Física 3 Resumo e Exercícios P2
Resumo Teórico Parte 1 Corrente Elétrica Definição: i = dq dt Convenção: Sentido das cargas positivas Corrente Média: I = Q = n. v. A t Onde: n: densidade de partículas portadoras de carga v: velocidade (de arraste) das partículas A: Área por onde passa corrente Vetor Densidade de Corrente Seu módulo é dado por: J = I A Sentido e direção: os mesmos do campo elétrico Lei de Ohm: J = σe Onde σ é a condutividade do material. A Lei de Ohm dá origem à duas outras expressões muito utilizadas: R = ρl A 1 e V = R. i (2) Onde ρ é a resistividade do material, dada por: 1/σ (inverso da condutividade) Resistência Cálculo de Resistências: 1
Corpos de área constante - Basta aplicar a fórmula (1) Corpos com algumas áreas diferentes Dividir o corpo em partes de área constante e aplicar a fórmula (1) para cada uma delas. Corpos com infinitas áreas distintas - Integrar a expressão (1) Exemplo: Resistor cilíndrico com corrente radial **Detalhe: o termo área utilizado acima refere-se à área atravessada pela corrente Efeitos de um campo magnético I. Efeito sobre uma carga puntiforme Suponha uma carga q com velocidade v na presença de um campo magnético B. A carga sofrerá a ação de uma força dada por: F < = qv B ATENÇÃO: - A força magnética só age em condutores EM MOVIMENTO - A força magnética não realiza trabalho: F v Como encontrar a direção dos vetores? Regra da mão direita! II. Efeito sobre uma corrente Suponha um fio condutor, por onde esteja passando corrente I, e que esteja sujeito a um campo magnético B. A força magnética no fio é dada por: 2
F < = I dl B Observação: Se B for uniforme, a expressão da força magnética no condutor se reduz à: F < = Il B Onde l é vetor em linha reta entre as extremidades do fio e cujo sentido é o mesmo da corrente. III) Efeito sobre uma espira Considere uma espira (fio fechado) por onde passa uma corrente I, e que esteja sujeita a um campo magnético B uniforme. Se o fio é fechado (definição de espira) -> l = 0 -> F < = 0 Deste modo, não há movimento de translação para a espira! Mas, pode haver ROTAÇÃO! O torque gerado sobre a espira é dado por: τ = IA B Onde A é o vetor perpendicular à área da espira. Como achar o sentido de A? Regra do Saca Rolha Definição importante: - Momento de dipolo magnético da espira: μ = IA 3
- Utilizando a expressão acima, o torque se reduz à: τ = μ B OBS: Dipolo Magnético é outra forma de dizer Espira Exercícios Parte 1 1. (P2 2016 Questão 1) Uma casca cilíndrica é feita de um material condutor de condutividade σ uniforme. As dimensões do cilindro estão indicadas na figura, onde L>>b>a. As superfícies interna e externa da casca com raios r=a e r=b, onde r é a distância da casca cilíndrica, são duas equipotenciais mantidas a uma ddp igual a V por uma bateria, conforme a figura. a. Devido à simetria, a densidade de corrente é dada por J = J r r. Calcule J(r) como função de J(a), suposta conhecida. b. Calcule E r no interior da casca (a<r<b) como função de J(a). c. Calcule a resistência da casca. d. Calcule J(a) em função de V, σ, a e b. 2. (P2 2013 Questão 1) Considere dois eletrodos esféricos concêntricos de raios a e b, conforme a figura. O meio resistivo entre os eletrodos é homogêneo com condutividade σ. Uma corrente I flui do eletrodo interno de raio a para o eletrodo externo de raio b através do meio resistivo. 4
a. Calcule em função da corrente I o vetor densidade de corrente no meio resistivo a uma distância r do centro dos eletrodos (a<r<b). b. Calcule a resistência do sistema ôhmico em função de a, b e σ. c. Qual o valor da diferença de potencial entre os eletrodos em função de a, b, σ e I. 3. (P1 2016 Questão 3) Uma espira é formada por dois segmentos de reta de comprimento a e um trecho semicircular de raio a, conforme ilustrado na figura. A espira está sujeita a um campo magnético uniforme dado por B = Cı e a corrente I percorre a espira no sentido indicado na figura. a. Calcule o vetor força magnética sobre os segmentos retilíneos horizontal e vertical. b. Calcule o vetor força magnética sobre o trecho circular. c. Determine o torque sobre a espira. 5
