Universidade Técnica de Lisboa Instituto Superior Técnico Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Tomografia Computorizada Técnicas de Imagiologia Nuno Santos n.º 55746, dodgeps@hotmail.com Rúben Pereira n.º 55754, rubens_dmap@hotmail.com André Gomes n.º 55771, andrefgomes@hotmail.com Lisboa, Abril de 2008 2º Semestre 2007/2008
1. 3D SHEPP-LOGAN PHANTOM Nesta secção pretende-se apenas gerar um objecto tridimensional phantom e representar vários cortes deste. A sua análise é realizada em software MatLab. 1.1. Determinação do tamanho do voxel Através da função phantom3d disponibilizada pelo software utilizado, foram gerados conjuntos de imagens (objecto), que foram representados por uma matriz de dimensão 3 (128x128x128), a que correspondem os três eixos xx, yy e zz. Como pretendido, foram representadas em imagens 2D, cortes axial, coronal e sagital desse mesmo objecto. Para tal, utilizou-se a função reshape de modo a determinar essas projecções. As imagens obtidas estão apresentadas na Figura 1. a) b) c) Figura 1. Projecções a) axial, b) sagital e c) coronal do objecto simulado (phantom3d). O tamanho do voxel da imagem é o tamanho real associado a cada entrada na matriz gerada. Neste caso sabe-se que o tamanho real da imagem, FOV, é de 25.6cm e que cada eixo possui 128 pixéis. Utilizando a equação seguinte.... 1 (1) consegue-se determinar o voxel, sabendo que pixel x, pixel y e pixel z são o número de pixéis associado a cada eixo e FOV x, FOV y e FOV z são os comprimentos da imagem segundo os mesmos eixos. Relativamente aos dados fornecidos e indicados em cima, o tamanho do voxel é de 8mm 3. 2. TAC DE 1ª GERAÇÃO A tomografia axial computorizada é uma técnica imagiológica que permite a
visualização de regiões anatómicas. Relativamente à TAC de 1ª geração, esta difere das gerações seguintes uma vez que para cada imagem, a fonte e o detector necessitam de se deslocar segundo o eixo perpendicular que une os dois (num determinado plano de corte). Isto é necessário, porque a fonte emite um feixe aproximadamente rectilíneo, e portanto não apanha a região de interesse total num único acto. Para efeitos de exercício, consideraou-se então um corte axial do objecto criado na secção anterior, supondo ter sido criado por uma TAC de 1ª geração, tendo o corte uma espessura de 2mm. 2.1. Simulação de projecções Para a criação da imagem final, segundo cada corte, é necessário considerar todas as projecções. Estas são obtidas para vários ângulos de rotação no plano de corte. Em cada ângulo, a aquisição do sinal de raio-x é feita após o deslocamento da fonte e do detector, criando assim a referida projecção. Tendo estes conceitos em conta, pretende-se obter as projecções após deslocamento da fonte e do detector segundo o eixo dos xx (ângulo entre o eixo dos xx e o eixo de projecção é de 0º), e após rotação do plano de projecção de 90 e 180º. Para tal objectivo, recorreu-se a uma função pré-definida radon, que permite obter a transformada de Radon em qualquer ângulo pedido. A transformada de Radon consiste essencialmente em obter a projecção segundo os eixos que fazem um determinado ângulo com o eixo de referência (neste caso o eixo dos xx). A Figura 2 apresenta a representação gráfica das funções projecção pedidas. a) b) c) Figura 2. Gráficos representativos das projecções segundo os eixos que fazem a) 0º, b) 90º e c) 180º com o eixo dos xx. Tendo em conta os gráficos obtidos, é facilmente detectável uma simetria entre os gráficos das projecções em ângulos 0º e 180º, respectivamente a) e c) na Figura 2. Esta simetria, indica que o ângulo mínimo de cobertura de todo um mesmo corte é de 179º, 2
supondo variações unitárias entre os ângulos (de modo geral será o ângulo 180-180/N, em que N é o número de ângulos considerados), uma vez que as projecções segundo os ângulos 180 a 359º podem ser obtidos através das projecções segundo os ângulos 0 a 179º. Observando com mais detalhe os gráficos, nomeadamente os a) e b), e tendo presente a Figura 1 a) (projecção axial), compreende-se, por exemplo, que a figura a) tenha uma banda de ausência de sinal superior à da figura b). O objecto presente na projecção axial apresenta uma forma oval, tendo um menor raio segundo o eixo dos xx (associado à projecção 0º) e um raio maior segundo o eixo dos yy (associado à projecção a 90º). Quanto à intensidade do sinal em si, a da Figura 2 b) é inferior, em geral, relativamente à da a). Este resultado também era esperado, porque os olhos, negros, do objecto ocupam grande parte do eixo dos yy contribuindo para uma diminuição da intensidade. Em contrapartida o nariz do objecto contribui para um aumento do sinal (pixel 100 e pixel 70 nas Figura 2 a) e b), respectivamente). 