. Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que v = x i + y j (2.2) Os números x e y são as componentes de v na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v. O vetor v será também representado por v = (x, y) (2.3) dispensando-se a referência à base canônica C. 24

A igualdade anterior é chamado expressão analítica de v. Para exemplificar, veja alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas: 3 i 5 j = (3, 5) 3 j = (0, 3) 4 i = ( 4, 0) Parece óbvio o que se segue, mas a definição de igualdade de vetores é fundamental para continuarmos o estudo de Geometria Analítica.(WINTERLE,2006). Dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são iguais se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2, escrevendo-se u = v. Exemplo 2.1.1. O vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v = (5, 2y 6) se x + 1 = 5 e 2y 6 = 4. Assim, se u = v, então x = 4, y = 5 e u = v = (5, 4). Atividade Considere os vetores u = (m + 2n, n 7) e v = (4 m, n + m + 9). Existem valores de m e n de modo que u = v? 2.2 Operações com Vetores Você deve ter notado que já estudamos operações entre vetores. Por que então, tudo isso novamente? A questão é que estudamos operações entre vetores do ponto de vista geométrico. Agora daremos um enfoque algébrico para o que fizemos anteriormente. Sejam os vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) e α R. Define-se: 25

1. u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2. α u = (αx 1, αx 2 ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Exemplo 2.2.1. Determinar o vetor w na igualdade 3 w + 2 u = 1 2 v + w, sendo dados u = (3, 1) e v = ( 2, 4). A equação pode ser resolvida como uma equação numérica: 6 w + 4 u = v + 2 w = 6 w 2 w = v 4 u = 4 w = v 4 u = 1 w = v u 4 Substituindo u e v na equação acima, vem 1 w = 4 ( 2, 4) (3, 1) = w = ( 1 4, 1) (3, 1) = w = ( 1 + ( 3), 1 + 1) = 2 7 w = ( 2, 2) Vamos considerar agora o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade em B(x 2, y 2 ). 26

Os vetores OA e OB têm expressões analíticas OA = (x1, y 1 ) e OB = (x2, y 2 ). Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem OA + AB = OB em que AB = OB OA ou AB = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) e AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB = B A. É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O(0, 0) e extremidade em P = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). O vetor v = AB é também chamado vetor posição ou representante natural de AB. Por outro lado, sempre que tivermos v = AB ou v = B A podemos também concluir que B = A + v ou B = A + AB, isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B. Exemplo 2.2.2. Dados os pontos A( 1, 2), B(3, 1) e C( 2, 4), determinar o ponto D de modo que 1 CD = AB. 2 Seja D(x, y). Então, CD = D C = (x, y) ( 2, 4) = (x + 2, y 4) e AB = B A = 27

(3, 1) ( 1, 2) = (4, 3). Logo, (x + 2, y 4) = 1 3 (4, 3) (x + 2, y 4) = (2, 2 2 ) Da igualdade anterior concluimos que x + 2 = 2 y 4 = 3 2 Portanto, D(0, 5 2 ). Para você Refletir: Pense outra forma de resolver este exercício. Vimos anteriormente, como determinar o vetor definido por dois pontos. Considere agora o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB ou (x x 1, y y 1 ) = (x 2 x, y 2 y) e daí x x 1 = x 2 x e y y 1 = y 2 y). Com isso, temos M( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ) 2 28

Exemplo 2.2.3. Observe que o ponto médio do segmento de extremos A( 2, 3) e B(6, 2) é M( 2 + 6, 3 + 2 2 2 ) ou M(2, 5 2 ) Você se lembra da definição de vetores paralelos? Pois bem, vamos voltar nesse assunto, mas agora, com a abordagem algébrica. Dois vetores são paralelos se existe um número real α tal que u = α v, ou seja, (x 1, y 1 ) = α(x 2, y 2 ) que pela condição de igualdade resulta em x 1 = αx 2 e y 1 = αy 2 donde x 1 x 2 = y 1 y 2 (= α) Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. Exemplo 2.2.4. Os vetores u = ( 2, 3) e v = ( 4, 6) são paralelos pois 2 4 = 3 6. Atividades 1. Dados os vetores u = (3, 1) e v = ( 1, 2), obtenha o vetor w tal que 3 w (2 v u ) = 2(4 w 3 u ). 2. Dados os pontos A( 1, 3), B(1, 0) e C(2, 1), determine o ponto D de modo que DC = BA. 29

