Lista de Exercícios de Cálculo Sétima Semana Parte A. Use os multiplicados de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita as restrições dadas. (a) f(x, y) = x 2 + y 2 s.a. xy = (b) f(x, y) = e xy s.a. x + y = 6 (c) g(x, y, z) = xyz s.a. x 2 + 2y 2 + y 2 = 6 (d) g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 s.a. x 4 + y 4 + z 4 = 2. Calcule as integrais duplas abaixo. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) ˆ ˆ x ˆ 4 ˆ y ˆ ˆ dyxy ˆ π/2 ˆ π/2 ˆ π ˆ y2 π/2 ˆ 2 ˆ 2x x R ˆ 8 ˆ 2 9 + y2 dxdy x y dydx sin cos(x + y)dydx ( ) x dxdy y e x+y dydx (y 2x 2 )da, em que R é a região limitada pelo triângulo x + y = x y 4 + dydx. Esboce o domínio e inverta a ordem de integração. (a) (b) (c) (d) ˆ ˆ x ˆ ˆ 2 x 2 x 2 ˆ ˆ x 2 ˆ ˆ ex f(x, y)dydx f(x, y)dydx x 2 f(x, y)dydx e x f(x, y)dydx
(e) (f) ˆ π/4 ˆ tan(x) ˆ π/4 ˆ cos(x) sin(x) f(x, y)dydx f(x, y)dydx 4. Mude a integral cartesiana para coordenadas polares e resolva a integral polar. (a) ˆ ˆ x 2 2 + x 2 + y 2 dydx (b) (c) (d) ˆ ln 2 ˆ (ln 2) 2 y 2 ˆ ˆ (x 2 + y 2 )dydx ˆ 2 ˆ (x ) 2 e x 2 +y 2 dxdy x + y x 2 + y 2 dydx 5. Encontre o volume entre as superfícies Parte B (a) z = x 2 y 2 e z = (b) z = x 2 y 2 e z = x 4 y 4 (c) z = e λx, z =, y = e y = x 2 (d) x 2 + y 2 + z 2 = e z = x 2 y 2. (a) Mostre que o valor máximo da função a 2 b 2 c 2 na esfera de raio r centrada na origem do sistema cartesiano abc é (r 2 /). (b) Usando a parte (a), verifique que para números não negativos a, b e c, (abc) / a + b + c, ou seja, a média geométrica de três números não negativos é sempre menor ou igual que a média aritmética. 2. Uma empresa que produz refrigerantes vende-os em latinhas cilíndricas de raio a e altura h. (a) Determine o valor de a e h capazes de armazenar 55ml de líquido envoltos pela menor superfície possível. (b) Compare estes resultados com os valores de uma latinha real. (c) Quais seriam as dimensões da latinha se a forma da mesma fosse um paralelepípedo de lados a,b e altura h?. Um aluno de Cálculo realiza três provas durante o semestre, mas possui um tempo limitado para estudar e fazer os exercícios. Considere que a nota de cada prova do aluno seja dada em função da quantidade de exercícios que o mesmo realiza e é dada pela fórmula N i (x i ) = ( e λixi), em que x i é o número de exercícios feitos com a matéria da i-ésima prova e λ i é uma constante que mede a dificuldade da mesma. Suponha que a primeira prova seja a mais fácil, com λ = 2λ e λ 2 = λ = λ. (a) Calcule quantos exercícios devem ser feitos com a matéria de cada prova para obter a maior menção final se o aluno puder fazer apenas 5 exercícios ao longo do semestre, sabendo que a menção é calculada como sendo a média aritmética das notas de cada prova. (b) Substitua λ =, 5 e calcule os valores de x, x 2 e x que resultam na maior menção final e as notas obtidas em cada uma das provas. 2
4. As superfícies de Bézier são definidas parametricamente pela equação S(x, y) = n r= s= m Br n (x)bs n (y)p rs, onde u, v são parâmetros em um quadrado de lado, p rs são os chamados pontos de controle e B n r (u) = n! r! (n r)! ur ( u) n r. Os pontos p, p m, p n e p nm determinam os vértices da superfície e os outros pontos determinam direções para onde a superfície é deformada. Considere uma das superfícies de Bézier mais simples que existe, dada por m = n =. Sejam os pontos de controle p = (,, z ), p = (,, z 2 ), p = (,, z ) e p = (,, z 4 ). (a) Escreva a superfície de Bézier S(x, y) como uma função z = S(x, y). [Observe que S(x, y) é um vetor!] (b) Calcule o volume sob a superfície de Bézier mencionada. 