2.2. Simulação do sinograma O sinograma é um gráfico que relaciona o ângulo de rotação da projecção e a própria projecção. Este pode ser obtido por determinação de todas as projecções nos diferentes ângulos de projecção. Na Figura 3 está representado o sinograma do corte axial presente na Figura 1 a). Figura 3. Sinograma do corte axial da Figura 1 a). Segundo o eixo dos xx estão representados os ângulos entre a projecção e o eixo dos xx, enquanto segundo yy está a projecção (segundo x ). 2.3. Retro projecção Simples e Filtrada A retro projecção é um método de obtenção da imagem a partir das projecções, ou seja, é um processo inverso ao utilizado nas alíneas anteriores. A base teórica principal associada à retro projecção está presente no teorema de corte central (central slice theorem). Este indica que a transformada de Fourier da projecção, em 1D, é igual à 3
transformada de Fourier da função intensidade, em 2D. Assim, através da transformada inversa o método de retro projecção obtém a função intensidade. As retro projecções simples e filtrada diferem do uso de um filtro apropriado. Como os nomes indicam, a simples é aquela que não utiliza um filtro no processo de obtenção da imagem, em contrário, a filtrada usa uma função filtro. No primeiro caso, a retro projecção é feita por integração simples da função projecção ao longo dos diferentes ângulos. Este método induz um esbatimento significativo dos contornos das imagens, como é possível verificar por comparação dos objectos nas Figura 4 a) e c), as imagens obtidas por retro projecção e a inicial, respectivamente. Relativamente à retro projecção filtrada, esta adiciona apenas a função filtro que multiplica com a função projecção. A imagem obtida é significativamente melhor do que a obtida pelo método simples, como é possível comprovar pela comparação entre as imagens das Figura 4 a) e b), método simples e filtrado, respectivamente. a) b) c) Figura 4. Imagens da projecção axial [c)] da Figura 1 a) obtidas por retro projecção a) simples e b) filtrada o filtro usado foi o de Ram-Lak. Para entender melhor as diferenças entre as várias imagens, obtiveram-se as projecções das imagens da Figura 4, segundo o eixo dos xx (ângulo de 0º). Os gráficos destes valores estão representados na Figura 5. A retro projecção simples possui um sinal bastante suave face aos outros e por isso apresenta uma variação lenta, característico do esbatimento dos contornos e da imagem em si. Em contrapartida, o gráfico filtrado é em grande parte semelhante ao da figura original, corroborando a ideia de que o filtro é um objecto importante na retro projecção, demonstrando inclusive bons resultados. 4
a) b) c) Figura 5. Projecções segundo o eixo dos xx, das várias imagens da Figura 4. Cada alínea corresponde respectivamente às alíneas dessa figura. 2.4. Efeito do número de projecções na Imagem Como já foi observado anteriormente, a imagem obtida através dos valores recolhidos das várias projecções é diferente da imagem original, independentemente de ser ou não filtrada. No caso de ser filtrada, a imagem é bastante próxima da original. No entanto, o número de projecções a serem considerados é também um factor em ter em conta, e que influencia a qualidade e resolução da imagem. Na Figura 6 estão representadas imagens referentes às estudadas anteriormente (projecção axial), com diferentes números de ângulos de projecção considerados, nomeadamente 12, 23, 45, 90, 180 e 21 ângulos. Como é possível concluir pela simples observação, quanto menor for o número de projecções consideradas, pior é a resolução da imagem. Foi pedido que fosse determinado o número mínimo de projecções necessários para que o valor da relação sinal/ruído, SNR, fosse superior a 6 (SNR > 6). Assim, foram realizadas algumas tentativas, tendo-se verificado que era necessário um número mínimo de 21 projecções para que tal acontece-se (SNR = 6.0536). 5
Figura 6. Representação das imagens após reconstrução a partir das projecções. Foram considerados, da esquerda e cima para a direita e baixo, 12, 23, 45, 90, 180 e 21 ângulos de projecções. 2.5. Introdução e Minimização de Ruído As imagens provenientes do TAC-CT, como qualquer outro dado experimental, possuem ruído, provenientes de várias fontes. Nesta subsecção pretende-se estudar o efeito do ruído, apenas aleatório, na imagem final visualizada. Para tal, utilizou-se a função imnoise disponibilizada pelo software de modo a criar ruído. Por controlo dos parâmetros a inserir, considerou-se o ruído com distribuição de poisson. Figura 7. Representação das imagens de retro projecção com passo angular de 1º, com e sem ruído 6