2.3 Vetores no Espaço Vamos refletir um pouco sobre o que vimos até agora. Iniciamos nossa disciplina dando aos vetores um tratamento geométrico. Em seguida, vimos que todo vetor de um plano possui uma representação em termos da chamada base canônina. Ou seja, passamos a manipular os vetores do ponto de vista algébrico. Uma questão fundamental, é que tudo o que fizemos para vetores em um plano se estende de maneira natural para vetores do espaço, bastanto para isso fazer algumas adptações. No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica { i, j, k }, onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i, o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor k. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. Cada dupla de vetores de base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xoy ou xy, o plano xoz ou xz e o plano yoz ou yz. As figuras a seguir dão uma idéia dos planos xy e 30

xz, respectivamente. Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP = x i + y j + z k, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. O vetor OP = v = x i + y j + z k também será expresso por OP = v = (x, y, z). Tomemos o paralelepípedo da figura: Com base nesta figura, temos: a) A(2, 0, 0) - um ponto P (x, y, z) está no eixo dos x, quando y = 0 e z = 0; b) C(0, 4, 0) - um ponto está no eixo dos y, quando x = 0 e z = 0; 31

c) E(0, 0, 3) - um ponto está no eixo dos z, quando x = 0 e y = 0; d) B(2, 4, 0) - um ponto está no eixo dos xy quando z = 0; e) F (2, 0, 3) - um ponto está no eixo dos xz, quando y = 0; f) D(0, 4, 3) - um ponto está no eixo dos yz, quando x = 0. O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P (2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente. Como todos os pontos da face a) P DEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3); b) P BCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z); c) P F AB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z). Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, 2, 4), procedemos assim: 1 o ) Marca-se o ponto A (3, 2) no plano xy; 2 o ) Desloca-se A paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse 4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A. 32

Atividades 1. Considere os seguintes pontos: A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3). Represente cada um desses pontos no sistema cartesiano. Utilize o que aprendermos anteriormente, para demonstrar que esses pontos são vértices de um paralelogramo.( Lembre da definição de paralelogramo!). 2. Obtenha os valores de a e b de modo que os vetores u = (4, 1, 3) e v = (6, a, b) sejam paralelos. 33

capítulo 3 Produtos de Vetores Objetivos Calcular a norma de um vetor a partir de sua expressão analítica; Calcular o ângulo formado entre dois vetores; Determinar o vetor projeção; Calcular o produto vetorial entre dois vetores; Utilizar o produto vetorial para calcular a área de um paralelogramo; Reconhecer vetores coplanares com o uso do produto misto. 35

3.1 Produto Escalar Definição 3.1.1. Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z2 k, e se representa por u v, ao número real u v = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. v. O produto escalar de u por v também é denotado por < u, v > e se lê u escalar Exemplo 3.1.1. Dados os vetores u = 3 i 5 j + 8 k e v = 4 i 2 j k, tem-se: u v = 3(4) 5( 2) + 8( 1) = 12 10 8 = 14. Definição 3.1.2. Módulo ou norma de um vetor v,denotado por v é o número real não negativo Caso v = (x, y), teremos v = v. v ou ainda v = (x, y).(x, y) v = x 2 + y 2 Apartir de cada vetor v não nulo é possível obter um vetor unitário u fazendo 37

u = v v Vamos agora explorarmos algumas propriedades básicas do produto escalar. Para quaisquer vetores u, v e w e o número real α, é fácil verificar que: 1. u v = v u 2. u ( v + w ) = u v + u w e ( u + v ) w = u w + v w 3. α( u v ) = (α u ) v = u (α v ) 4. u u > 0 se u 0 e u u = 0, se u = 0 = (0, 0, 0) 5. u u = u 2 3.2 Ângulo entre Vetores Definição 3.2.1. O ângulo de dois vetores não nulos u e v é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 θ π. A ideia, agora, é estabelecermos uma maneira de calcular o ângulo formado entre dois vetores, a partir de suas componentes. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da 38

