Tópicos Especiais em Computação I Pesquisa Operacional Exercícios (Simplex) Prof. Fabio Henrique N. Abe Fabio.henrique.abe@gmail.comd
Método Simplex Desenvolvido por George Dantzig em 1947 É um procedimento Algébrico que utiliza conceitos Geométricos Requisitos para uso: Precisa ser um problema de Maximização; Todas as restrições funcionais devem ser na forma ; Todas as variáveis devem possui restrições de nãonegatividade; Todos os lados direitos devem ser não-negativos.
Método Simplex Conceito 1 O Simplex se concentra apenas em soluções FPE. Conceito 2 O Simplex é um Algoritmo Iterativo. Conceito 3 Sempre que possível o Simplex opta pela origem. Conceito 4 O Simplex opta por buscar sempre uma solução melhor adjacente à solução atual Conceito 5 A solução adjacente escolhida é aquela que tem a maior taxa de crescimento em Z Conceito 6 O Simplex verifica se as duas soluções adjacentes possuem taxa de crescimento positiva, caso contrário, a solução atual é a ótima
Configurando o Simplex Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 (1) x 1 4 (2) 2x 2 12 (3) 3x 1 + 2x 2 18 (4) x i 0, para i = 1,2 Maximizar Z - 3x 1-5x 2 = 0 (1) x 1 + x 3 = 4 (2) 2x 2 + x 4 = 12 (3) 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 (4) x i 0, p/ i = 1,2,3,4,5 Forma Original do Modelo Forma Aumentada do Modelo
Configurando o Simplex x3, x 4 e x 5 recebem o nome de variáveis de folga; Se a variável de folga for igual a zero na solução atual, então essa solução está no limite de restrição para a restrição funcional correspondente; Se a variável de folga possui um valor maior que zero, significa que a solução está no lado viável da restrição funcional correspondente; Se a variável de folga possui um valor menor que zero, significa que a solução está no lado inviável da restrição funcional correspondente;
Simplex Revisão de Termos Conhecidos: Solução: Solução em Ponto Extremo: Solução Inviável: Solução Viável: Solução Viável em Ponto Extremo:
Simplex Solução Aumentada Solução para as variáveis de decisão originais, acrescidas dos valores das ariáveis de folga; Solução Básica Solução em ponto extremo aumentada; Solução Básica Viável Solução FPE aumentada
Simplex Maximizar Z - 3x 1-5x 2 = 0 (1) x 1 + x 3 = 4 (2) 2x 2 + x 4 = 12 (3) 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 (4) x i 0, para i = 1,2,3,4,5 5 Variáveis 3 Equações Funcionais 2 Graus de Liberdade 2 Variáveis não básicas 3 Variáveis básicas Variáveis não básicas são configuradas em zero Os valores das variáveis básicas são obtidos como a solução simultânea das equações O conjunto de variáveis básicas é conhecido como base Se as variáveis básicas satisfazerem as restrições de não-negatividade, então a solução básica é uma solução básica viável.
Exercício Simplex Maximizar Z = 10x 1 + 12x 2 Sujeito a x 1 + x 2 100 x 1 + 3x 2 270 x i 0, para i = 1, 2 Solução em: https://youtu.be/uendv1khpcw
Exercícios Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria, 2 h de polimento e utiliza 100 unidades de matéria-prima. Cada unidade de P2 requer 2 horas de forjaria, 3 h de polimento e 200 unidades de matériaprima. O preço de venda de P1 é R$ 1900,00 e de P2, R$ 2100,00. O mercado só consegue absorver 5 unidades por dia. As disponibilidades são de: 20 h de forja; 10 h de polimento e 500 unidades de matériaprima, por dia. Elabore o modelo que maximize o lucro e resolva utilizando o método tabular.
(Próxima Aula) Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido por $120,00 e B por $100,00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento bruto máximo? Elabore o modelo e resolva utilizando o método tabular.