4. (P2 2011 Questão 2) Uma partícula carregada com Q >0 e massa M é acelerada paralelamente ao eixo x, no sentido de x crescente, a partir do repouso, por uma diferença de potencial V F. a. Determine o vetor velocidade final v da partícula após a aceleração pela diferença de potencial V F. b. A partícula carregada adentra a seguir numa região de campo magnético uniforme B = B F ȷ. Determine o vetor força magnética que atua sobre a partícula em função de V F, M, Q e B F. c. Faça um esquema do movimento dessa partícula na região de campo B. Calcule o raio da trajetória na região com campo magnético e o tempo gasto nesta região. 6
Gabarito Parte 1 1) a. J(r) = J K K L b. E = J K KL ML c. R = N OPQM d. J a = SM 2) ln < K K TU V W a. J = X YPL Z r b. R = <[K YPMK< c. V = <[K YPMK< I 3) a. F \ = I. a. C k; F^ = 0 b. F < = I. a. C k c. τ = Ia O C 1 P Y ȷ 4) a. v = O`S a b b. F < = O`cS a b c. R = N e a Ofg a h ı B Fk ; T = Pb j a` 7
Resumo Parte 2 Cálculo do campo magnético Já vimos os efeitos de um campo magnético! Mas, o que gera esse campo? Como calculá-lo? - Cargas em movimento geram campos magnéticos! Há duas formas de calcular: Lei de Ampère e Lei de Biot-Savart. I) Lei de Biot-Savart: - Utilidade: Calcular campos gerados por fios e espiras Essa lei nos diz que: B = μ F Idl r 4π r O Onde µ F é a permeabilidade magnética do vácuo (µ F = 4π. 10 o T.m/A) Exemplo 1: Fio Reto Nesta configuração, temos que: dl = dx. ı e r = [qrskt q Z sk Z **Lembrete: dl possui o sentido da corrente! Retomando a equação fornecida pela Lei de Biot-Savart: 8
B = μ F 4π Idx. ı xı + aȷ x O + a O v O B = μ F 4π < [< Ia. dx. k x O + a O v O Integrando a expressão acima temos que: Exemplo 2) Espira B = μ FI a4π 2b b O + a O k **Detalhe: O vetor B tem a direção dada por: dl r Assim, devido à simetria da espira, as parcelas verticais do campo B se anulam! Isto é, só temos campo na direção ı! Sendo assim, para obter apenas a componente vertical do nosso campo, vamos multiplicar a expressão da Lei de Biot-Savart por cos θ. Temos então: B q = μ FI 4π ds r r O cos θ ı Repare que, pela definição de produto vetorial: ds r = ds. r sin β onde β é o ângulo entre ds e r 9
No caso desta espira, β = π/2 e r = 1! Assim, ds r = ds Retomando a equação, temos: B q = μ FI cos θ 4πr O OP ds. ı F B q = μ FIR cos θ 2r O ı II) Lei de Ampère: Utilidade: Cálculo de campos em casos em que há simetria (ex: cilíndrica, esférica) e em fios/planos infinitos. A Lei de Ampère nos diz que, tomando uma CURVA FECHADA C e uma SUPERFÍCIE S com bordo C, temos: B dl = μ F I Onde I é a corrente que atravessa S. Exemplo 1) Fio Infinito Qual é o sentido da curva C? Regra do Saca Rolha! Além disso, sabemos que, num fio, as linhas de campo magnético são circulares ao seu redor. Assim, B será tangente à curva C. Vamos começar resolvendo a integral: 10
Obs: B dl e B = cte em S. i) Campo fora do fio B dl = B. dl = B dl = B. 2πr Supondo a curva C fora do fio (escolhe-se onde ela vai estar conforme o que eu quero calcular), temos que: B. 2πr = μ F I B = μ FI 2πr θ **Lembrete: A direção do campo é tangente à curva C -> +θ (anti-horário) ii) Campo dentro do fio Neste caso, coloca-se a curva C dentro do fio! Logo, a corrente que passa por S (área delimitada por C), não será mais I! Será só uma parte de I! Para calcular que parte é essa, vamos usar densidade de corrente! J = I A = I πr O Assim, a corrente que atravessa S é dada por: I = J. A = X P Z πro Retomando a Lei de Ampère, temos: B. 2πr = IrO μ F R O B = Irμ F 2πR O θ 11
Exemplo 2) Solenoide Sabe-se que, num solenoide, temos a seguinte distribuição de campos: Assim, em seu interior, os campos se somam e em seu exterior, os campos de anulam! Ou seja, só temos campo dentro do solenoide! Para aplicar a Lei de Ampère, vamos considerar a seguinte curva C: Vamos resolver primeiro a integral! B dl = < B dl K Ž + B dl < + B dl Ž K + B dl Repare que, pela definição de produto escalar: 12