figura abaixo, temos u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ (3.1) Por outro lado, tem-se: u v 2 = u 2 + v 2 2 u v (3.2) Comparando as igualdades 3.1 e 3.2 resulta em: u 2 + v 2 2 u v = u 2 + v 2 2 u v cosθ e daí, u v = u v cos θ, (3.3) para 0 o θ 180 o. Conclusão: O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado. Exemplo 3.2.1. Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = ( 1, 2, 2). u v cos θ = u (1, 1, 4) ( 1, 2, 2) = = 1 + 2 + 8 9 = v 1 + 1 + 16 1 + 4 + 4 18 9 3 2 3 = 1 = 1 2 = 2 2 2 2 Como cos θ = 2 concluimos que θ = π radianos. 4 Agora, vamos questionar o seguinte fato: O que ocorre com a relação 3.3 caso u v = 0? Podemos verificar que neste caso cos θ deve ser igual a zero, isto é, cos θ = 0, o que implica θ = 90 o, ou seja, θ é ângulo reto. 2 2 39

Assim, podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, se: u v = 0 e esses vetores serão denotados por u v (lê-se vetor u ortogonal ao vetor v ). Exemplo 3.2.2. Verifique que u = ( 2, 3 2) é ortogonal a v = ( 1, 2, 4). u v = 2( 1) + 3(2) + ( 2)4 = 2 + 6 8 = 0 Portanto u v. Vamos discutir agora a questão da projeção vetorial. Mas o que vem a ser isso? Considere os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v, tal que v = v 1 + v 2 sendo v 1 // u e v 2 u. A figura a seguir ilustra as duas situações possíveis, podendo ser θ um ângulo agudo ou obtuso. O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e denotado por v 1 = proj u v. (3.4) 40

Ora, sendo v 1 // u, temos v 1 = α u e como v 2 = v v 1 = v α u é ortogonal a u, vem ou e α = ( v α u ) u = 0 v u α u u = 0 v u u u. Portanto, sendo v 1 = α u, por 3.4 conclui-se que proj u v = ( v u u u ) u (3.5) Exemplo 3.2.3. Determine o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre v = (1, 1, 0). u v proj v u = ( v ) (2, 3, 4) (1, 1, 0) 3 + 0 v = ( )(1, 1, 0) = (2 v (1, 1, 0) (1, 1, 0) 1 + 1 + 0 )(1, 1, 0) = 1 (1, 1, 0) 2 Atividades 1. Mostre que u + u = u 2 +2 u v + u 2. 2. Determine o valor de n para que o vetor u = (n, 2, 4 ) seja unitário. 5 5 3. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B( 1, 0, 1) e C(2, 1, 0). 4. Determine os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, 1) e C( 1, 2, 1). 5. Determine o vetor projeção do vetor u (1, 2, 3) na direção de v = (2, 1, 2). 41

3.3 Produto Vetorial Faremos algumas considerações importantes antes de definirmos produto vetorial: O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar u v que é um escalar (número real); Para simplicidade do cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes; Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção: a) a permutação de duas linhas de uma matriz inverte o sinal do determinante associado a essa matriz; b) se duas linhas de uma matriz forem constituídas de elementos proporcionais, seu determinante é igual a zero(duas linhas iguais é um caso particular). c) se uma das linhas de uma matriz for constituída de zeros, o determinante é igual a zero. O determinante associado a uma matriz de ordem 3 pode ser dado por det a b c x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = det y 1 z 1 a det x 1 z 1 b + det y 2 z 2 x 2 z 2 x 1 y 1 x 2 y 2 c A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. 42

