EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática A 2.º Ao de Escolaridade Prova 635/2.ª Fase 2 Págias Dração da Prova: 50 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. 200 VERSÃO Na folha de respostas, idiqe, de forma legível, a versão da prova. A asêcia dessa idicação implica a classificação com zero potos das respostas aos ites do Grpo I. Prova 635.V Págia / 2
Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével, azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, de desehos o de otras represetações, qe podem ser, primeiramete, elaborados a lápis, sedo, a segir, passados a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica, sempre qe for ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva, de forma legível, a meração dos grpos e dos ites, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis o qe ão possam ser idetificadas são classificadas com zero potos. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 635.V Págia 2/ 2
Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra qe idetifica a úica opção correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. A prova icli, a págia 4, m Formlário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. Prova 635.V Págia 3/ 2
Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r 2 (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 3 Diagoal maior Diagoal meor 2 Base maior + Base meor 2 3 α r 2 2 tg a + tg b tg a. tg b θ+2kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., } Probabilidades µ = p +... + p σ = p ( µ ) +... + p ( µ ) lim + = e se lim = 0 l( + ) lim = 0 l lim = 0 + lim + SeXéN( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 6827 P( µ 2 σ < X < µ + 2σ) 0, 9545 P( µ 3 σ < X < µ + 3σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = 2 v v ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = 2 cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} ) la Limites otáveis e lim = 0 e p 2 2 =+ ( p R) Prova 635.V Págia 4/ 2
GRUPO I Na resposta a cada m dos ites deste grpo, seleccioe a úica opção correcta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção seleccioada. Não apresete cálclos, em jstificações.. Uma caia cotém bolas idistigíveis ao tacto e de das cores diferetes: azl e roo. Sabe-se qe: o úmero de bolas azis é 8 etraido-se, ao acaso, ma bola da caia, a probabilidade de ela ser azl é igal a 2 Qatas bolas roas há a caia? (A) 6 (B) 2 (C) 8 (D) 4 2. Cosidere todos os úmeros de cico algarismos qe se podem formar com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. De etre estes úmeros, qatos têm, eactamete, três algarismos 5? (A) 5 C 5 5 2 (B) C 2 4 (C) A (D) 3 A 2 3 4 3 4 5 A 4 C 3 2 3. Na seqêcia segite, reprodzem-se os três primeiros elemetos e os três últimos elemetos de ma liha do Triâglo de Pascal. 5 05... 05 5 São escolhidos, ao acaso, dois elemetos dessa liha. Qal é a probabilidade de a soma desses dois elemetos ser igal a 05? (A) (B) (C) (D) 0 60 20 Prova 635.V Págia 5/ 2
4. De ma fção h, de domíio R, sabe-se qe: h é ma fção par; lim ( h ( ) 2 ) = 0 + Qal é o valor de lim h ( )? (A) + (B) 2 (C) 0 (D) 5. Cosidere a fção g, de domíio R, defiida por e se 0 g ( ) = l se >0 Cosidere a scessão de termo geral Qal é o valor de lim g ( )? + = (A) + (B) (C) 0 (D) 6. Na Figra, está represetada, m referecial o.. Oy, parte do gráfico da fção f, primeira derivada de f + Seja a R m poto do domíio de f, tal qe f (a ) = 0 y f O a Figra Qal das afirmações segites é verdadeira? (A) A fção f tem m míimo para = a (B) A fção f tem m poto de ifleão para = a (C) A fção f é crescete em ]0, a[ (D) A fção f é decrescete em R Prova 635.V Págia 6/ 2
7. A Figra 2 represeta m petágoo [ABCDE ] o plao compleo. Os vértices do petágoo são as images geométricas das raízes de ídice de m úmero compleo w O vértice A tem coordeadas (, 0) Im( z) O Re( z) Figra 2 Qal dos úmeros compleos segites tem por imagem geométrica o vértice D do petágoo? 6π 6π (A) (B) (C) cis π 5 cis cis (D) 5 5 5 cis π 5 8. Seja w o úmero compleo cja imagem geométrica está represetada a Figra 3. Im(z ) O Re(z ) w Figra 3 A qal das rectas segites pertece a imagem geométrica de w 6? (A) Eio real (B) Eio imagiário (C) Bissectriz dos qadrates ímpares (D) Bissectriz dos qadrates pares Prova 635.V Págia 7/ 2
