UM EXEMPLO DO USO DA PROPOSTA DE POLYA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: A CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Francinildo Nobre Ferreira Universidade Federal de São João del-rei - UFSJ nobre@ufsj.edu.br Flávia Cristina Figueiredo Coura Universidade Federal de São João del-rei - UFSJ flaviacoura@ufsj.edu.br Resumo: Apresentamos neste texto um exemplo do uso da Resolução de Problemas (POLYA, 1945) como metodologia de trabalho para o desenvolvimento do conceito e dos três casos de Congruência de triângulos. A primeira versão desta proposta foi escrita para compor o material impresso de uma disciplina de um Curso de Especialização oferecido na modalidade à distância, no qual estão inscritos, principalmente, professores que lecionam Matemática na Educação Básica. Alguns dos aspectos que motivaram a escolha de um conteúdo da Geometria e da Resolução de Problemas como método também estão destacados. Finalmente, indicamos brevemente algumas considerações que fizemos a respeito da similaridade da presente proposta com os princípios da Resolução de Problemas apontados pelos PCN (BRASIL, 1998). Palavras-chave: Resolução de problemas; Congruência de triângulos. Introdução Apresentaremos a seguir um exemplo do uso da Resolução de Problemas (POLYA,1945) como metodologia de trabalho para o desenvolvimento do conceito e dos três casos de Congruência de triângulos, tópico da Matemática estudado na Educação Básica. Escrevemos a primeira versão deste texto para compor o material impresso de uma disciplina Ensino de Matemática via Resolução de Problemas inserida no Curso de Especialização em Matemática oferecido na modalidade à distância pelo Departamento de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade Federal de São João del-rei (DEMAT-UFSJ) no Sistema UAB (Universidade Aberta do Brasil). A Especialização, que começou em agosto de 2008, atende principalmente professores que lecionam Matemática na Educação Básica, em escolas públicas e particulares de 1
municípios próximos a 12 cidades-pólo 1. Na ocasião do oferecimento da disciplina, em dezembro de 2009 e janeiro de 2010, aproximadamente 400 pós-graduandos se inscreveram, que representam cerca de 90 por cento dos alunos do curso. Nesse contexto, nosso objetivo era apresentar um exemplo de como trabalhar um tema da Educação Básica, segundo a metodologia de Resolução de Problemas de Polya (COURA; FERREIRA, 2009, p. 53). A escolha da Resolução de Problemas como método de trabalho para o desenvolvimento do conteúdo, além de uma proposta da disciplina, fundamentou-se na possibilidade de mostrar a Matemática não apenas como uma ciência dedutiva, sistemática, mas também como uma ciência indutiva, experimental. Mostrar a Matemática no processo de ser inventada (POLYA,1985) é uma prática pouco comum em nossas escolas. Acreditamos que essa seja uma das razões pelas quais muitas vezes tenhamos em nossas salas de aula alunos desmotivados: geralmente apresentamos a eles a Matemática como uma ciência pronta, acabada, não os incentivando para descobertas. Nessa perspectivas, optamos por abordar um tema da Geometria - Congruência de triângulos - porque, apesar de se tratar de um ramo importante da Matemática, professores do Ensino Fundamental frequentemente apontam problemas relacionados tanto ao seu ensino quanto à sua aprendizagem (ALMOULOUD et al, 2004). Assim, quando propusemos desenvolver um tema da Geometria estudado na Educação Básica por meio da Resolução de problemas, pretendíamos oferecer uma contribuição para a prática pedagógica do docente que enfrenta tais problemas diariamente em sua sala de aula, no sentido de ilustrar a utilização do método proposto por Polya. Com esse foco, neste trabalho, registramos o desenvolvimento de uma atividade intitulada Trabalhando com triângulos, na qual utilizamos a Resolução de Problemas com o objetivo de que os estudantes consigam compreender que existem condições mínimas que, se satisfeitas, garantem a Congruência de triângulos os casos de congruência. Tentamos com isso apresentar um exemplo de como a Matemática pode ser vista de uma forma diferente daquela que muitas vezes foi nos apresentada. 1 São cidades-pólo do curso: Barroso, Campo Belo, Ouro Preto, Pompéu, Timóteo, Sete Lagoas e Tiradentes, em Minas Gerais, e Franca, Matão, Mirandópolis, São José do Rio Preto e Serrana, no estado de São Paulo. 2