Definição 3.3.1. Chama-se produto vetorial de dois vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k e v = x 2 i + y2 j + z2 k, tomados nesta ordem, e se representa por u v, ao vetor u v = det y 1 z 1 i det x 1 z 1 j + det x 1 y 1 k (3.6) y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 v. O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lê-se u vetorial Observemos que a definição de u v dada em 3.6 pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace (item d acima) substituindo-se a, b e c pelo vetores unitários i, j e k, fato que sugere a notação u v = det i j k x 1 y 1 z 1 (3.7) x 2 y 2 z 2 Atenção: O símbolo à direita de 3.7 não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. Exemplo 3.3.1. Calcular u v para u = 5 i + 4 j + 3 k e v = i + k. i j k det 5 4 3 = det 4 3 i det 5 3 j + det 5 4 k 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = (4 0) i (5 3) j + (0 4) k = 4 i 2 j 4 k Agora, conforme fizemos com o produto escalar, vamos discutir algumas propriedades do produto vetorial. 43

Levando-se em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes, concluímos de imediato que: 1. v u = ( u v ), isto é, os vetores v u e u v são opostos, pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial u v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes. 2. u v = 0 se, e somente se, u // v, pois neste caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Estão aí também incluídos os casos particulares: I) u u = 0 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) II) u 0 = 0 (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) Características do vetor u v Consideremos os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) a) Direção de u v O vetor u v é simultaneamente ortogonal a u e v. b) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizando-se a regra da mão direita. Sendo θ o ângulo entre u e v, suponhamos que u (1 o vetor) sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v. Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de u v. A figura acima (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão, quando então o dedo polegar estará apontando para baixo. 44

c) Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então u v = u v sen θ. Proposição 3.3.1. O módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC Demonstração. De fato a área ABCD = u h = u v sin θ = u v sin θ Usando o fato que segue o resultado. u v = u v sin θ Atividades 1. Considere os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 1, 0) e w = ( 1, 2, 2). Calcule: v w, ( v + u ) w. 2. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, 1, 0). 45

3.4 Produto Misto Definição 3.4.1. Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k, v = x 2 i + y2 j + z2 k e w = x3 i + y3 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u ( v w ). O produto misto de u, v e w também pode ser denotado por ( u, v, w ). Tendo em vista que i j k v w = det x 2 y 2 z 2 = det y 2 z 2 i det x 2 z 2 j +det y 3 z 3 x 3 z 3 x 3 y 3 z 3 vem u ( v w ) = x1 det y 1 z 1 y 1 det x 1 z 1 + z 1 det y 2 z 2 x 2 z 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 3 y 3 k e, portanto, u ( v w ) = det x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 (3.8) x 3 y 3 z 3 Exemplo 3.4.1. Calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = i + 3 j + 3 k e w = 4 i 3 j + 2 k. u ( v w ) = det 2 3 5 1 3 3 4 3 2 = 27 46

Vejamos agora algumas propriedades do produto misto. 1. O produto misto ( u, v, w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. Então, se em relação ao produto misto ( u, v, w ) ocorrer a) uma permutação - haverá troca de sinal; b) duas permutações - não altera o valor. Resulta desta propriedade que os sinais e podem ser permutados, isto é, u ( v w ) = ( u v ) w. 2. ( u + x, v, w ) = ( u, v, w ) + ( x, v, w ) ( u, v + x, w ) = ( u, v, w ) + ( u, x, w ) ( u, v, w + x ) = ( u, v, w ) + ( u, v, x ) 3. (α u, v, w ) = ( u, α v, w ) = ( u, v, α w ) = α( u, v, w ) 4. ( u, v, w ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Exemplo 3.4.2. Verificar se são coplanares os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 1, 4). ( u, v, w ) = det 2 1 1 1 0 1 2 1 4 = 3 0 Portanto, os vetores não são coplanares. 47

