1. Limite Definição: o limite de uma função f(x) quando seu argumento x tende a x0 é o valor L para o qual a função se aproxima quando x se aproxima de x0 (note que a função não precisa estar definida em x 0 ). Se f(x) está definida em x 0 e seu gráfico não apresenta descontinuidades nem oscilações muito fortes, é natural escrever lim f(x) = L f(x 0 ) x x 0 Ou seja, o limite é igual ao valor da função em x 0. Exemplos: 1.1) Calcule lim x 1 x 2 + 2 Queremos saber o valor de f(x) = x 2 + 2 quando x tende a 1. Como essa função é sempre contínua, então basta substituir a variável x: lim x 1 x2 + 2 = (1) 2 + 2 = 3 1.2) Calcule lim x 1 + 4x 3 7x 2 + 7x + 1 Como no exemplo 1.1, a função é contínua. A diferença é que se pede o valor do limite quando x tente a 1 pela direita. Nesse caso só precisamos substituir a variável x: lim x 1 + 4x3 7x 2 + 7x + 1 = 4(1) 7(1) + 7(1) + 1 = 5 1.3) Calcule lim x 0 x 2 x x Nesse tipo de função, tente simplificar! x 2 x x(x 1) lim = lim = lim x 1 = 0 1 = 1 x 0 x x 0 x x 0 Em alguns casos, no entanto, a função não é bem definida e pode haver problemas sérios. Se você fizer uma tabela com os valores da função acima, apesar da função não estar definida para x = 0, dá para desconfiar que à medida que nos aproximamos de x = 0.
Para lidar com situações como essa criou-se uma definição de limite onde o que acontece exatamente no ponto em que se deseja calcular o limite não é importante. Importa apenas o que ocorre nas vizinhanças desse ponto. Isso permite o cancelamento dos fatores comuns no numerador e no denominador como acabamos de fazer. 1.4) Calcule lim t 0 1 t A função é descontínua em t = 0. Mas olhe nas vizinhanças desse ponto. Quando t tende a 0 à esquerda, acontece que E quando t tende a 0 à direita 1 lim t 0 t = 1 lim t 0 + t = + Por que? Faça um gráfico de f(t) e verá que isso é verdade! 1.5) Seja função +1 para x > 1 f(x) = { 1 para x < 1 Que pode ser representada no gráfico abaixo: Quando x tende a 1 o limite é claramente indefinido. Mas se aproximarmos a x = 1 tendendo à esquerda temos que f(x) tende a f(1) = -1; e se x = 1 tendendo à direita temos que f(1) = +1.
2. Derivadas Tecnicamente, a derivada de uma função não passa de um caso especial de limite. A velocidade instantânea (que é a derivada da posição em relação ao tempo) corresponde ao limite da velocidade média para um intervalo de tempo muito pequeno (que tende a se anular). Para calcular a derivada de uma função f(x) num certo ponto x0, nós inicialmente damos um acréscimo x em x0 e calculamos a diferença E a razão f = f(x 0 + x) f(x 0 ) Δf Δx = f(x 0 + x) f(x 0 ) x A derivada no ponto x0 é dada pelo limite dx = f = lim x 0 f x = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) x Fazendo o limite acima, temos a relação das derivadas mais comuns: Tabela 2.1: Algumas derivadas fundamentais f(x) constante x n sen x cos x e x dx zero nx n 1 cos x -sen x e x ln x 1/x Relacionando algumas propriedades, que simplificam o cálculo das derivadas: a) Dada a função f(x) = cg(x), onde c é uma constante e g(x) é outra função, temos dg = c dx dx
b) Dada a função f(x) = af 1 (x) + bf 2 (x), onde f 1 (x) e f 2 (x) são funções e a e b são constantes, temos dx = a 1 dx + b 2 dx c) Dado o produto de funções, f(x) = f 1 (x) f 2 (x), temos dx = 1 dx f 2 + f 2 1 dx d) Dado o quociente de duas funções, f(x) = f 1 (x)/f 2 (x), temos dx = 1 f 2 2 [ 1 dx f 2 f 1 2 dx ] e) Muitas vezes temos que calcular a derivada de uma função de função. Vamos considerar a função f = f(g), onde g = g(x). A derivada é dada pela regra da cadeira, Exemplos: dx = dg dg dx 2.1) Calcule a derivada de f(x) = Ax 5 + Bx 2 + C, sendo A, B e C números reais. Lembrando a Tabela 1 e as propriedades (a) e (b): dx = 5Ax4 + 2Bx 2.2) Agora calcule a derivada de g(x) = (Ax 5 + Bx 2 + C) 2 Se você observar, g(x) = [f(x)] 2. Logo, podemos usar a regra da cadeia: dg dx = dg dx Recomendo fazer por partes aqui, para não se perder! Então, dg = 2f(x) = 2(Ax5 + Bx 2 + C) dx = 5Ax4 + 2Bx dg dx = 2(Ax5 + Bx 2 + C)(5Ax 4 + 2Bx)
