MATEMÁTICA A - 12o Ano

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Resolução gráfica de problemas e equações Eercícios de eames e testes intermédios 1. Seja f a função, de domínio R, definida por 2 + 1 + e se 0 f() = 3 + ln se > 0 Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, os pontos A e, ambos pertencentes ao gráfico de f, e a reta A f y A Sabe-se que: a reta A é paralela à bissetriz dos quadrantes pares; os pontos A e têm abcissas simétricas; a abcissa do ponto A pertence ao intervalo ]0, 1[ Seja a a abcissa do ponto A Determine o valor de a, recorrendo à calculadora gráfica. O equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); indicar o valor de a, com arredondamento às milésimas. Teste Intermédio 12 o ano 30.04.2014 2. Considere a função f, de domínio ]0, π[ definida por f() = ln + cos 1 Sabe-se que: A é um ponto do gráfico de f a reta tangente ao gráfico de f, no ponto A, tem inclinação π 4 radianos. Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica. equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas. Eame 2013, Ép. especial Página 1 de 22

3. Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função f, de domínio [ 1, 2] definida por f() = 3 1+ln(2 +1), o ponto A de coordenadas (2, 0) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico da função f Eiste uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP ] é mínima. Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica. reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar o valor da área do triângulo [AOP ] com arredondamento às centésimas. Eame 2013, 2 a Fase 4. Considere a função f, de domínio R \ 0, definida por e 1 e f() = 4 1 se < 0 ln se > 0 Resolva, recorrendo à calculadora gráfica. Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função g, de domínio R +, definida por g() = f() + ln 2 Sabe-se que: A é o ponto de coordenadas (2, 0) é o ponto de coordenadas (5, 0) P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [AP ] Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [AP ] é 1 equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento às centésimas. Eame 2013, 1 a Fase Página 2 de 22

3 + 3 2 + 9 5. Seja f a função, de domínio R, definida por f() = ln(3 11) 4 Considere, num referencial o.n. Oy, o triângulo [OP Q] tal que: se 4 se > 4 o ponto P é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eio das ordenadas; o ponto Q é o ponto do gráfico da função f que tem abcissa positiva e ordenada igual à ordenada do ponto P Determine um valor aproimado da área do triângulo [OP Q], recorrendo à calculadora gráfica. reproduzir, num referencial, o gráfico da função f para [0, 10] desenhar o triângulo [OP Q] indicar a abcissa do ponto Q arredondada às milésimas; apresentar a área do triângulo [OP Q] arredondada às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Teste Intermédio 12 o ano 24.05.2013 6. Considere, num referencial o. n. Oy, o gráfico da função f, de domínio R +, definida por f() = e 0,1 + ln(3 + 1) Seja P um ponto do gráfico de f A distância do ponto P à origem é igual a 2 Determine a abcissa do ponto P, recorrendo à calculadora gráfica. equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto P com arredondamento às centésimas. Eame 2012, Ép. especial 7. Considere a função f, de domínio [ 7, 0[, definida por f() = e + ln( 2 ) + 3 Sejam A e os pontos de intersecção do gráfico de f com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja d a distância entre os pontos A e Determine d, recorrendo à calculadora gráfica. reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; assinalar os pontos A e indicar as coordenadas dos pontos A e com arredondamento às centésimas; apresentar o valor de d com arredondamento às centésimas. Eame 2012, 2 a Fase Página 3 de 22

8. Considere a função f, de domínio R, e a função g, de domínio ]0, + [, definidas por f() = e 2 4e + 4 e 2 e g = ln() + 4 Considere, num referencial o. n. Oy, os gráficos das funções f e g e o triângulo [OA] Sabe-se que: O é a origem do referencial; A e são pontos do gráfico de f a abcissa do ponto A é o zero da função f o ponto é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o gráfico da função g Determine a área do triângulo [OA], recorrendo à calculadora gráfica. reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificados, incluindo o referencial; assinalar os pontos A e indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto com arredondamento às centésimas; apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas. Eame 2012, 1 a Fase 9. De uma certa função f sabe-se que: y o seu domínio é ]1, + [ a sua derivada é dada por f () = 2 4 + 9 4 ln( 1) 2 Na figura ao lado, estão representadas: parte do gráfico da função f a reta r que é tangente ao gráfico da função f no ponto A, de abcissa 2 a reta s que é tangente ao gráfico da função f no ponto 0 r A 2 b f s As retas r e s são paralelas. Seja b a abcissa do ponto Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de b equacionar o problema; reproduzir e identificar o(s) gráfico(s) que tiver necessidade de visualizar na calculadora para resolver graficamente a equação; assinalar o ponto relevante para a resolução do problema; apresentar o valor de b arredondado às centésimas. Teste Intermédio 12 o ano 24.05.2012 Página 4 de 22