Exemplo 3.4.3. Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, 1, 2) e w = ( 1, 3, 1) sejam coplanares? 2 m 0 Devemos ter ( u, v, w ) = 0, isto é, det 1 1 2 1 3 1 e, portanto, m = 10. = 0 ou 2 2m 12+m = 0 Exemplo 3.4.4. Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B( 1, 0, 2), C(0, 2, 2) e D( 2, 1, 3) estão no mesmo plano. Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e AD, e para tanto, deve-se ter ( AB, AC, AD) = 0. Como ( AB, AC, AD) = 2 2 6 1 0 2 3 1 7 = 0 Portanto os pontos A, B, C e D são coplanares. Atividades 1. Verifique se os vetores u = (3, 1, 2), v = (1, 2, 1) e w = ( 2, 3, 4) são coplanares. 2. Para que valores de a os pontos A(a, 1, 2), B(2, 2, 3), C(5, 1, 1) e D(3, 2, 2) são coplanares? 48

capítulo 4 Retas no Plano e no Espaço Objetivos Identificar as diferentes formas de escrever a equação de uma reta; Calcular o ângulo formado por duas retas; Reconhecer a posição relativa de duas retas; Calcular a distância de um ponto a uma reta. 49

4.1 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta Consideremos um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não nulo v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v, isto é, para algum real t. AP = t v (4.1) De 4.1, vem P A = t v ou P = A + t v (4.2) ou, em coordenadas (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c) (4.3) Qualquer uma das equações 4.1, 4.2 ou 4.3 é denominada equação vetorial de r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. 51

Exemplo 4.1.1. Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = 2 i + 2 j k. Seja P (x, y, z) um ponto genérico dessa reta, tem-se P = A + t v, isto é, (x, y, z) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1). Quando t varia de a +, P descreve a reta r. Assim, se t = 2, por exemplo: (x, y, z) = (3, 0, 5)+t(2, 2, 1) = (x, y, z) = (3, 0, 5)+(4, 4, 2) = (x, y, z) = (7, 4, 7) O ponto P (7, 4, 7) é um ponto da reta r. Reciprocamente, a cada ponto P r corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P (7, 4, 7) pertence à reta r : (x, y, z) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1), logo, é verdadeira a afirmação: (7, 4, 7) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1), para algum número real t. Dessa igualdade, vem: t(2, 2, 1) = (7, 4, 7) (3, 0, 5) = t(2, 2, 1) = (4, 4, 2) = (2t, 2t, 1t) = (4, 4, 2) Da definição de igualdade de vetores, vem: t = 2. Vamos agora apresentar uma outra maneira de escrever as equações de uma reta. Da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c) ou ainda (x, y, z) = (x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct), pela condição de igualdade, obtém-se x = y = x 1 + at y 1 + bt (4.4) z = z 1 + ct As equações 4.1.2 são chamadas equações paramétricas da reta. 52

Exemplo 4.1.2. Dados o ponto A(2, 3, 4) e o vetor v = (1, 2, 3), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v. b) Encontrar o ponto B de r de parâmetro t = 1. c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. d) Verificar se os pontos D(4, 1, 2) e E(5, 4, 3) pertencem a r. a) De acordo com a forma paramétrica da reta temos imediatamente: r : x = y = z = 2 + t 3 2t 4 + 3t b) Das equações acima tem-se para t = 1: x = 2 + (1) = 3 y = 3 2(1) = 1 z = 4 + 3(1) = 1 Portanto, B(3, 1, 1) r c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4), temos y = 3 2(2) = 1 4 = 2 + t (1 o equação de r) e, portanto,t = 2. Como t = 2,= z = 4 + 3(2) = 2 O ponto procurado é (4, 1, 2). d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r. 53

Para D(4, 1, 2) as equações 4 = 2 + t 1 = 3 2t 2 = 4 + 3t se verificam para t = 2 e, portanto, D r. Vamos pensar o seguinte fato: Dados dois pontos, por exemplo, no espaço, como determinar as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos? Observe que a reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v = AB. Vejamos um exemplo. 0,3cm Exemplo 4.1.3. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, 1, 2) e B(1, 2, 4). Escolhendo o ponto A e o vetor v = AB = B A = ( 2, 3, 6), tem-se r : Das equações paramétricas x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct x = y = z = 3 2t 1 + 3t 2 + 6t supondo abc 0, vem t = x x 1 a t = y y 1 b t = z z 1 c Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c (4.5) 54