Trabalhando com triângulos Sabemos da Geometria Plana que, intuitivamente, dois triângulos ABC e EFG são congruentes, quando existe uma posição na qual conseguimos sobrepor um triângulo sobre o outro e constatamos com isso que eles são exatamente iguais. Matematicamente, isso significa que existe uma correspondência biunívoca (bijetora) entre os vértices de modo que os ângulos e lados correspondentes são congruentes. Em outras palavras: Se ABC 2 e EFG são dois triângulos congruentes e se A E, B F e C G é a correspondência que define a congruência, então valem simultaneamente, as seis seguintes relações (FIG 1): AB = EF, Â = Ê; BC = FG, Bˆ = Fˆ ; AC = EG, Ĉ = Ĝ. FIGURA 1 Exemplo de dois triângulos congruentes A partir das considerações anteriores, mais especificamente com relação à definição de congruência de triângulos, consideremos o seguinte problema: Dentre as seis condições que definem a congruência de triângulos, que condições mínimas precisamos ter a fim de que os triângulos sejam congruentes? Ao estudar Geometria Plana, vimos também que não é necessário verificar as seis relações acima para garantir que dois triângulos são congruentes. É suficiente analisarmos três condições: são os casos de congruência de triângulos que, de acordo com Barbosa (2004), estão enunciados a seguir. 2 Neste texto, utilizamos, a exemplo de Barbosa (2004) a notação ABC para denotar o triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C. A notação AB se refere ao segmento cujas extremidades são os pontos A e B e também à medida desse segmento. O ângulo cujo vértice é o ponto A é representado por Â, que também indica a medida desse ângulo. 3
Primeiro caso: Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, AC = EG e  = Ê, então ABC = EFG. Segundo caso: Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF,  = Ê e Bˆ = Fˆ, então ABC = EFG. Terceiro caso: Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, AC = EG e BC = FG, então ABC = EFG. Na Geometria Euclidiana, geralmente, se admite o primeiro caso como um axioma e se demonstra os outros dois casos de congruência. Uma vez satisfeita uma das hipóteses dos três enunciados anteriores, os triângulos analisados são congruentes. Entretanto, consideramos de fundamental importância para o aluno compreender porque eles, geralmente, estudam apenas esses três casos. Com esse norte, desenvolvemos nosso trabalho através de perguntas feitas a partir das relações presentes na definição de congruência de triângulos. Pergunta 1: Tome dois triângulos ABC e EFG. Se eles possuem apenas um par de lados correspondentes congruentes, esses triângulos são congruentes? A resposta é não e para justificá-la utilizaremos um contra-exemplo. Considerando os triângulos ABC e EFG com AB = EF, é imediato construir triângulos não congruentes, como ilustramos na FIG. 2. FIGURA 2 Exemplo de dois triângulos com um par de lados de mesma medida que não são congruentes Pergunta 2: Considere dois triângulos ABC e EFG. Se eles possuem apenas dois pares de lados correspondentes congruentes, esses triângulos são congruentes? 4
A resposta novamente é não. Analisando os triângulos ABC e EFG, com AB = EF, AC = EG, podemos verificar que embora tenham dois pares de lados correspondentes congruentes, isso não garante que o terceiro par de lados tenha medidas iguais. Como podemos verificar por meio da FIG.3. FIGURA 3 Exemplo de dois triângulos com dois pares de lados de mesma medida que não são congruentes Pergunta 3: Dados dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem os três pares de lados correspondentes congruentes, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes? Sim, essa condicionante corresponde ao terceiro caso de congruência que enunciamos anteriormente. Pergunta 4: Tome dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem um, dois ou três pares de ângulos correspondentes com medidas iguais, esses triângulos são congruentes? Para ilustrar os três casos indicados na hipótese, considere os triângulos ABC e EFG (FIGURAS 4 e 5). Caso 1: Â = Ê (um par de ângulos côngruos) FIGURA 4 Exemplo de dois triângulos com um par de ângulos de mesma medida que não são congruentes 5
Como podemos verificar observando a FIGURA 4, os triângulos ABC e EFG não são congruentes. Isso mostra que a existência de um par de ângulos côngruos não garante que os triângulos sejam congruentes. Caso 2: Â = Ê e Bˆ Fˆ (dois pares de ângulos côngruos) Nesse caso, temos também que Cˆ Gˆ, que decorre do fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Assim, do caso em que temos dois pares de ângulos de mesma medida decorre que teremos três pares de ângulos côngruos. Contudo, não podemos afirmar que ABC e EFG sejam congruentes. Um exemplo que ilustra esse caso são os triângulos ABC e EFG da FIGURA 5, que são eqüiláteros portanto, eqüiângulos mas não são congruentes, pois os pares de lados correspondentes não têm a mesma medida. FIGURA 5 Exemplo de dois triângulos com dois pares de ângulos de mesma medida que não são congruentes Pergunta 5: Dados dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem um par de ângulos correspondentes congruentes e um par de lados correspondentes de mesma medida, esses triângulos são congruentes? Não. A FIGURA 6 ilustra dois triângulos que têm um par de lados correspondentes de mesma medida e um par de ângulos correspondentes côngruos, que não são congruentes. 6