5. Mostre que o centróide de um triângulo que possui um vértice na origem e os lados definidos pelos vetores u e v é r cm = (u + v). 6. Utilizando o resultado anterior mostre que o centróide de um polígono de N lados que contém a origem, cujos vértices são dados por v,..., v N, é r cm = N i= v i v i+ (v i + v i+ ) N i= v. i v i+ 7. Mostre que o momento de inércia de um triângulo uniforme de massa M, rodando em torno de um eixo perpendicular ao plano sobre a origem é I = M 6 ( u 2 + u v + v 2), onde u e v são os vetores que ligam a origem aos outros dois vértices. 8. Utilizando o resultado anterior, mostre que o momento de inércia de um polígono arbitrário de massa M que contém a origem, rodando em um eixo perpendicular ao plano sobre a origem é I = M 6 N i= v i v i+ ( v i 2 + v i v i+ + v i+ 2) N i= v, i v i+ onde os vetores v i representam a posição de cada vértice do polígono. 9. Determine o momento de inércia de um quadrado de massa M, rodando em torno de seu centro (a) calculando diretamente a integral e (b) utilizando a fórmula do exercício anterior. Parte C. Seja I o momento de inércia de um corpo de massa M com relação a um eixo arbitrário. Mostre que o momento de inércia com relação a um eixo paralelo a este é I = I + 2d d cm + Md 2, onde d é o vetor de separação entre os dois eixos e d cm fornece a separação entre o centro de massa e o primeiro eixo de rotação. No caso especial em que d cm = (o primeiro eixo de rotação passa pelo centro de massa), este resultado é conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos.
2. Use os multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo de maior área que tem um perímetro p dado é um quadrado.. Use os multiplicadores de Lagrange para provar que o triângulo de maior área que tem um perímetro p dado é equilátero. Dica: use a fórmula de Heron para a área A = s(s x)(s y)(s z) em que s = p/2 e x, y, z são os comprimentos dos lados. 4
Resumo do Conteúdo Multiplicadores de Lagrange: usado para determinar o extremo de uma determinada função diferenciável F (r) restrita a uma condição G(r) = (também diferenciável), em que r é um ponto no plano ou espaço. Para encontrar os extremos de F sujeito a G = eé necessário encontrar o vetor r e a constante λ que satisfazem o sistema F (r) = λ G(r) e G(r) =. Transformação para Coordenadas Polares: em algumas situações é mais interessante utilizar a mudança de variáveis x = r cos θ e y = r sin θ para o cálculo de uma determinada integral. Tal mudança transforma círculos de raio r centrados na origem em retângulos r r e θ 2π. Nessa mudança de coordenadas o Jacobiano é dado por J = r. Finalmente, ˆ b ˆ g(x) a f(x) h(x, y)dydx = ˆ β ˆ r2(θ) α r (θ) h(r cos θ, r sin θ)rdrdθ. Centróide: centro geométrico de uma região plana R. As coordenadas do centróide são dadas por x = xda e ȳ = yda. A R A R Centro de Massa: é o ponto (x cm, y cm ) que de forma hipotética se concentra toda a massa de um determinado corpo de densidade δ(x, y). O centro de massa não necessariamente coincide com o centróide do corpo. As coordenadas do centro de massa para uma placa delimitada pela região R são dadas por x cm = xδ(x, y)da e y cm = yδ(x, y)da. A R A R Momento de Inércia: quantifica o quão difícil é alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Para uma placa fina no plano de densidade δ(x, y) delimitada pela região R, definimos os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados x e y, respectivamente, como I x = y 2 δ(x, y)da e I y = x 2 δ(x, y)da. R Em torno de uma linha L qualquer o momento de inércia é definido como sendo I L = r 2 δ(x, y)da, em que r = r(x, y) representa a distância do ponto (x, y) a reta L. R R 5