As equações 4.5 são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e tem a direção do vetor v = (a, b, c). Exemplo 4.1.4. A reta que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = (2, 2, 1), tem equações simétricas x 3 = y 2 2 = z + 5 1. Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, tem-se 5 3 = 1 = y 2 2 = z + 5 onde y = 2 e z = 6 1 e, portanto, o ponto (5, 2, 6) pertence à reta. Consideremos agora a seguinte situação Seja a reta r definida pelo ponto A(2, 4, 3) e pelo vetor diretor v = (1, 2, 3) e expressa pelas equações simétricas r : x 2 1 = y 4 2 = z + 3 3 (4.6) A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se x 2 1 = y + 4 2 x 2 1 = z + 3 3 1(y + 4) = 2(x 2) 1(z + 3) = 3(x 2) y + 4 = 2x 4 z + 3 = 3x + 6 (4.7) y = 2x 8 z = 3x + 3 Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x. Observações a) É fácil verificar que todo ponto P r é do tipo P (x, 2x 8, 3x + 3), onde x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3 tem-se o ponto P 1 (3, 2, 6) r. 55

y = b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma z = c) A partir das equações 4.6, pode-se obter as equações x = 1 2 y + 4 z = 3 (equações reduzidas na variável y) 2 y 9 ou x = 1 3 z + 1 y = 2 (equações reduzidas na variável z). 3 z 6 mx + n px + q d) A reta r das equações 4.6 pode ser representada pelas equações paramétricas x = 2 + t y = 4 + 2t z = 3 3t Da primeira equação obtém-se t = x 2 que, substituindo nas outras duas as transforma em y = 4 + 2(x 2) = 2x 8 z = 3 3(x 2) = 3x + 3 que são as equações reduzidas de 4.7. e) Para encontrar um vetor diretor da reta y = 2x 8 r : z = 3x + 3 uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor AB = B A. Por exemplo, para x = 0, obtém-se o ponto A(0, 8, 3) e para x = 1, obtém-se o ponto B(1, 6, 0). Logo, AB = (1, 2, 3) é um vetor diretor de r. Atividades 1. Verifique se os pontos P 1 (5, 5, 6) e P 2 (4, 1, 12) pertencem à reta r : x 3 1 = y + 1 2 = z 2 2. 56

2. O ponto P (2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, 1, 4) e B(4, 3, 1). Calcule P. 3. Determine as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4, 0, 3) e tem a direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k. x = 2t 4. Cite um ponto e um vetor diretor da reta r : y = 1. z = 2 t 5. Determine a equação da reta que passa por A(1, 2, 4) e é paralela ao eixo dos x. 4.2 Posições Relativas de Retas Duas retas r 1 e r 2, no espaço, podem ser: a) concorrentes, isto é, situadas no mesmo plano. Nesse caso, as retas poderão ser: (a) concorrentes: r 1 r 2 = {P } (P é o ponto de intersecção das retas r 1 e r 2 ; (b) paralelas: r 1 r 2 = ( é o conjunto vazio) 57

A condição de paralelismo das retas r 1 e r 2 é a mesma dos vetores v 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ), que definem as direções dessas retas, isto é: v1 = m v 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 (O caso de serem r 1 e r 2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo). b) reversas, isto é, não situadas no mesmo plano. Nesse caso: r 1 r 2 = Observações A igualdade ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r 1 e r 2 que passam, respectivamente, pelos pontos A 1 e A 2, e tem por vetores diretores os vetores v 1 e v 2 : a) se r 1 e r 2 forem paralelas, serão coplanares, isto é, ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0, pois duas linhas do determinante utilizado para calcular ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) apresentam elementos proporcionais v 1 = k v 2. b) se r 1 e r 2 não forem paralelas, a igualdade ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 exprime a condição de concorrência dessas retas. c) se o determinante utilizado para calcular ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) for diferente de zero, as retas r 1 e r 2 são reversas. 58