2.3) Calcule a derivada de h(t) = (t + 1) 2 (t 2 + 2t) 3 Basta fazer h(t) = h 1 (t)h 2 (t), com h 1 (t) = (t + 1) 2 e h 2 (t) = (t 2 + 2t) 3. Lembrando a propriedade (c) e a regra da cadeia Então, De onde obtemos dh dx = dh 1 dx h 2 + h dh 2 1 dx dh 1 dx = 2(t + 1) dh 2 dx = 3(t2 + 2t) 4 (2t + 2) dh dx = 2(t + 1)(t2 + 2t) 3 + (t + 1) 2 [ 3(t 2 + 2t) 4 (2t + 2)] 2.4) Derive p(θ) = 3sen(2θ) Se fizermos k(θ) = 2θ, ou seja, p(k) = 3sen(k), então podemos usar a regra da cadeia: Fazendo por partes: Logo, dp dθ = dp dk dk dθ dp = 3cos(k) = 3cos (2θ) dk dk dθ = 2 dp = 6cos (2θ) dθ Definição: Seja f definida em um intervalo e sejam x 1 e x 2 pontos do intervalo - f é crescente no intervalo se f(x 1 ) < f(x 2 ) para x 1 < x 2 - f é decrescente no intervalo se f(x 1 ) > f(x 2 ) para x 1 < x 2 - f é constante no intervalo se f(x 1 ) = f(x 2 ) para todos pontos x 1 e x 2
Pensando em derivadas, sendo f função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b): - Se f (x) > 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a, b] - Se f (x) < 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a, b] - Se f (x) = 0 para todo valor de x em (a, b), então f é constante em [a, b] Exemplo: 2.5) Ache os intervalos nos quais a função f(x) = x 2 4x + 3 são crescentes ou decrescentes. Se derivarmos a função: Tem- se que f (x) < 0 se < x < 2 f (x) > 0 se 2 < x < + dx = f = 2x 4 = 2(x 2) Como f é contínua em x = 2, então f é decrescente em (-, 2] e f é crescente em [2, + ). Definição: Se f for diferenciável em um intervalo aberto I, então f é classificada como sendo côncava para cima se f for crescente em I, e côncava para baixo se f for decrescente em I. Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I: Exemplo: - Se f (x) > 0 em I, então f tem a concavidade para cima em I. - Se f (x) < 0 em I, então f tem a concavidade para baixo em I. 2.6) Ache os intervalos abertos nos quais a função f(x) = x 3 3x 2 + 1 tem a concavidade para cima e para baixo: Calcule as duas primeiras derivadas: f = dx = 3x2 6x
f = d2 f = 6x 6 = 6(x 1) dx2 Como f (x) > 0 se x > 1 e f (x) < 0 se x < 1, concluímos que - f é côncava para cima em (1, + ) - f é côncava para baixo em (-, 1) Experimente fazer o gráfico! Definição: Uma função f se diz ter um máximo relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo x 0, no qual f(x 0 ) é o maior valor, isto é, f(x 0 ) f(x) para todo x no intervalo. Analogamente, se diz que f tem um mínimo relativo em x 0 se houver um intervalo aberto contendo x 0, no qual f(x 0 ) é o menos valor, isto é, f(x 0 ) f(x) para todo x no intervalo. Quando f tiver um máximo ou um mínimo relativo em x0, se diz que f tem um extremo relativo em x 0. Se uma função f tiver extremos relativos, então eles ocorrem ou em pontos onde f (x) = 0 ou em pontos onde não se pode derivar (como em picos ou onde a função não é contínua). O ponto onde f (x) = 0 é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário. Há um teste para extremos relativos chamado Teste da Derivada Segunda. Baseia-se na observação geométrica de que, num máximo relativo, a função f é côncava para baixo num intervalo aberto, contendo o ponto critico de f, enquanto que, num mínimo relativo, ela é côncava para cima. Supondo que f seja duas vezes diferenciável em um ponto de x 0. Exemplos: - Se f (x 0 ) = 0 e f (x 0 ) > 0, então f tem um x 0 um mínimo relativo. - Se f (x 0 ) = 0 e f (x 0 ) < 0, então f tem um x 0 um máximo relativo. - Se f (x 0 ) = 0 e f (x 0 ) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo ou nenhum dos dois em x 0. 2.7) Localize os extremos relativos de f(x) = x 4 2x 2. Fazendo as duas primeiras derivadas: f = dx = 4x3 4x = 4x(x 1)(x + 1) f = d2 f dx 2 = 12x2 4