Gabarito Parte A. Respostas (a) (, ) e (, ) mínimos (b) (2, 2) máximo (c) ( 2,, 2/), ( 2,, 2/), ( 2,, 2/), ( 2,, 2/) máximos e ( 2,, 2/), ( 2,, 2/), ( 2,, 2/), ( 2,, 2/) mínimos (d) (±/ 4, ±/ 4, ±/ 4 ) máximos e (±,, ), (, ±, ), (,, ±) mínimos 2. Respostas (a) /2 (b) 98/ (c) / (d) (e) + π/2 + π 2 /8 (f) 6 ( e4 + 2e 6 ) (g) 2/ (h) ln(7)/4. Respostas (a) (b) (c) (d) (e) (f) ˆ ˆ y ˆ ˆ y y ˆ ˆ y 2 f(x, y)dxdy ˆ ˆ ln(y)+ /e ˆ ˆ f(x, y)dxdy + y 2 f(x, y)dxdy arctan(y) ˆ 2/2 ˆ arcsin(y) ˆ 2 ˆ 2 y 2 f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 2 y 2 f(x, y)dxdy ˆ e ˆ ln(y) ˆ f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 2/2 ˆ arccos(y) f(x, y)dxdy 4. Respostas (a) π π ln(2) (b) π(ln 4 ) (c) 2/ (d) + π/2 5. Respostas (a) π/2 6
(b) π/2 2 (c) (4λ cosh(λ) 4 sinh(λ))/λ (d) 7π/6 Parte B. (a) O problema é maximizar a função restrista a esfera F (a, b, c) = a 2 b 2 c 2 G(a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2 r 2. Pelo teorema dos multiplicadores de Lagrande é preciso determinar a, b, c e λ tal que F = λ G 2ab2 c 2 2a 2 bc 2 = λ 2a 2b 2a 2 b 2 c 2b b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 = λ Se a, b, c. Desta forma, temos que a = b = c. Substituindo em G, então Finalmente, o máximo é dado por. a 2 = r 2 a 2 = r 2 /. F (a, a, a) = (r 2 /). (b) Faça agora, u = a 2, v = b 2 e w = c 2, então, como o maior valor assumido pela função é dado por (r 2 /), temos ( ) r a 2 b 2 c 2 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ) u + v + w = uvw = =. Portanto, (uvw) / u + v + w. 2. (a) r = 55/2π e h = 2 55/2π; (c) a = b = h = 55. (a) x = (5 + 2λ ) 5 ln 2 e x 2 = x = 2 ( 5 ) 5 2λ ln 2 4. (a) S(x, y) = ( x)( y)z + ( x)yz 2 + x( y)z + xyz 4 ; (b) V = 4 (z + z 2 + z + z 4 ). 5. Considere os vetores u = (a, b) e v = (c, d) como na figura abaixo. y u = (a,b) v = (c,d) x 7
A coordenada x do centróide é dada por x = xda, A T T em que A T é a área do triângulo e T é o triângulo formado pelos dois vetores no plano, como na figura. A área do triângulo formado pelos vetores u e v é dada por A T = v u 2 = bc ad (pela regra da mão direita v u está no sentido positivo). 2 Agora é necessário o cálculo da integral do primeiro momento que é dada por T x da = ˆ a ˆ b a x = a2 (bc ad) c x dydx + d c x ˆ c ˆ d b c a (x a)+b a d c x + (d b) ( c 2 + ac + a 2) x dydx + (bc ad)(c2 + ac) 2 = bc2 + abc acd a 2 d (muitas manipulações algébricas depois) 6 (a + c)(bc ad) =. 6 Finalmente, a coordenada x do centróide é dada por x = (a + c)(bc ad) = a + c bc ad, pois bc ad >. De forma análoga, se obtém o primeiro momento em y que é dado por Portanto, o centróide é dado por T y da = = ˆ a ˆ b a x y dydx + d c x (b + d)(bc ad). 6 ˆ c ˆ d b c a (x a)+b a d c x r cm = v u (u + v) = (u + v). v u y dydx d(c a ) c 6. Dividindo o polígono em N triângulos T i com um vértice na origem, temos que a área do polígono é dada por A P = 2 N i= v i v i+ = soma das áreas de cada triângulo. Sendo r = (x, y), então a integral do primeiro momento é dada por M P = r da = = 6 P N Finalmente, o centróide do polígono é dado por r cm = M P A P = i= N i= N T i r da v i v i+ (v i + v i+ ). i= v i v i+ (v i + v i+ ) N i= v. i v i+ 8
7. Análogo ao exercício 6 8. Análogo ao exercício 7 9. 2Ma 2 / Parte C. Temos que maximizar a função restrista a condição F (x, y, z) = s(s x)(s y)(s z) G(x, y, z) = x + y + z p. Pelo teorema dos multiplicadores de Lagrande é preciso encontrar x, y, z e λ tal que F = λ G s(s y)(s z) s(s x)(s z) = λ. s(s x)(s y) Supondo que x, y, z p/2. Então, dividindo a primeira equação pela segunda, temos que x = y e a segunda pela terceira, temos que y = z. Portanto, os lados são iguais e o triângulo é equilátero. 9