10. Na figura ao lado, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico da função f, de domínio ], 6[, definida por f() = 2 + 15 ln (3 12 ) Considere que um ponto C se desloca ao longo do gráfico de f, e que C tem coordenadas positivas. Para cada posição do ponto C, considere o rectângulo [OAC], em que o ponto A pertence ao eio das abcissas e o ponto pertence ao eio das ordenadas. y f C Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto A para a qual a área do rectângulo [OAC] é máima. escrever a epressão que dá a área do rectângulo [OAC] em função da abcissa do ponto A; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas. 0 A Eame 2011, Prova especial 11. De duas funções f e g sabe-se que: f tem domínio R e é definida por f() = π 4 sen (5) ] g tem domínio 2π 3, π 3 g () = log 2 ( π 6 ) [, e g, primeira derivada de g, tem domínio, ] 2π [ 3, π ; e é definida por 3 ] Seja h a função, de domínio 2π [ 3, π, definida por h() = f() g() 3 O ponto A pertence ao gráfico da função h Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eio O Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas. 12. Considere a função f, de domínio Sabe-se que: é um ponto do gráfico de f ] 0, π [,definida por f() = e 2 + cos 2 2 2 a reta de equação y = 8 é paralela à reta tangente ao gráfico de f no ponto Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto equacionar o problema; Eame 2011, Ép. especial reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto com arredondamento às centésimas. Eame 2011, 2 a Fase Página 5 de 22

3 se < 1 1 13. Considere a função f, de domínio R, definida por f() = 2 + ln se 1 Eistem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas. Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluíndo o referencial; assinalar esses pontos; indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas. Eame 2011, 1 a fase 14. Seja f a função, de domínio ]0, 3[ definida por f() = ln + sen (2) O ponto A pertence ao gráfico da função f Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto A tem declive 3 Determine a abcissa do ponto A Na resolução deste item deve: traduzir o problema por uma equação; resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora; indicar o valor pedido arredondado às centésimas. Deve reproduzir e identificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gráfico(s), o(s) ponto(s) relevante(s). 15. Considere a função f, de domínio ]0, π[, definida por f() = ln cos Sabe-se que: O é a origem do referencial; Teste Intermédio 12 o ano 26.05.2011 A é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eio O, que se situa mais próimo da origem O; é o ponto de intersecção do gráfico da função f com a reta bissectriz dos quadrantes pares. Determine a área do triângulo [OA], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as coordenadas dos pontos A e, arredondando às milésimas as coordenadas do ponto ; desenhar o triângulo [OA], assinalando os pontos que representam os seus vértices; apresentar o resultado pedido, com arredondamento às centésimas Eame 2010, Ép. especial Página 6 de 22

16. Considere a função f, de domínio ]0, + [, definida por e 3 se 0 < 2 f() = 1 ln se > 2 5 Determine a área do triângulo [AC], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Sabe-se que: A, e C são pontos do gráfico da função f A e são os pontos cujas abcissas são as soluções, no intervalo ]0, 2], da equação f() = f(15) C é o ponto cuja ordenada é o mínimo da função f, no intervalo ]0, 2], e cuja abcissa pertence ao intervalo ]0, 2] reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as coordenadas dos pontos A, e C, com arredondamento às centésimas; apresentar o resultado pedido, com arredondamento às décimas. Eame 2010, 2 a Fase 17. Considere uma função f, de domínio ]0, 3[, cuja derivada f, de domínio ]0, 3[, é definida por f () = e 1 Estude a função f quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar os intervalos de monotonia da função f; assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas. Eame 2010, 1 a Fase 18. Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo [AC], cujos catetos [A] e [C], medem 5 unidades. Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [C], nunca coincidindo com nem com C Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo AP ( ] 0, π 4 [) Seja f a função que, a cada valor de, faz corresponder o perímetro do triângulo [AP C] Sabe-se que f() = 5 cos 5 tg + 50 + 5 Eiste um valor de para o qual o perímetro do triângulo [AP C] é igual a 16 Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora. Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema. A Teste Intermédio 12 o ano 19.05.2010 5 C P 5 Página 7 de 22