(Próxima Aula) Um fabricante de fantasias tem em estoque 32 m de brim, 22 m de seda e 30 m de cetim e pretende fabricar dois modelos de fantasias. O primeiro modelo (M1) consome 4m de brim, 2 m de seda e 2 m de cetim. O segundo modelo (M2) consome 2 m de brim, 4 m de seda e 6 m de cetim. Se M1 é vendido a 6.000 u.m. e M2 a 10.000 u.m., quantas peças de cada tipo o fabricante deve fazer para obter a receita máxima? Elabore o modelo e resolva utilizando o método tabular.
Tarefa para 01/06/17 Valor: 2 Pontos dos trabalhos Uma determinada confecção opera com dois produtos: calças e camisas. Como tratam-se de produtos semelhantes, possuem uma produtividade comparável e compartilham os mesmos recursos. A programação da produção é realizada por lotes de produto. O departamento de produção informa que são necessários 10 homens x hora para um lote de calças e 20 homens x hora para um lote de camisas. Sabe-se que não é necessária mão de obra especializada para a produção de calças, mas são necessários 10homens x hora desse tipo de mão de obra para produzir um lote de camisas. O departamento de pessoal informa que a força máxima de trabalho disponível é de 30 homens x hora de operários especializados é de 50 homens x hora de não especializados. Da planta de produção, sabemos que existem apenas duas máquinas com capacidade de produzir os dois tipos de produto, sendo que a máquina 1 pode produzir um lote de calças a cada 20 horas e um lote de camisas a cada 10 horas, não podendo ser utilizada por mais de 80 horas no período considerado. A máquina 2 pode produzir um lote de calças a cada 30 horas e um lote de camisas a cada 35 horas, não podendo ser utilizada por mais de 130 horas no período considerado. São necessários dois tipos de matéria-prima para produzir calças e camisas. Na produção de um lote de calças são utilizados 12 quilos de matéria-prima A e 10 da B. Na produção de um lote de camisas são utilizados 8 quilos da matéria-prima A e 15 da B. O almoxarifado informa que, por imposições de espaço, só pode fornecer 120 quilos de A e 100 quilos de B no período considerado. Sabendo-se que o lucro pela venda é de 800 reais nos lotes de camisas e de 500 reais nos lotes de calças. Formule o modelo que maximiza o lucro da confecção. Resolva a PL utilizando o métod tabular.
(Próxima Aula) Uma empresa possui 4 fábricas onde existe capacidade de produção em excesso. Todas as fábricas estão aptas a produzir um novo produto e a direção decidiu usar desta forma parte da capacidade disponível. Este novo produto pode ser fabricado em 2 tamanhos (grande [G] e médio [M]), que dão um lucro unitário de 40 e 30 reais, respectivamente. As fábricas 1, 2, 3 e 4 têm capacidade em excesso para produzir diariamente 700, 600, 900 e 450 unidades destes produtos, respectivamente, independentemente dos tamanhos ou combinação de tamanhos. O espaço de armazenamento disponível impõe uma limitação na produção do novo produto. As fábricas 1, 2, 3 e 4 têm 10000, 9000, 11000 e 5000 m² de espaço de armazenamento disponível, respectivamente, para um dia de produção. Cada unidade dos produtos G e M produzida por dia necessita de 18 e 14 m², respectivamente. As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas diariamente até 850 e até 1250 unidades dos produtos G e M, respectivamente. A direção pretende saber quanto de cada tamanho deve ser produzido em cada fábrica, de modo a maximizar o lucro total. Elabore o modelo e resolva utilizando o método tabular.
Passo a Passo 1) Transforma a PL na versão aumentada (adicionar as variáveis de folga) 2) Escolher a Coluna Pivô (CP) a) Olhar na linha 1 e escolher a coluna com o maior número negativo; 3) Dividir cada valor de b m pelo respectivo item na CP m 4) Escolher a linha com o menor valor positivo da divisão b m /CP m para ser a Linha Pivô (LP) 5) Calcular a Nova Linha Pivô (NLP), dividindo todos os itens da LP pelo Item Pivô (IP). O item pivô fica na intersecção da LP com a CP 6) Para calcular os novos valores de cada linha você deve: a) Multiplicar a NLP pelo respectivo item na CP * (-1) b) Somar o resultado com o valor da linha a ser alterada 7) Reconstruir a tabela com os resultados das novas linhas 8) Caso ainda exista algum valor negativo na primeira linha, voltar no passo 2.