linha superior, esquerda e direita respectivamente. Na linha inferior estão relacionadas as projecções em ângulos de 0º, em ambos os casos, na mesma ordem. O sinal obtido por introdução de ruído aleatório, cria uma imagem mais indefinida e menos clara do que a obtida por retro projecção filtrada, considerada na subsecção 2.3, como é possível comparar através da Figura 7, linha superior. Esta indefinição é caracterizada pelo menor valor do SNR. Por comparação das projecções obtidas em ângulos de 0º, Figura 7 linha inferior, é possível observar que as variações do sinal são maiores e mais evidentes, provocando uma diminuição na relação contraste/ruído, CNR. Figura 8. Imagens da projecção axial obtidas através da retro projecção com ruído e filtradas com diferentes filtros. Da esquerda para a direita e de cima para baixo: filtro Hann, Shepp-Logan, Cosine e Hamming. Para minimizar os erros associados ao ruído podem ser utilizados filtros de forma a removê-los. Para tal, a função iradon disponibiliza um meio de alterar o filtro utilizado na transformada de Radon inversa. Com este fim foram utilizados quatro filtros diferentes, para além do utilizado na secção anterior, Ram-Lak, imposto pela função em default. Na Figura 8 estão representadas as imagens resultantes da aplicação dos filtros Hann, Shepp-Logan, Cosine e Hamming. Cada um deles difere apenas no tipo de janela que utiliza aquando da multiplicação pelo filtro Ram-Lak, na equação que define o método de retro projecção. Através de uma visualização menos atenta das imagens dir-se-ia que, independentemente dos quatro filtros mencionados, a imagem obtida não varia muito. No entanto, quando se observa com mais detalhe denotam-se certas diferenças, nomeadamente na própria quantidade de ruído e em contrapartida na focagem. Por comparação, os filtros Hann e Hamming apresentam uma imagem mais desfocada e portanto menos definida do que as outras duas. Em contrapartida, como foi referido, 7
estas apresentam também menor ruído. Os valores de SNR obtidos para as diferentes imagens estão disponíveis na Tabela 1, estando estes de certa forma de acordo com as afirmações referidas anteriormente. Os valores de SNR referentes aos filtros Hann e Hamming possuem uma relação sinal/ruído superiores em comparação com os referentes aos filtros Shepp-Logan e Cosine. Com isto conclui-se que o compromisso definição e ruído está comprometido, na medida em que não se consegue ter melhor definição e menos ruído com um mesmo filtro. Assim, quando um determinado filtro com um maior SNR, filtra o ruído, ou seja, corta as altas frequências do sinal, está também a cortar parte do sinal e daí esse comportamento. Em contrapartida os de menor SNR cortam menos sinal mas também menos ruído. Quando comparadas estas imagens com a apresentada na Figura 7, obtida com filtro Ram-Lak, apercebe-se que esses quatro apresentam imagens de melhor qualidade. Para corroborar esta afirmação apresentam-se uma vez mais as relações sinal/ruído, mostrando assim que a imagem obtida através do filtro Ram-Lak possui um valor inferior do SNR quando comparada com qualquer um dos outros. Tabela 1. Valores da relação sinal/ruído das imagens obtidas através dos diferentes filtros. 3. PET-CT DE 3ª GERAÇÃO Filtro SNR Ram-Lak 6.0536 Hann 20.9297 Shepp-Logan 9.2538 Cosine 14.7961 Hamming 19.0851 Nesta última secção considera-se um PET-CT de 3ª geração com uma distância focal D de 20cm, definida pela distância entre o vértice do feixe (o seu local de origem) e o centro de rotação, e um incremento angular de 1º, ou seja, considera-se uma distância angular entre medições de 1º. 3.1. Simulação da projecção e respectiva imagem reconstruída, obtida por scanner CT O PET-CT de 3ª geração é em tudo semelhante ao da 1ª geração estudado na secção anterior. No entanto possui algumas diferenças a nível de instrumentação, principalmente. Assim, estas concentram-se no facto de não necessitar de efectuar translações para adquirir uma projecção segundo um dado ângulo, uma vez que o feixe de emissão é mais largo que nas gerações anteriores. Utilizando a função fanbeam disponibilizada pelo software