AULA DO CPOG Estatística básica
ATRIBUTO características que podem ser enumeradas VARIÁVEL características que podem ser medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa VARIÁVEL QUALITATIVA valores expressos por atributos sexo, cor da pele, etc. Ex: pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles "tem mais" da qualidade representada pela variável VARIÁVEL QUANTITATIVA conjunto de resultados numéricos ex: pode-se dizer que a temperatura de 40 C é maior do que 30 C e que um aumento de 20 C para 40 C é duas vezes maior do que um aumento de 30 C para 40 C e se dividem em:
VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA valores expressos através de números inteiros não negativos Ex: Nº de alunos presentes às aulas de CQ no 2º semestre de 2006 agosto = 10, setembro = 13, outubro = 15 VARIÁVEL CONTÍNUA Valores mensuráveis escala numérica correspondente ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites Ex.: Quando se mede a temperatura do corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do corpo
Medidas de tendência central representam uma série de dados orientando quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais As medidas de tendência central mais utilizadas são: Média aritmética Moda Mediana
Média Aritmética ( X ) soma dos valores individuais dividido pelo total de elementos considerados. X X 1 X 2... n X n n X 1 i n Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4 i X n X 10,2 10,5 10,4 5 10,1 10,4 10,32 Média: ponto de equilíbrio do conjunto
Xˆ CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA Moda ( ) valor que ocorre com maior freqüência dentro de um conjunto de números. Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4 Xˆ 10,4 Moda: valor mais provável
A moda é facilmente reconhecida basta procurar o valor que mais se repete. Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros Exemplo: { 3, 5, 8, 10, 12 } não apresenta moda A série é amodal Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Então, a série tem dois ou mais valores modais Exemplo: { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apresenta duas modas: 4 e 7 A série é bimodal
Mediana (Md = ) CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA X ~ valor situado de tal forma no conjunto de dados que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Dada uma série de valores como: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } 1º - ordenar a série { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 Mediana: divide o conjunto em duas partes iguais.
Método prático para o cálculo da Mediana Se a série dada tiver número ímpar de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: ( n + 1 ) / 2 Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana A mediana será o 5º elemento = 2
Se a série dada tiver número par de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: [( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente. Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 = [( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2 5º termo = 2 e 6º termo = 3 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5. A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.
Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série. Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos).
Exemplo: Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
Medidas de Dispersão mais utilizadas Amplitude Desvio padrão Variância
Amplitude (R ou AT): é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. R X max. Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4 X min. R 10,5 10,1 0,4 A amplitude total tem o incoveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando doconjunto de valores intermediários. Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, por exemplo, no controle de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido sem muita exatidão.
Desvio padrão ( ou S) Baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S. σ n i1 X X 2 i n 1 Expresso na unidade original de medida Utilizado para avaliação da variabilidade de umprocesso/amostra Indicador de variabilidade bastante estável, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo
Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4 i X i X X X 2 i X X 1 10,2 10,32-0,12 0,0144 2 10,5 10,32 0,18 0,0324 3 10,4 10,32 0,08 0,0064 4 10,1 10,32-0,22 0,0484 5 10,4 10,32 0,08 0,0064 Total 0,1080 i 0,1080 5 1 0,1643
2 Variância ( ou S 2 ) Desvio padrão elevado ao quadrado Expresso na unidade original de medida elevada ao quadrado Utilizado para avaliação da variabilidade de um processo/amostra 2 n i1 X i X 2 n 1
Média Geométrica Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Exemplo: A média geométrica entre 1, 2 e 4: 3 3 1. 2. 4 8 2 Calcule a média geométrica entre 4, 6 e 9 : 3 3 4. 6. 9 216 6
Média harmônica A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo: Calcule a média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos valores dados: Ma 1 1 2 1 6 3 1 8 Ma 1 12 4 3 24 3 19 72 1 24 19 MH Ma 3 72 19
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