GRUPO II Nas respostas aos ites deste grpo, apresete todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto. π. Em C, cojto dos úmeros compleos, cosidere z cis = 2 e 4 z 2 =3 Resolva os dois ites segites, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos... Determie o úmero compleo w = 4 z i +4 i Apresete o resltado a forma trigoométrica..2. Escreva ma codição, em C, qe defia, o plao compleo, a circferêcia qe tem cetro a imagem geométrica de z 2 e qe passa a imagem geométrica de z 2. A Figra 4 e a Figra 5 represetam, respectivamete, as plaificações de dois dados cúbicos eqilibrados, A e B. 0-0 -2 0 0 - Figra 4 Figra 5 Laçam-se, simltaeamete, os dois dados. 2.. Seja X a variável aleatória «soma dos úmeros saídos as faces voltadas para cima, em cada m dos dados». Costra a tabela de distribição de probabilidades da variável X Apresete as probabilidades a forma de fracção. Prova 635.V Págia 8/ 2
2.2. Cosidere qe o úmero da face voltada para cima o dado A (Figra 4) é a abcissa de m poto Q do referecial o.. Oy, e qe o úmero da face voltada para cima o dado B (Figra 5) é a ordeada desse poto Q. Cosidere agora os acotecimetos: J : «o úmero saído o dado A é egativo»; L : «o poto Q pertece ao terceiro qadrate». Idiqe o valor de P (L J ), sem aplicar a fórmla da probabilidade codicioada. Apresete o resltado a forma de fracção. Nma composição, epliqe o se raciocíio, começado por referir o sigificado de P (L J ) o coteto da sitação descrita. 3. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos tais qe A Ω, B Ω e P( B) 0 Mostre qe PA ( B ) ( ) PA ( B) = PA PB ( ) PB ( ) (P desiga probabilidade ; A desiga o acotecimeto cotrário de A ; PA ( B) desiga a probabilidade de A, dado B ) Prova 635.V Págia 9/ 2
4. Cosidere a fção f, de domíio ]0, + [, defiida por e 3 se 0< 2 f ( ) = l se >2 5 Resolva os ites 4.. e 4.2., recorredo a métodos eclsivamete aalíticos. 4.. Estde a fção f qato à eistêcia de assimptotas oblíqas. 4.2. Mostre qe a fção f tem m etremo relativo o itervalo ]2, + [ 4.3. Determie a área do triâglo [ABC ], recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora. Sabe-se qe: A, B e C são potos do gráfico da fção f A e B são os potos cjas abcissas são as solções, o itervalo ]0, 2], da eqação f () = f( 5) C é o poto cja ordeada é o míimo da fção f, o itervalo ]0, 2], e cja abcissa pertece ao itervalo ]0, 2] Na sa resposta, deve: reprodzir o gráfico da fção, o os gráficos das fções, qe tiver ecessidade de visalizar a calcladora, devidamete idetificado(s), iclido o referecial; idicar as coordeadas dos potos A, B e C, com arredodameto às cetésimas; apresetar o resltado pedido, com arredodameto às décimas. 5. Cosidere a fção f, de domíio R, defiida por f () = + e 3 2 Resolva os dois ites segites, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos. 5.. Mostre qe f( ) =5, tem, pelo meos, ma solção em, 2 Se tilizar a calcladora em evetais cálclos méricos, sempre qe proceder a arredodametos, se três casas decimais. 5.2. Determie a eqação redzida da recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa = 0 Prova 635.V Págia 0/ 2
6. Um depósito de combstível tem a forma de ma esfera. A Figra 6 e a Figra 7 represetam dois cortes do mesmo depósito, com altras de combstível distitas. Os cortes são feitos por m plao vertical qe passa pelo cetro da esfera. C B O C θ B O θ A A Figra 6 Figra 7 Sabe-se qe: o poto O é o cetro da esfera; a esfera tem 6 metros de diâmetro; a amplitde θ, em radiaos, do arco AB é igal à amplitde do âglo ao cetro AOB correspodete. A altra AC, em metros, do combstível eistete o depósito é dada, em fção de θ, por h, de domíio [, 0 π] Resolva os ites segites, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos. 6.. Mostre qe h() θ =3 3cos() θ, para qalqer θ 0 ], π[ 6.2. Resolva a codição h() θ =3, θ ] 0, π[ Iterprete o resltado obtido o coteto da sitação apresetada. FIM Prova 635.V Págia / 2
COTAÇÕES GRUPO I... (8 5 potos)... 40 potos. 2. GRUPO II..... 5 potos.2.... 5 potos 2..... 5 potos 2.2.... 5 potos 3.... 5 potos 4. 5. 6. 4..... 0 potos 4.2.... 0 potos 4.3.... 5 potos 5..... 5 potos 5.2.... 0 potos 6..... 5 potos 6.2.... 0 potos 60 potos TOTAL... 200 potos Prova 635.V Págia 2/ 2