Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 6 Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares 1 Definição Valor próprio de uma transformação linear ( ) Número real (ou complexo) que, ao ser multiplicado por pelo menos um objecto não nulo de, gera a sua imagem. ( ) porque, por exemplo, ( ). porque, por exemplo, ( ). não é um valor próprio de porque não existe nenhum vector ( ) de não nulo cuja imagem segundo seja 5( ). 2 Definição Vector próprio associado a de uma transformação linear Vector de (ou de ) cuja imagem segundo é um múltiplo de,. Vector de (ou de ) cuja direcção se mantém, quando é transformado segundo. ( ) ( ) é um vector próprio de associado a porque ( ). ( ) é um vector próprio de associado a porque ( ). ( ) não é um vector próprio de porque e ( ) não é um múltiplo de ( ). 3 Definição Polinómio característico de uma transformação linear Polinómio de grau em,. 1
0 1 0 1.0 1 0 1/ 4 Facto Valores próprios e polinómio característico de uma transformação linear Os valores próprios de uma transformação linear são as raízes reais (ou complexas) do seu polinómio característico. ( ) 5 Definição Multiplicidade algébrica de um valor próprio de uma transformação linear ( ( )) Multiplicidade de como raíz do polinómio característico de. ( ) ( ) ( ) 2
6 Definição Subespaço próprio associado um valor próprio de uma transformação linear ( ) Subespaço vectorial de que contém todos os vectores próprios de associados a. * ( ) + (( ) ) (( ) ) (( ) ) (( ) ) 7 Facto Subespaços próprios e sistemas de equações lineares homogéneos: O subespaço próprio associado a um valor próprio de uma transformação linear é o conjunto de soluções do sistema de equações lineares homogéneo ( ). ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 0 1 0 1 ( ) 0 1 0 1 0 1 8 Definição Multiplicidade geométrica de um valor próprio de uma transformação linear ( ( )) Dimensão do subespaço próprio associado a,. 3
( ) *+ ( ) *( )+ 9 Facto Valores próprios e determinante Seja uma transformação linear. O determinante da sua matriz de transformação,, é o produto dos valores próprios de elevados às respectivas multiplicidades algébricas. ( ) Ex. : 4
10 Facto Valores próprios e potências de matrizes Seja uma transformação linear, cuja matriz de transformação é e outra transformação linear, cuja matriz de transformação é ( ), com. Então, é um valor próprio de se e só se for um valor próprio de e cada vector próprio de associado a é vector próprio de associado a. ( ) Ex. : } ( ) } 2 ( ) 3 ( ) ( ). / ( ) } } 2 ( ) 3 5
11 Facto Valores próprios e produto de matrizes Sejam uma transformação linear, cuja matriz de transformação é e uma transformação linear, cuja matriz de transformação é, sendo e matrizes ( ). Então, e têm os mesmos valores próprios. Ex. : } 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 } 12 Facto Subespaços próprios diferentes e independência linear Se extrairmos de cada um dos subespaços próprios de uma transformação linear um conjunto de vectores linearmente independente e reunirmos os conjuntos obtidos, obtemos um conjunto linearmente independente. } } } } Ex. : *+ *( )+ *( )+ *( )+ *+ *+ *( )+ * ( )+ 6
13 Definição Matriz diagonalizável Matriz de transformação de uma transformação linear, de, na qual a matriz de transformação de é diagonal., tal que existe uma base 0 1 é diagonalizável porque é a matriz de transformação de e, sendo *+ uma base de e 0 1, 0 1 é uma matriz diagonal. 14 Facto Matrizes diagonalizáveis, vectores e valores próprios Seja a matriz de transformação de uma transformação linear com valores próprios distintos. As seguintes afirmações são equivalentes: é diagonalizável Existe uma base de constituída apenas por vectores próprios de Ex. 1: ( ) *+ ( ) ( ) *( )+ ( ) * ( )+ Ex. 2: ( ) *( )+ ( ) ( ) *( )+ ( ) 7
15 Facto Matrizes diagonalizáveis e matriz diagonal Seja, a matriz de transformação de uma transformação linear, uma matriz diagonalizável. Então, é uma base de constituída por vectores próprios de se e só se é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de, repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores de., - ( ) *+ ( ) *( )+ ( ) 16 Facto Matrizes reais e simétricas e diagonalização de matrizes Seja, a matriz de transformação de uma transformação linear, uma matriz real (cujos elementos são números reais) e simétrica. Então: 8
Todos os valores próprios de são reais. Quaisquer 2 vectores de subespaços próprios diferentes de é diagonalizável. são ortogonais. ( ) *+ ( ) ( ) *( )+ ( ) 9