4. INTEGRAIS 4.1 INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida da função f(x), denotada por f x dx, é toda expressão da forma F(x) + C, em que F (x) = f(x) num dado intervalo [a,b] e C é uma constante arbitrária. A função F(x), cuja derivada equivale a f(x), é denominada primitiva de f(x). Exemplos: 1) dx = x C Como, neste caso, temos f(x) = 1, obviamente a primitiva é F(x) = x, pois F (x) = x = 1 = f(x). 2) x dx = 1 2 x2 C Neste caso f(x) = x, então F(x) = x 2 /2, pois F (x) = (x 2 /2) = x = f(x). 3) x 2 dx = 1 3 x3 C Neste caso f(x) = x 2, então F(x) = x 3 /3, pois F (x) = (x 3 /3) = x 2 = f(x). 4) cos x dx = sen x C Neste caso f(x) = cos x, então F(x) = sen x, pois F (x) = (sen x) = cos x = f(x). 5) sen xdx = cos x C Neste caso f(x) = sen x, então F(x) = cos x, pois F (x) = ( cos x) = ( sen x) = sen x = f(x). 6) dx x = ln x C Neste caso f(x) = 1/x, então F(x) = ln x, pois F (x) = (ln x) = 1/x = f(x). Algumas propriedades de integrais incluem: a) k f x dx = k f x dx, sendo k uma constate real b) [ f x g x ]dx = f x dx g x dx
Exemplos: a) 3 x dx = 3 x dx = 3 2 x2 C b) 7 x 2 3 dx = 7 x 2 dx 3dx = 7 x 2 dx 3 dx = 7 3 x3 3 x C 4.1.1. DIFERENCIAL A diferencial corresponde a uma variação infinitamente pequena de uma dada variável. A diferencial de uma função y = f(x) é dada por dy = f (x) dx. Exemplos: a) se y = x, então dy = x dx = 1dx = dx b) se y = x 3, então dy = (x 3 ) dx = 3x 2 dx c) se y = cos x, então dy = (cos x) dx = sen x dx Importante: Para obter uma integral pode ser conveniente efetuar uma mudança de variável, ao que será necessário determinar sua diferencial. Determine a integral indefinida cos x sen x dx. Se definirmos uma nova variável y = sen x, decorre que sua diferencial será dy = (sen x) dx = cos x dx Se substituirmos y e dy obtidos na expressão da integral em x, teremos cos x sen x dx = y dy Assim, com a mudança de variável passamos de uma integral em x, mais difícil de resolver, para uma integral em y, que é trivial, pois y dy = 1 2 y2 C Substituindo y = sen x na primitiva encontrada, temos cos x sen x dx = 1 2 sen2 x C
4.2. INTEGRAÇÃO POR PARTES Certas integrais podem ser simplificadas com o auxílio da seguinte identidade: u dv = uv v du Eventualmente, o lado direito dessa identidade, uv v du, é mais facilmente obtida do que a integral u dv que se quer resolver. Para isso, devemos definir convenientemente a variável u e a diferencial dv e determinar a variável v e a diferencial du. Esse procedimento se denomina integração por partes. Determine x cos x dx por meio da integração por partes. Note que para esta integral é difícil adivinhar a primitiva, de modo que é conveniente tentar a integração por partes. Primeiramente, devemos definir u e dv para a integral. A diferencial dv deverá conter, necessariamente, a diferencial dx. Podemos escolher, por exemplo, u = x e dv = cos x dx. Determinamos agora v e du. Como u = x, segue que du = f x dx = x dx = dx Integrando dv = cos x dx em ambos os lados, dv = cos x dx, temos v = sen x (as constantes de integração de lado a lado são iguais, por isso as ignoramos) Substituindo u, v, du e dv na fórmula da integração por partes chegamos a x cos x dx = x sen x sen x dx Como sen xdx = cos x C, temos x cos x dx = x sen x cos x C
que é a resposta buscada. Note que, se derivarmos a primitiva, consistentemente obtemos o integrando: x sen x cos x = x cos x 4.3. INTEGRAL DEFINIDA A integral definida de f(x) é definida num intervalo [a,b] da função e é determinada pela Fórmula de Newton-Leibniz: a b f x dx = F b F a, em que F(b) e F(a) são os valores da primitiva de f(x) nos limites a e b do intervalo. A integral definida tem uma interpretação geométrica: equivale ao valor da área debaixo do gráfico da função de f(x) (e acima do eixo x) entre a e b. Determine a integral definida 2 xdx. A integral indefinida nos dá a primitiva de f(x) = x : x dx= 1 2 x2 C, ou seja, F(x) = x 2 /2. Logo, temos 2 xdx = 1 2 2 2 1 2 1 2 = 2 1 2 = 1 2 4.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS (INTEGRAIS ENVOLVENDO O INFINITO) Integrais definidas em que um ou ambos os limites de integração tendem ao infinito não podem ser resolvidas por meio da Fórmula de Newton-Leibniz, visto que esta requer o cálculo da primitiva em valores determinados. Tais integrais são chamadas integrais impróprias. Para determiná-las, empregamos, por exemplo, a seguinte identidade: a f x dx = lim b ab f x dx, supondo que f(x) seja integrável no intervalo [a,+infinito). Isto é, determinamos primeiro o valor da integral definida para um limite genérico representado por uma variável e então tomamos o limite para essa variável tendendo ao infinito. Do mesmo modo, são verdadeiras as identidades
b f x dx = lim a ab f x dx, supondo que f(x) seja integrável no intervalo ( infinito,b], e b f x dx = lim a a f x dx lim b ab f x dx, supondo que f(x) seja integrável no intervalo ( infinito,+infinito). Determine o valor da integral imprópria x 2. O valor da integral será dado por x = lim b dx 2 1 b x 2 Primeiramente determinamos a integral indefinida associada pois precisamos da primitiva: dx x 2 = 1 x C Assim, para a integral definida teremos (empregando a Fórmula de Newton- Leibniz): dx b x = 1 2 b 1 1 = 1 1 b ; note que esta expressão depende da variável temporária b. Por fim, determinamos o limite: dx lim b b x = lim 2 b 1 1 b = 1 Portanto, x 2 = 1