Ž K B dl = B dl = 0 (B dl) < Além disso, o trecho bc está fora do solenoide, logo: < Ž B dl = 0 Assim, só sobra uma integral: < < < B dl = B. dl = B dl = B. h B dl; B = cte K K K Além disso, a corrente que atravessa S é dada por: I = nih Onde: n: número de espiras por comprimento h: comprimento horizontal da curva C Por fim, temos que: Exemplo 3) Toroide B. h = nihμ F B = niμ F ı Assim como no solenoide, o campo no toroide concentra-se em seu interior e sua direção é dada pela Regra do Saca Rolha! 13
Portanto, vamos adotar uma curva C dentro do toroide! Primeiro, vamos resolver a integral: B dl = B. dl = B dl = B. 2πr Além disso, sabemos que a corrente que atravessa S é dada por NI onde N é o número de espiras do toroide. Assim, B. 2πr = μ F NI B = μ FNI 2πr θ (Sentido horário) Materiais Magnéticos Na presença de alguns materiais, o campo se intensifica. Temos então: B KT = B F + B ou B KT = (1 + χ )B F Onde χ é a susceptibilidade magnética do material. 14
Existem 3 tipos de materiais magnéticos: 1. Paramagnéticos (χ > 0): O alinhamento dos dipolos com o campo é imperfeito, por isso intensifica pouco o campo original. 2. Ferromagnéticos (χ >>0): Intensifica muito o campo. 3. Diamagnéticos (χ < 0): Diminui o campo original porque o alinhamento dos dipolos é em sentido oposto ao do campo. Além disso, existe outra equação para representar o campo total: M: vetor magnetização (M = χ H) B KT = μ F H + μ F M H: vetor intensidade de campo magnético (H = j ¹ a ) Por fim, se definirmos a permeabilidade relativa do material: K = 1 + χ Assim, B KT = K B F. Fórmula importante: K = ¼ ¹ a Resumindo: Um material magnético é um material que intensifica o campo de um fator Km! O campo total pode ser calculado a partir das expressões acima ou multiplicando K B F ou lembrando que ele será a soma do campo original com o campo gerado pelo material! 15
Exercícios Parte 2 1) (P2 2016 Questão 2) Uma corrente elétrica I percorre um fio infinito que está alinhado com o eixo x. Ao atingir a origem do sistema de coordenadas, o fio dá uma volta completa em torno do ponto P. a. Considerando apenas as partes retilíneas do fio, determine o vetor campo magnético no ponto P. b. Calcule o vetor campo magnético produzido pelo trecho circular no ponto P. c. Determine o vetor campo magnético total no ponto P. 2) (P2 2016 Questão 4) Um solenoide toroidal, mostrado na figura 1 e em corte transversal na figura 2, contém N espiras e é percorrido por uma corrente I. O núcleo do solenoide está preenchido por ar (μ KL = μ F ). 16
a. Calcule o vetor campo magnético B 0, y, 0 em coordenadas cartesianas (isto é, na forma B = B q ı + B Â ȷ + B Ã k, ao longo do eixo y para y 0. b. Constrói-se um outro solenoide toroidal com as dimensões do solenoide da figura, mas com um núcleo de aço inoxidável de permeabilidade μ = 80μ F. Passando a mesma corrente pelos dois solenoides, calcule a relação entre o número de espiras N Kç e N KL no solenoide com núcleo de aço e com núcleo de ar, respectivamente, para produzir o mesmo campo magnético B nos núcleos dos dois solenoides. 3) (P2 2015 Questão 4) Um fio condutor cilíndrico muito longo e de seção reta de raio a está envolto por uma casca cilíndrica condutora fina e de raio b, formando um cabo coaxial. Pelo fio passa uma corrente I, na direção positiva do eixo z, uniformemente distribuída através de sua seção reta. Na casca cilíndrica passa uma corrente total I, na direção negativa do eixo z, conforme a figura. a. Calcule o campo magnético nos pontos onde 0 <r < a (r é a distância do ponto até o eixo z). b. Calcule o campo magnético na região a < r < b. c. Calcule a integral B dl ao longo do quadrado de lado c > b coaxial com o eixo z, conforme a figura. 17
Gabarito Parte 2 1) 2) 3) a. B(P) = ¼ aç OÈÉ k b. B = X¹ a OK k c. B = X¹ a OK (1 + N P ) k a. B = b. Ì WçÍ Ì WÎ 0, para y < b e y > b + 2a ¹ a ÌX OP = N ÏF a. B = XL¹ a OPK Z θ b. B = ¹ ax OPL θ c. B dl = 0 θ, caso contrário 18