Exemplo 4.2.1. Estude a posição relativa das retas: x = y = 2x 3 r 1 : e r 2 : y = z = x z = 1 3t 4 6t 3t São vetores diretores de r 1 e r 2 : v1 = (1, 2, 1) e v 2 = ( 3, 6, 3). Como v 2 = 3 v 1, as retas r 1 e r 2 são paralelas e não coincidentes (basta ver que o ponto A 1 (0, 3, 0) r 1 e A 1 (0, 3, 0) r 2. Exemplo 4.2.2. Estude a posição relativa das retas x = r 1 : x 2 = y 2 3 = z 5 e r 2 : y = 4 z = 5 + t 2 t 7 2t As retas não são paralelas pois: 2 1 3 1 4 2. Calculemos o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) para A 1 (2, 0, 5) e A 2 (5, 2, 7): ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 2 3 4 1 1 2 3 2 2 = 0 o que significa que as retas r 1 e r 2 são concorrentes (se o determinante fosse diferente de zero, as retas seriam reversas). Conhecidas as equações de duas retas, podemos determinar o seu ponto de intersecção. Duas retas r 1 e r 2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas: x = t y = 3x + 2 r 1 : e r 2 : y = 1 + 2t z = 3x 1 z = 2t 59

e determinemos o seu ponto de intersecção. Se I(x, y, z) é este ponto, suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r 1 e r 2, isto é, I(x, y, z) é a solução do sistema: y = 3x + 2 z = 3x 1 x = y = z = t 1 + 2t 2t Eliminando t nas três últimas equações, temos o sistema equivalente y = 3x + 2 z = 3x 1 y = z = 1 2x 2x Resolvendo o sistema, encontramos: x = 1 y = z = 2 Logo, o ponto de intersecção das retas r 1 e r 2 é: I(1, 1, 2). 1 4.3 Ângulos entre Retas Sejam as retas r 1, que passa pelo ponto A 1 (x 1, y 1, z 1 ) e tem direção de um vetor v1 = (a 1, b 1, c 1 ), e r 2, que passa pelo ponto A 2 (x 2, y 2, z 2 ) e tem direção de um vetor v2 = (a 2, b 2, c 2 ). 60

Definição 4.3.1. Chama-se ângulo de duas retas r 1 e r 2 o menor ângulo de um vetor diretor de r 1 e de um vetor diretor de r 2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2, com 0 θ π 2 (4.8) ou, em coordenadas: cos θ = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 Observação Na figura, o ângulo α é suplementar de θ e, portanto, cos α = cos θ. O ângulo α é o ângulo formado por v 1 e v 2 ou v 1 e v 2. Exemplo 4.3.1. Calcular o ângulo entre as retas x = 3 + t r 1 : y = t e r 2 : x + 2 2 = y 3 = z 1 1 z = 1 2t Os vetores que definem as direções das retas r 1 e r 2 são, respectivamente: v1 = (1, 1, 2) e v 2 = ( 2, 1, 1). Logo, temos cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2 = (1, 1, 2) ( 2, 1, 1) 12 + 1 2 + ( 2) 2 ( 2) 2 + 1 2 + 1 2 61

cos θ = 2 + 1 2 = 3 = 3 1 + 1 + 4 4 + 1 + 1 6 6 6 = 1 2 Observemos que duas retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 e v 2, respectivamente, são ortogonais se: r 1 r 2 v 1 v 2 = 0 Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na figura anterior, as retas r 1 e r 2 são ortogonais a r, porém, r 2 e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são perpendiculares. Exemplo 4.3.2. Verifique se as retas y = 2x + 1 r 1 : z = 4x e r 2 : x = y = z = 3 2t 4 + t t são ortogonais. Sendo v 1 = (1, 2, 4) e v 2 = ( 2, 1, 1) vetores diretores de r 1 e r 2 tem-se: v1 v 2 = 1( 2) 2(1) + 4(1) = 0, portanto as retas r 1 e r 2 são ortogonais. 62