2 19. Seja f a função, de domínio R + se 0 < < 2 2, definida por f() = e + + 1 se 2 Seja g a função, de domínio R +, definida por g() = 3 + ln() A equação f() = g() tem eatamente duas soluções. Determine essas soluções, utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora. Apresente as soluções arredondadas às centésimas. Apresente os gráficos que obteve na calculadora e assinale os pontos relevantes. Teste Intermédio 12 o ano 15.03.2010 20. Seja f a função, de domínio [0, π ], definida por f() = sen (2) cos 2 No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor, aproimado às décimas, da área do triângulo [AC], em que: A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máima; e C são os pontos de interseção do gráfico da função f com a reta de equação y = 0, 3. Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial. Desenhe o triângulo [AC], assinalando os pontos que representam os seus vértices. Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas decimais. Eame 2009, 2 a Fase 21. Considere a função g, de domínio R +, definida por g() = e 2 + ln O gráfico de g contém um único ponto A com abcissa pertencente ao intervalo ]0, 2] e cuja ordenada é igual ao dobro da abcissa. Traduza esta situação por meio de uma equação. Resolva a equação, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Indique as coordenadas do ponto A, com aproimação às décimas. Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou os gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial. Assinale o ponto A em que se baseou para dar a sua resposta. 22. Considere a função g, de domínio [ 12, + [, definida por Eame 2009, 1 a Fase 2 + ln(1 + 2 ) se 1 2 < 1 g() = 2 se = 1 1 se > 1 1 Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o valor de pertencente ao intervalo [ 12 [, 1 tal que g() = 2 + g(4). Indique o valor pedido arredondado às décimas e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora. Teste Intermédio 12 o ano 27.05.2009 Página 8 de 22

23. Seja f a função de domínio R definida por 3 2 3 f() = 2 se < 1 2 + 1 ln() e 1 se 1 y C Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f A 0 1 O retângulo [ACD] tem dois vértices no eio O, estando os outros dois no gráfico de f. O ponto A tem abcissa 2. Determine a área do retângulo [ACD]. D Nota: Na resolução deste problema vai necessitar de determinar a abcissa do ponto C. Para tal, utilize as capacidades gráficas da sua calculadora. Reproduza na sua folha de prova a parte do gráfico de f que visualizou, bem como a reta C. Assinale também o ponto C e apresente a sua abcissa arredondada às centésimas. Apresente a área pedida igualmente arredondada às centésimas. Teste Intermédio 12 o ano 11.03.2009 24. Considere a função f, de domínio R \ {0}, definida por f() = e. No intervalo ]0, 5], a reta de equação y = 6 interseta o gráfico da função f nos pontos A e. Determine a distância de A a, com aproimação às décimas, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Apresente o gráfico, ou os gráficos, em que se baseou para dar a sua resposta, assinalando os pontos A e e indicando as suas coordenadas com aproimação às décimas. 25. Considere a função f, de domínio ] 12, + [, definida por f() = Eame 2008, Ép. especial ln(2 + 1), e a função g, de domínio 2 + 1 R, definida por g() = 2 (ln designa logaritmo de base e). Indique as soluções inteiras da inequação f() > g(), recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Para resolver esta inequação, percorra os seguintes passos: visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções; reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; assinale, ainda, os pontos A e, de intersecção dos gráficos das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproimação às décimas. Eame 2008, 2 a Fase Página 9 de 22

26. Considere, num referencial ortonormado Oy, os gráficos das funções f e g, de domínio [0, 3], definidas por f() = ln( + 2) e g() = e e 1 (ln designa logaritmo de base e). Determine a área de um triângulo [OA], com aproimação às décimas, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Para construir o triângulo [OA], percorra os seguintes passos: visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções, no domínio indicado; reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; assinale, ainda: a origem O do referencial; o ponto A de interseção do gráfico das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproimação às décimas; o ponto de interseção do gráfico da função g com o eio O. Eame 2008, 1 a Fase 27. Seja f a função de domínio [ 3, 3] definida por e 1 + se 3 < 0 f() = 2 + ln(1 + 3) se o 3 y r Na figura ao lado está representado o gráfico da função f Tal como a figura sugere: é um ponto gráfico de f que pertence ao segundo quadrante a reta r é tangente ao gráfico de f, no ponto. 3 0 3 Considere o seguinte problema: Determinar a abcissa do ponto, sabendo que a reta r tem declive 0,23 Traduza este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora resolva-a graficamente, encontrando assim um valor aproimado da abcissa do ponto. Pode realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora. Reproduza na sua folha de prova o(s) gráfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente o valor pedido arredondado às centésimas. Teste Intermédio 12 o ano 29.04.2008 Página 10 de 22