FIGURA 6 Exemplo de dois triângulos com um par de ângulos e um par de lados de mesma medida que não são congruentes Pergunta 6: Considere dois triângulos ABC e EFG. Se eles possuem um par de ângulos correspondentes congruentes e dois pares de lados correspondentes de mesma medida, esses triângulos são congruentes? Se o ângulo for adjacente aos lados, esses triângulos serão congruentes, como uma conseqüência do primeiro caso de congruência. Entretanto, se o ângulo não for adjacente aos lados, os triângulos não são necessariamente congruentes, conforme ilustramos na FIG. 7, em que AB=FE, BC=FG e Â=Ê, mas os triângulos ABC e EFG não são congruentes. FIGURA 7 Exemplo de dois triângulos com um par de lados e dois pares de ângulos de mesma medida que não são congruentes Pergunta 7: Dados dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem dois pares de ângulos correspondentes côngruos e também um par de lados correspondentes de mesma medida, esses triângulos são congruentes? Sim. Pois, se dois pares ângulos correspondentes são congruentes, consequentemente, o terceiro par de ângulos correspondentes será congruente, já que a 7
soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Como temos um par de lados correspondentes com mesma medida, teremos o segundo caso de congruência de triângulos. Observe que aqui está incluído o caso em que dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes e também dois lados correspondentes congruentes. Algumas considerações O leitor atento e conhecedor da Resolução de Problemas, tal como proposta por Polya, deve estar se questionando a respeito da utilização desse método, principalmente pelo fato de que as quatro etapas compreender o problema, estabelecer um plano de solução, executar o plano estabelecido e fazer um retrospecto da resolução completa não estão explicitamente delimitadas no texto. Para esclarecer a esse respeito, procuramos considerar outras características que sinalizem um trabalho que utiliza a Resolução de Problemas como metodologia para o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática. Nesse sentido, vamos considerar alguns dos princípios da proposta dos PCN (BRASIL, 1998) para o uso da Resolução como eixo norteador do ensino de Matemática: o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática; o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações; a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a 8
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (BRASIL, 1998, p. 32-33, grifo nosso). Na medida em que utilizamos uma questão Dentre as seis condições que definem a congruência de triângulos, que condições mínimas precisamos ter a fim de que os triângulos sejam congruentes? para propor o trabalho a ser desenvolvido pelos alunos e que ela não constitui um exercício, pois não permite a utilização mecânica de procedimentos ou fórmulas, consideramos que nossa proposta utiliza um problema como ponto de partida para a atividade matemática. Para elaborar uma resposta, o estudante precisa mobilizar os conhecimentos que já possui e construir um campo de conceitos os casos de congruência de triângulos que poderá utilizar não somente como resposta para esse problema, mas para um campo de problemas. Além disso, é possível verificar que o processo desencadeado pelas perguntas exige que os estudantes interpretem e estruturem a situação apresentada, realizem transferências, retificações, rupturas e generalizações com fins de oferecer uma resposta para a questão inicial. Desse modo, é possível considerar que nosso trabalho representa uma proposta que busca ensinar Matemática por meio da Resolução de Problemas, o que significa considerar que os problemas são importantes não somente para se aprender matemática, mas, também, como um primeiro passo para se fazer isso. Esse olhar a respeito da Resolução de Problemas foi compartilhado por grande parte dos estudantes que cursaram a disciplina. Referências ALMOULOUD, S. A et al. A geometria no ensino fundamental: reflexões sobre uma experiência de formação envolvendo professores e alunos. In: Revista Brasileira de Educação, São Paulo. n. 27, set-dez de 2004. Disponível em http://www.scielo.br/pdf/rbedu/n27/n27a06.pdf. Acesso em 01 mar. 2010. 9
BARBOSA, L. M. Geometria euclidiana plana. 7. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004. 222 p. (Coleção professor de matemática). BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. COURA, F. C. F; FERREIRA, F. N. Ensino de matemática via resolução de problemas. São João Del-Rei: UFSJ, 2009. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciências, 1945.. O ensino por meio de problemas. Revista do professor de Matemática, Rio de Janeiro, n. 7, 2 sem. 1985. 10