OSCILAÇÕES FORÇADAS Mecânica II (FIS-6) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 3 de abril de 013
Roteiro 1 Forçadas
Roteiro 1
Resultado M: 66 DP: 0 Conceito N L 3 MB 4 B 7 R 3 I 1 D 5
Roteiro Forçadas 1 Forçadas
Introdução Forçadas Vamos estudar agora o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa F (t). Estudaremos dois casos para F (t): F (t) = F 0 degrau de amplitude F 0 F (t) = F 0 sin wt O primeiro caso é bastante simples de ser analisado, mas tem uma importância capital em projetos de controladores. No segundo caso a força externa é periódica com frequência angular w, que pode coincidir ou não com a frequência natural do próprio oscilador. A EDO de um oscilador forçado é: Mẍ + ρẋ + kx = F (t) EDOL não homogênea de a ordem.
Resposta a forçantes senoidais Forçadas F (t) = F 0 sin(wt)
Exemplo Forçadas O ventilador tem uma massa de 5,0 kg e está fixo à extremidade de uma viga horizontal que tem uma massa desprezível. A pá do ventilador está montada excentricamente no eixo de tal maneira que ela é equivalente a uma massa desequilibrada de 3,50 kg localizada a 100 mm do eixo de rotação. Se a deflexão estática da viga é de 50,0 mm, como resultado do peso do ventilador, determine a amplitude da vibração de estado estacionário do ventilador se a velocidade angular da pá do ventilador é 10,0 rad/s.
Solução Forçadas Solução: Podemos substituir a viga por uma mola. Se a deformação estática é 50,0 mm, então kx e = Mg k = Mg = 4950 N/m. O ventilador desequilibrado x e corresponde a uma massa de 3,50 kg a 100 mm do eixo F = mw r. Isto faz com que a reação normal da viga varie com o tempo da forma N = N 0 + F sin wt. Assim o sistema massa-mola (na verdade, ventilador-viga) é excitado por uma força senoidal. Sua amplitude de vibração, em regime, é: sendo G(s) = X = F G(iw) 1 Ms + k. Logo: X = X = 14,6 mm mw r k Mw
Exemplo Forçadas O motor elétrico de 30,0 kg mostrado na figura seguinte é suportado por 4 molas, cada uma com elasticidade de 00 N/m. Se o rotor é desequilibrado de tal maneira que seu efeito é equivalente a 4,00 kg de massa localizados a 60,0 mm do eixo de rotação, determine a amplitude de vibração quando o rotor está girando a w 0 = 10,0 rad/s. O fator de amortecimento é c = 0,150. c cr
Solução Forçadas O motor desequilibrado é modelado por uma massa de m = 4,00kg a r = 60,0mm do eixo de rotação. Isto corresponde a uma força F 0 = mw r. Logo, a normal que o motor troca com a plataforma é: N = N 0 + F 0 sin(wt) A excitação senoidal causa, em regime, uma deformação com amplitude: X = F 0 G(iw) 1 G(s) = Ms + cs + 4k Como c cr = 16kM = 309,84 Ns/m c = 46,48 Ns/m 1 G(iw) = 4k Mw + icw = 1 G(iw) = 4,448 10 4 00 + 464,8i Como F 0 = 4N, X = 10,7mm
Ressonância Forçadas Consideremos um oscilador excitado por uma perturbação periódica de frequência angular w. A resposta do oscilador é periódica com frequência angular w e com amplitude igual: A = F 0 (k Mw ) + (ρw) A questão que levantamos é: para qual valor de w, o oscilador vibra com amplitude máxima? Para responder a esta questão devemos minimizar o denominador, o que ocorre para w r = w 0 1 γ w0 = w 0 1 1 Q sendo Q = ω 0 γ