Agora, sejam as retas r 1 e r 2 não paralelas, com as direções de v 1 e v 2, respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r 1 e r 2 terá a direção de um vetor v tal que v v1 = 0 v v2 = 0 (4.9) Em vez de tomarmos um vetor v 0 como uma solução particular do sistema 4.9, poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é, v = v 1 v 2. Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos. Exemplo 4.3.3. Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, 1) e é ortogonal às retas r 1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, 4) e r 2 : x = 5 y = t z = 1 t As direções de r 1 e r 2 são definidas pelos vetores v 1 = (2, 3, 4) e v 2 = (0, 1, 1). Então a reta r tem a direção do vetor i j k v1 v 2 = 2 3 4 0 1 1 = (1, 2, 2) Logo, tem-se r : x = y = 3 + t 4 + 2t z = 1 + 2t 63

Atividades 1) Determine o ângulo entre as retas x = 2 2t r : y = 2t z = 3 4t e s : x 4 = y + 6 2 = z 1 2. y = mx + 3 2) A reta r : z = x 1 e B( 2, 2m, 2m). Calcule o valor de m. é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) 4.4 Distância de Ponto a Reta Dado um ponto P do espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(p, r) de P a r. Consideremos na reta r um ponto a e um vetor diretor v. Os vetores v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(p, r). A área A do paralelogramo é dada por a) A = (base) (altura) = v d ou b) A = v AP. 64

Comparando a) e b), vem d = d(r 1, r 2 ) = v AP v (4.10) Exemplo 4.4.1. Calcule a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta x = 1 + 2t r : y = 2 t z = 3 2t A reta r passa pelo ponto A( 1, 2, 3) e tem a direção do vetor v = (2, 1, 2). Seja ainda o vetor AP = P A = (3, 1, 1). Calculemos Logo temos d(p, r) = i j j v AP = 2 1 2 = ( 3, 8, 1) 3 1 1 ( 3, 8, 1) (2, 1, 2) = ( 3)2 + ( 8) 2 + 1 2 22 + ( 1) 2 + ( 2) 2 = 74 3 Podemos utilizar do fato de que sabemos calcular a distância de um ponto a uma reta para calcularmos a distância entre duas retas paralelas.dadas as retas r 1 e r 2, quer-se calcular a distância d(r 1, r 2 ). Podemos ter os seguintes casos: (a) r 1 e r 2 são concorrentes. Neste caso : d(r 1, r 2 ) = 0. (b) r 1 e r 2 são paralelas. d(r 1, r 2 ) = d(p, r 2 ), com P r 1 ou d(r 1, r 2 ) = d(p, r 1 ) com P r 2. A figura a seguir ilustra esta situação, que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta. u.c. 65

(c) r 1 e r 2 são reversas. Seja r 1 a reta definida pelo ponto A 1 e pelo vetor diretor v 1 e a reta r 2 pelo ponto A 2 e pelo vetor diretor v 2. Os vetores v 1, v 2 e A 1 A 2, por serem não coplanares, determinam um paralelepípedo (figura??) cuja altura é a distância d(r 1, r 2 ) que se quer calcular (a reta r 2 é paralela ao plano da base do paralelepípedo definida por v 1 e v 2 ). Exemplo 4.4.2. Calcule a distância entre as retas x = 1 + t y = x 3 r 1 : y = 3 2t e r 2 : z = x + 1 z = 1 t A reta r 1 passa pelo ponto A 1 ( 1, 3, 1) e tem a direção de v 1 = (1, 2, 1) e a reta r 2 pelo ponto A 2 (0, 3, 1) e tem a direção de v 2 = (1, 1, 1). 66

Então, A 1 A 2 = A 2 A 1 = (1, 6, 0) e Então temos d(r 1, r 2 ) = ( v 1, v 2, 1 2 1 A 1 A 2 ) = 1 1 1 = 3 1 6 0 i j j v1 v 2 = 1 2 1 = (3, 0, 3) 1 1 1 3 3 32 + 3 = = 2 18 3 (3, 0, 3) = 32 6 18 18 = 6 6 Atividades x = 1 2t 1) Calcule a distância do ponto P (1, 2, 3) à reta s : y = 2t. z = 2 t x = 0 2) Calcule a distância entre as retas r : y = z y = 3 e s : z = 2x. 67