utilizado, é possível simular o sinograma obtido aquando da utilização de um PET-CT para aquisição da imagem. Esta função permite definir parâmetros de aquisição como a distância da fonte ao centro de rotação (distância focal), o incremento angular a cada projecção, a geometria segundo a qual estão dispostos os sensores (linear ou circular) e o espaçamento entre os sensores. Posteriormente é possível reconstruir a imagem a partir do seu sinograma com a função ifanbeam, tendo em conta o facto de os parâmetros da reconstrução serem os mesmos da projecção. Tendo por base a Figura 9 a), em que os parâmetros utilizados são os utilizados por default pelo programa, excepto o valor do espaçamento entre os sensores, definido como sendo de 0.5 (para ser feita a comparação com a imagem optimizada), explorou-se o modo como a alteração destes parâmetros influencia a qualidade da imagem obtida 8
mantendo constante a distância focal. Estas alterações podem ser visualizadas por comparação das Figura 9 b), c) e d) com a referida anteriormente. a) b) Figura 9. Simulação de imagens obtidas por projecção e reconstrução da projecção axial (Figura 1 a)) utilizando diferentes parâmetros, nomeadamente, a) considerando a distância focal indicada, 20cm, e o espaçamento entre os sensores de 0.5 (serve de referência aos restantes), b) por duplicação do espaçamento entre os sensores, c) por diminuição do número de projecções adquiridas (aumento do incremento de rotação) e ainda d) considerando a geometria segundo o qual os sensores estão dispostos como sendo linear. Por alteração do valor do espaçamento entre os sensores, Figura 9 b), verificou-se que a imagem obtida se torna mais esbatida do que comparada com a imagem de a), uma vez que a variação entre as regiões daquela é mais atenuada. Fez-se variar depois o ângulo de incremento da rotação do conjunto fonte sensores, Figura 9 c), verificandose que, tal como nas imagens obtidas através de scanner CT de 1ª geração, o aumento do incremento faz aparecer artefactos na imagem reconstruída a partir do sinograma, devido à insuficiência de ângulos de projecção da imagem. Por último, alterando a geometria da disposição dos sensores, de circular para linear, verificou-se que a imagem obtida não se altera, Figura 9 d). 3.2. Duplicação da distância focal c) d) Para simular o efeito da variação da distância focal, duplicou-se o seu valor, tanto na projecção como na reconstrução, Figura 10. Verificou-se que o efeito na imagem obtida é semelhante ao do aumento no espaçamento entre os sensores, Figura 9 b), pois também nesta, a imagem fica mais esbatida e os contornos são suavizados (variação nas fronteiras das regiões é atenuada). No entanto, observando atentamente verificamos que ambos os objectos, apesar de representarem efeitos semelhantes, têm algumas diferenças, nomeadamente ao nível da margem do objecto, onde é observável uma atenuação na transição entre as regiões nas duas imagens mas de forma diferente. 9
Figura 10. Imagem criada de modo semelhante à da Figura 9 a), mas com uma distância focal dupla da outra. 3.3. Simulação de PET scan Nesta última subsecção, pretende-se simular o efeito de um PET scan em que foi introduzida uma solução radioactiva no objecto em estudo, neste caso é o nariz do boneco, com uma actividade de 10uCi. O background da figura foi considerado com uma actividade de 2uCi. Assumiu-se ainda que a perda de tempo morto, assim como as coincidências no detector e leituras aleatórias foram corrigidas. Preenchendo o círculo central da figura com uma solução radioactiva obtém-se uma imagem em que apenas existe contraste entre o local de acumulação da substância e o resto da imagem. Neste caso tentou-se simular este efeito seleccionando apenas a região do círculo central, dando a toda esta zona o valor 18 de intensidade, e a todo o resto da imagem o valor 2, simulando uma atenuação quase nula dos fotões emitidos, mas que mesmo assim ainda contrasta com o exterior do objecto, onde o valor é zero. Esta simulação apresenta uma forma análoga de criar um filtro passa banda, de modo a que apenas a zona onde se acumula a substância radioactiva seja visível, relativamente ao resto da imagem. Figura 11. Imagem obtida por simulação de PET scan. Considera-se que foi introduzida uma solução radioactiva no objecto da Figura 1 a), projecção axial, nomeadamente no círculo mais claro. Desta forma, a zona a branco simula essa zona enquanto que, a zona a cinzento é considerada o background da substância. 10