Ressonância Forçadas Esta é a frequência angular de ressonância. As curvas de A(w) apresentam um pico neste valor, pico este que é tão mais estreito quanto menor γ (maior for o fator de qualidade). O valor w r é conhecido como frequência de ressonância de amplitude. É possível ocorrer ressonância na velocidade mas para um valor de w diferente de w r. Vejamos: em regime: ẋ(t) = A(w)w cos(wt + θ) Logo, a velocidade (em regime permanente) varia senoidalmente no tempo com amplitude F 0 w (k Mw ) + (ρw) Fazendo a maximização encontramos w = w 0
Forçadas Equação de movimento: { Mẍ 1 = kx 1 qx 1 + qx Mẍ = kx + qx 1 qx sendo w 0 = k M e w 1 = q M : { ẍ 1 = (w 0 + w 1)x 1 + w 1x ẍ = w 1x (w 0 + w 1)x
Seja a matriz: X = [ x1 x Ẍ = AX, sendo A = Forçadas ]. O sistema pode ser reescrito como: [ (w 0 + w1) w1 w1 (w0 + w1) Fazendo uma mudança de variáveis da forma X = MY MŸ = AMY Ÿ = (M 1 AM)Y De todas as matrizes M que podemos escolher, é conveniente tomar aquelas que tornam diagonal M 1 AM, ou seja, estamos encarando um problema de autovetores. Autovalor de A: w 0 e autovetor associado [ 1 1 Autovalor de A: w 0 w 1 e autovetor associado ] ] [ 1 1 ]
Forçadas [ ] 1 1 Tomamos M = e definimos 1 1 [ ] [ ] u Y = = M 1 x1 v x [ ] [ ü w Assim: Ÿ = = 0 0 v 0 w0 w1 ou seja, { ü = w0u v = (w 0 w 1)v ] [ u v que são duas equações de MHS desacopladas e admitem as soluções gerais: { u = A 1 sin(w 0 t + φ 1 ) v = A sin(w t + φ ) sendo w = ] w 0 w 1
Forçadas Voltando às coordenadas x 1 e x : { x 1 (t) = u(t) + v(t) x (t) = u(t) v(t) As 4 constantes arbitrárias (A 1, A, φ 1, φ ) devem ser determinadas pelas condições iniciais. As soluções não correspondem, em geral, a um MHS para x 1 e x. Entretanto, há duas coordenadas u e v, combinações lineares de x 1 e x, que oscilam harmonicamente. Essas coordenadas chamam-se coordenadas normais. Neste caso, u e v admitem uma interpretação física muito simples: u é o deslocamento do CM e v é o deslocamento relativo das massas. Nas coordenadas normais, o sistema se desacopla.
Forçadas Para condições iniciais apropriadas: { { A = 0 x 1 (t) = x (t) = A 1 sin(w 0 t + φ 1 ) A 1 = 0 x 1 (t) = x (t) = A sin(w t + φ ) Nestes dois casos, as partículas oscilam harmonicamente com uma frequência bem definida em fase ou em oposição de fase. Estes são os modos normais de vibração. No 1o modo, x 1 (t) = x (t) (modo simétrico). A mola que liga as duas massas não é nem comprimida nem esticada: é como se ela não existisse. No o modo, x 1 = x (modo anti-simétrico). A frequencia de oscilação é maior que no caso anterior pois há uma forma restauradora que não havia antes: a da mola do meio. A solução geral é uma superposição dos modos normais de vibração.
Forçadas É interessante analisar a situação em que as massas partem do repouso, mas somente uma delas é deslocada da posição de equilíbrio: x 1 (0) = a, x (0) = 0, x 1 (0) = x (0) = 0 reescrevendo x 1 (t) = a [cos w 0t + cos w t] x (t) = a [cos w 0t cos w t] ( wt x 1 (t) = a cos ( wt x (t) = a sin onde w = w w 0, w = w + w 0 ) cos( wt) ) sin( wt)
Forçadas Se considerarmos o caso em que o acoplamento é pequeno (i.e. q k e logo w 1 w 0 ), temos: w = w 0 e w = w 1. w 0 Temos então ( uma ) situação típica de( batimentos, ) modulados wt wt por a cos para x 1 e por a sin para x, ou seja, a modulação das amplitudes está em quadratura: os máximos de uma correspondem aos zeros da outra.