Resolvendo f (x) = 0 resulta que os pontos críticos são x = 0, x = 1 e x = -1. Calculando nestes f, temos f (0) = 4 < 0 f (1) = 8 > 0 f ( 1) = 8 > 0 Logo, há um máximo relativo em x = 0 e mínimos relativos em x = 1 e x = -1. Faça o gráfico de f para provar! 2.8) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m, cuja área é a maior possível. Sejam Então A = xy. x = comprimento do retângulo (m) y = largura do retângulo (m) A = área do retângulo (m 2 ) Como o perímetro do retângulo é 100 m, as variáveis x e y estão relacionadas pela equação 2x + 2y = 100 ou y = 50 x Combinando as duas equações acima, temos A = x(50 x) = 50x x2 Como x representa um comprimento, este não pode ser negativo e como os dois lados de comprimento x não podem ter um comprimento combinado que ultrapasse o perímetro de 100 m, então a variável x está restrita ao intervalo 0 x 50. Assim sendo, o problema ficou reduzido a encontrar o valor (ou valores) de x em [0, 50] para os quais A é máxima. Como A é um polinômio em x, é continua em [0, 50] e o máximo ocorre nos extremos deste intervalo ou em um ponto critico. Derivando Se fizermos da/dx = 0 obtemos 50 2x = 0 x = 25 da = 50 2x dx
Quando x = 25 m e y = 25 m, temos o comprimento e a largura que resultam na área máxima A = 625 m2.
3. Vetores Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do sentido. Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. Nessa apostila, os vetores estão negrito. Quando for escrever, nunca se esqueça de colocar flechinha em cima da letra! A soma de dois vetores A e B é determinada da seguinte forma: - tome um segmento orientado que representa A; - tome um segmento orientado que representa, com origem na extremidade de A; - o vetor A + B é representado pelo segmento orientado que vai da origem de A até a extremidade de B. B A A B Da figura acima, deduz-se que a soma de vetores é comutativa, ou seja, A + B = B +A. Definimos a diferença B menos A, por B A = B + (-A). Assim, a diferença A B é um vetor que somado a B dá A, portanto ele vai da extremidade de B até a extremidade de A, desde que A e B estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem. A -B A -B B A soma de dois vetores A = (a 1, a 2 ) e B = (b 1, b 2 ) é dada por A + B = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 )
A multiplicação de um vetor V por um escalar α, αv, é determinada pelo vetor que possui as seguintes características: (a) é o vetor nulo, se α = 0 ou V = 0, (b) caso contrário, - tem comprimento α vezes o comprimento de V, - a direção é a mesma de V (neste caso, dizemos que eles são paralelos), - tem o mesmo sentido de V, se α > 0 e tem o sentido contrário ao de V, se α < 0. A multiplicação de um vetor V = (v1, v2) por um escalar α é dada por Exemplo: αv = (αv 1, αv 2 ) 3.1) Se A = (1, -2, 3), B = (2, 4, -1), calcule A + B e C = 3A A + B = (1 + 2, -2 + 4, 3 + (-1) = (3, 2, 2) Como α = 3, temos C = 3A = (3(1), 3(-2), 3(3)) = (3, -6, 9) O comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor V também é chamado de norma de V e é denotado(a) por V. Pelo Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor pode ser calculada usando as suas componentes, por V = v 2 2 1 + v 2 No caso em que V = (v1, v2) é um vetor no plano (duas dimensões), e por V = v 2 1 + v 2 2 2 + v 3 No caso em que V = (v1, v2, v3) é um vetor no espaço (três dimensões). Um vetor de norma igual a 1 é chamado de vetor unitário. Dado um vetor V não nulo, o vetor é um vetor unitário na direção V, pois U = ( 1 V ) V U = 1 V V = 1
Exemplo: 3.2) Um vetor unitário na direção do vetor V = (1, -2, 3) é o vetor U = ( 1 V ) V = ( 1 1 ) (1, 2, 3) = ( 14 14, 2 14, 3 14 )