Aula 3 Lógica Matemática

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 1 Aula 3 Lógica Matemática Construção de tabelas-verdade 1) Proposições compostas e tabelas-verdade Várias proposições simples podem ser combinadas através dos conectivos lógicos ~, ^, v, e para a construção de proposições compostas. Por exemplo, P(p,q) = ~p ^ (p q), Q(p,q) = (p ~q ^ r) v (q v ( p r)). Assim, através das tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais, como foi visto anteriormente, pode-se construir uma tabela-verdade para qualquer proposição composta, de maneira a conhecer em que casos tal proposição será verdadeira ou falsa. 2) Número de linhas de uma tabela-verdade O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta é dado pelo número de proposições simples que a integram, de forma que uma proposição composta com n proposições simples gera uma tabela-verdade com 2 n linhas. Assim, uma tabela-verdade de uma proposição composta com duas proposições simples contém 4 linhas (2 2 = 4), com 3 proposições simples contém 8 linhas (2 3 = 8) e assim por diante. A estrutura da tabela-verdade de P(p,q,r,s) = (p ~q) v ( r ^ ~s) p, por exemplo, seria aquela exibida na Figura 1, na próxima página. Note que, para composição de cada coluna contendo os valores lógicos V e F, correspondente a cada uma das proposições simples, existe uma maneira diferente de alternar a ocorrência de V e F, dada pela seguinte regra: Para cada coluna da tabela-verdade, haverá 2 n k quantidades de valores V e F alternados, onde n = número de linhas da tabela-verdade e k = posição de uma proposição simples, componente da proposição composta. Para a tabela-verdade do exemplo exposto na Figura 1: 1 2 3 4 k (posição de cada proposição simples: p=1, q=2, r=3, s=4) P( p, q, r, s)

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 2 Para p: 2 n k = 2 4 1 = 2 3 = 8 (ou seja, 8 valores lógicos V seguidos de 8 valores lógicos F); Para q: 2 n k = 2 4 2 = 2 2 = 4 (ou seja, 4 valores lógicos V seguidos de 4 valores lógicos F, alternados); Para r: 2 n k = 2 4 3 = 2 1 = 2 (ou seja, 2 valores lógicos V seguidos de 2 valores lógicos F, alternados); Para s: 2 n k = 2 4 4 = 2 0 = 1 (ou seja, 1 valor lógico V seguido de 1 valor lógico F, alternados). p q r s (p ~q) v ( r ^ ~s) p V V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F F V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F Figura 1 Estrutura para tabela-verdade com 16 linhas (2 4 )

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 3 3) Uso de parênteses e ordem de precedência Para evitar qualquer tipo de problema de interpretação das proposições compostas devem ser colocados parênteses, sempre que necessário. A proposição composta p ^ q v r dá margem a mais que uma interpretação, pois pode ser escrita como ( p ^ q ) v r ou p ^( q v r ). São proposições diferentes: na primeira, o conectivo principal é uma disjunção, enquanto que, na segunda, o conectivo principal é uma conjunção. Por outro lado, em alguns casos, é possível simplificar a maneira como uma proposição composta é escrita, suprimindo-lhe os parênteses. Claro que, neste caso, não poderá restar qualquer ambigüidade. De qualquer forma, é necessário conhecer a ordem de precedência para os conectivos, que é a seguinte: 1º) ~ (negação); 2º) ^ (conjunção); 3º) v (disjunção); 4º) (condicional); 5º) (bicondicional). Alguns exemplos: a) p q s ^ r Da maneira como está, essa proposição é uma bicondicional. No caso de descobrir seus valores lógicos, através de uma tabela-verdade, deve-se seguir a ordem de precedência, sendo que será a última operação a ser realizada; b) p (q s ^ r) Agora, a proposição é uma condicional, devido aos parênteses, que obrigam que seja resolvida por último, trocando a ordem de precedência;

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 4 c) (p q s) ^ r A proposição ao lado é uma conjunção, o que indica que esta será justamente a última operação lógica a ser realizada ( ^ ); d) p ((q s) ^ r) A proposição ao lado é uma condicional, sendo que primeiro será resolvida a operação lógica contida nos parênteses mais internos (a bicondicional q s), depois, a operação lógica contida nos parênteses mais externos (a conjunção envolvendo o resultado da bicondicional ^ r) e, por último, a condicional; e) (p q) (s ^ r) É o mesmo que p q s ^ r, devido a ordem de precedência. Assim, os parênteses podem ser eliminados sem qualquer prejuízo. 4) Exemplos de construção de tabelas-verdade de uma proposição composta a) P(p,q) = ~( p ^ ~q ) Esta proposição composta é uma negação, cuja tabela-verdade tem 2 2 = 4 linhas. Para sua resolução (e de todas as outras proposições compostas), usase as tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais. p q ~ ( p ^ ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F P(VV, VF, FV, FF) = V F V V

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 5 b) P(p,q) = ~( p ^ q ) v ~( q p ) Esta proposição composta é uma disjunção, cuja tabela-verdade tem 2 2 = 4 linhas. p q ~ ( p ^ q ) v ~ (q p) V V F V V V F F V V V V F V V F F V V F F V F V V F F V V V V F F F F V F F F V F F V F P(VV, VF, FV, FF) = F V V V c) P(p,q,r) = p v ~r q ^ ~r Esta proposição composta é uma condicional, cuja tabela-verdade tem 2 3 = 8 linhas. p q r p v ~ r q ^ ~ r V V V V V F V F V F F V V V F V V V F V V V V F V F V V V F V F F F F V V F F V V V F F F F V F F V V F F F V V V F F V F V F F V V F V V V V F F F V F F F V V F F F V F F F F V V F F F F V F P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = F V F F V V V F

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 6 d) P(p,q,r) = ( p q ) ^ ( q r ) ( p r ) Esta proposição composta é uma condicional, cuja tabela-verdade tem 2 3 = 8 linhas. p q r (p q) ^ (q r) (p r) V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F V F F V V F F V F V V F F F F V V V V V V V F F V F F F F V F V V F F F V V F V V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F F F V F V F V F V V V F V V F F F F V F V F V F V F V F P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = V V V V V V V V e) P(p,q,r) = ( p ( ~q v r ) ) ^ ~( q v ( p ~r ) ) Esta proposição composta é uma conjunção, cuja tabela-verdade tem 2 3 = 8 linhas. p q r (p (~ q v r ) ) ^ ~ (q v ( p ~ r)) V V V V V F V V V F F V V V F F V V V F V F F V F F F F V V V V V F V F V V V V F V V V V F F V F F V V F F V V V F V F F F F V V V V F F V V F V F V V V F F V V F V F V F V F F V F V F F F F V V F F V F F F V F V V F V V F F F V F V F V F F F F V V F V F V V F F F F V F

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 7 P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = F F V F F F F V 5) Valor lógico de uma proposição composta Uma vez que se conheça os valores lógicos de todas as proposições simples componentes de uma proposição composta, ou, em certos casos, os valores lógicos de alguma(s) da(s) proposições simples componentes de uma proposição composta, pode-se determinar o valor lógico da proposição composta. Alguns exemplos: a) Determinar o valor lógico da proposição composta P, sabendo que V(p) = V e V(q) = F, para P(p,q) = ~ (p v q) ~p ^ ~q V(P) = ~ ( V v F ) ~V ^ ~F V(P) = ~V F ^ V V(P) = F F V(P) = V b) Determinar o valor lógico da proposição composta P, onde P(p,q) = ( p q ) ( p p ^ q ), sabendo que p: = 3 e q: 7 < 3 V(P) = ( F F ) ( F F ^ F ) V(P) = V ( F F ) V(P) = V V V(P) = V c) Determinar o valor lógico da proposição composta P, onde P(p,q,r) = ( q ( r ~p )) v (( ~q p ) r ), sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 8 V(P) = ( F ( F ~V )) v (( ~F V ) F ) V(P) = ( F ( F F)) v (( V V ) F ) V(P) = (F V ) v ( V F ) V(P) = F v F V(P) = F d) Determinar o valor lógico da proposição composta P, onde P(p,q,r) = p ~q v r, sabendo que V(r) = F V(P) = p ~q v V Na expressão acima, devido a ordem de precedência, a disjunção deve ser resolvida primeiro, apesar de não se conhecer V(q). No caso da disjunção, só ocorre o valor lógico F quando a primeira e a segunda proposições simples têm o valor lógico F (ver tabela-verdade da disjunção). Como a segunda proposição simples de ~q v V tem o valor lógico V, então ~q v V também tem o valor lógico V, resultando em: V(P) = p V No caso da condicional, só se verifica o valor lógico F quando a primeira proposição simples tem o valor lógico V e a segunda proposição simples tem o valor lógico F (ver tabela-verdade da condicional). Como a segunda proposição simples tem o valor lógico V, então p V também tem o valor lógico V, resultando em: V(p) = V e) Determinar o valor lógico da proposição composta P, onde P(p,q) = (p q) ( ~q ~p ), sabendo que V(q) = V

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira 9 V(P) = ( p V ) ( ~V ~p ) V(P) = ( p V ) ( F ~p ) A condicional F ~p tem o valor lógico V, uma vez que seu antecedente tem o valor lógico F e a condicional p V também tem o valor lógico V, já que seu conseqüente tem o valor lógico V (ver tabela-verdade da condicional). Então: V(P) = V V V(P) = V f) Determinar o valor lógico da proposição composta x 0 v x y y z, sabendo que as proposições x = 0 e x = y são verdadeiras e a proposição y = z é falsa. V(P) = ~V v ~V ~F V(P) = F v F V V(P) = F V V(P) = V Bibliografia: ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo : Nobel, 1999. SUPPES, P. y HILL, S., Introducción a la lógica matemática, Ed. Revertè, 1982.