28. Admita que uma certa população de seres vivos evolui de acordo com a seguinte lei: o número de indivíduos da população, t dias após um certo instante inicial, é dado aproimadamente por P (t) = ae kt ( t R 0 + ) em que a é o número de indivíduos da população no instante inicial (a > 0) k é uma constante real Admita que, às zero horas do dia 1 do corrente mês, se iniciou, em laboratório, uma cultura de bactérias, em pequena escala, na qual se juntaram 500 indivíduos de uma estirpe A e 500 indivíduos de uma estirpe. Sabe-se que no caso da estirpe A, o valor da constante k A, com quatro casas decimais, é k A = 0, 6931 no caso da estirpe, o valor da constante k, com quatro casas decimais, é k = 0, 1155 Nunca foram introduzidos mais indivíduos destas duas estirpes nesta cultura. Quer a estirpe A, quer a estirpe, evoluíram de acordo com a acima lei referida. Durante a primeira semana, houve um momento em que o número total de indivíduos destas duas estirpes, eistentes na cultura, atingiu o valor mínimo. Utilizando os valores de k a e de k b e recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o dia e a hora em que tal aconteceu (hora arredondada às unidades). Apresente, na sua resposta: a epressão da função que dá o número total de indivíduos destas duas estirpes, eistentes na cultura, em função do tempo; o gráfico dessa função, para t [0, 7], no qual deve estar devidamente assinalado o ponto necessário à resolução do problema; a coordenada relevante desse ponto, arredondada às milésimas. Teste Intermédio 12 o ano 17.01.2008 sen + ln 29. Considere a função g, definida no intervalo ]1, 7[ por g() = (ln designa logaritmo na base e) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função g e reproduza-o na sua folha de prova. Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinte problema: Seja a função g derivada de g. O conjunto solução da inequação g () < 0 é um intervalo aberto ]a, b[. Determine os valores de a e de b. Apresente os resultados arredondados às centésimas. Justifique a sua resposta. Eame 2007, 2 a Fase Página 11 de 22

30. Seja f a função, de domínio [1, 5], definida por f() = ln (ln designa logaritmo na base e) y Na figura ao lado está representado, ortonormado Oy, o gráfico da função f. em referencial f Considere que um ponto P se desloca ao longo do gráfico de f. Para cada posição do ponto P, considere o retângulo em que um dos lados está contido no eio O, outro na reta de equação = 5 e os outros dois nas retas vertical e horizontal que passam pelo ponto P. 0 P 1 5 Eprima a área do retângulo em função da abcissa de P, e, recorrendo à calculadora gráfica, determine a abcissa de P (aproimada às centésimas) para a qual a área do retângulo é máima. Apresente os elementos recolhidos na utilização da calculadora: o gráfico obtido; o ponto de ordenada máima e respetivas coordenadas. Eame 2007, 1 a Fase 31. Considere, num referencial o. n. oy, a curva C, que representa graficamente a função f, de domínio [0, 1], definida por f() = e + 3 a reta r, de equação y = 5 Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, visualize a curva C e a reta r, na janela [0, 1] [0, 7] (janela em que [0, 1] e y [0, 7]). Reproduza, na sua folha de teste, o referencial, a curva C e a reta r, visualizados na calculadora. Assinale ainda os pontos O, P e Q, em que: O é a origem do referencial; P é o ponto de coordenadas (0, e); Q é o ponto de interseção da curva C com a reta r; relativamente a este ponto, indique, com duas casas decimais, a sua abcissa, que deve determinar com recurso à calculadora. Desenhe o triângulo [OP Q] e determine a sua área. Apresente o resultado final arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. Teste Intermédio 12 o ano 15.03.2007 Página 12 de 22

32. Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra mais próimo do Sol. Na figura está assinalado um ângulo de amplitude radianos ( [0, 2π[). Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado etremidade passa na Terra. A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproimadamente) dada, em função de por d = 149, 6(1 0, 0167 cos ). Sabe-se que verifica a relação 2πt T = 0, 0167 sen em que: t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo ; T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias). Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de Janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais. Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida graficamente, com recurso à calculadora; os apresente todos elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s). Eame 2006, 2 a Fase 33. Considere a função f definida no intervalo [1, 2] por f() = cos( 1) + ln (ln designa logaritmo de base e). Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real f, a função g, definida no intervalo [1, 2] por g() = a.f() + b tem por contradomínio o intervalo [4, 5]. Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b, arredondados às centésimas. Eplique como procedeu. Na sua eplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que tenha visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos. Sempre que, em valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve um mínimo de três casas decimais. Eame 2006, 1 a Fase 34. Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares, concluiu que a quantidade de azeite Azeitona do Campo, vendida num mês por essa empresa, depende do lucro obtido, de acordo com a função L() = ( 3)e 14 sendo o preço de venda ao público, em euros, de 1 litro desse azeite e L() o lucro mensal da empresa (em euros), resultante da venda do azeite. Utilize a calculadora para resolver graficamente o seguinte problema: Entre que valores deve variar o preço de um litro de azeite de venda ao público para que o lucro mensal seja superior a dezasseis mil e quinhentos euros? Apresente os valores em euros, arredondados aos cêntimos (de euro). Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas relevantes de alguns pontos. Teste Intermédio 12 o ano 17.03.2006 Página 13 de 22

35. Na figura ao lado, estão representadas uma semirreta A e uma circunferência de centro O e de raio 1 (os pontos O, A e são colineares; o ponto A pertence à circunferência. Considere que o ponto P se desloca ao longo da semirreta A, nunca coincidindo com o ponto A. Os pontos R e S acompanham o movimento do ponto P, de tal forma que as retas P R e P S são sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e O α S, respetivamente. Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo SOR S (α ]0, π[). ( α ) A área do quadrilátero [ORP S] é dada, em função de α, por f(α) = tg 2 Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de α, para o qual a área do quadrilátero [ORP S] é igual à área da região sombreada? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como as coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às décimas. 36. Na figura ao lado está representada a trajetória de uma bola de futebol, depois de ter sido pontapeada por um jogador de da seleção portuguesa, durante um treino de preparação para o EURO-2004. Designou-se por a a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontapeada e o ponto onde ela caiu. Considere a função h definida em [0, a] por h() = 2 + 10 ln(1 0, 1) (ln designa logaritmo de base e) 1 R A P Eame 2005, Ép. especial Admita que h() é a distância, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua projeção no solo se encontra a metros do local onde foi pontapeada. Recorrendo à calculadora, determine o valor de a, arredondado às centésimas. Eplique como procedeu, apresentando todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. Eame 2005, 2 a Fase Página 14 de 22

37. No início de 1972, havia quatrocentos lobos num determinado parque natural. As medidadas de proteção a lobos fizeram com que o referido número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que o número de lobos cresça até bastante perto de um milhar, mas não permitem que esse valor seja ultrapassado. Nestas condições, apenas uma das epressões seguintes pode definir a função P que dá o número aproimado de lobos eistentes no parque natural, t anos após o início de 1972. (A) 1000 1 + e 0,5t () 1000 1 + 1, 5e 0,5t (C) 1200 1 + 2e t (D) 1000 600(t3 + 1) e t Qual é a epressão correta? Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, eplique as razões que o levariam a rejeitar as outras três opções (apresente três razões diferentes, uma por cada opção rejeitada). Nota: poder-lhe-à ser útil recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora. Se o fizer, deve reproduzir o(s) gráfico(s) obtido(s). Eame 2005, 2 a Fase 38. Na figura ao lado está representada uma circunferência com centro no ponto O e raio 3. Os diâmetros [EF ] e [GH] são perpendiculares. A G I Considere que o ponto se desloca sobre o arco F G. Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto, de tal forma que: as cordas [A] e [CD] permanecem paralelas a [EF ]; [AD] e [C] são sempre diâmetros da circunferência Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são sempre os pontos de interseção de [GH] com [A] e [CD], respetivamente. Para cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo F O, da região sombreada é dada, em função de por A() = 18( + sen. cos ) E C ( O J H [ 0, π 2 3 D ]) e a a área Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de para o qual a área da região sombreada é igual a metade da área do círculo? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente obtido(s), bem como coordenadas relevantes o gráfico, ou gráficos, de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. Eame 2005, 1 a Fase F Página 15 de 22

39. Considere a função f, de domínio R, definida por f() = sen (a), onde a designa uma constante real (o argumento da função seno está epresso em radianos). y Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função f. Na figura estão também representadas: uma reta r tangente ao gráfico f de no ponto de abcissa 0; uma reta s tangente ao gráfico f de no ponto de abcissa 2π. r 0 f 2π s Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: [ ] 3 Sabendo que as retas r e s são perpendiculares e que a 2, 2, qual é o valor de a? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum (ou alguns) ponto(s). Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às décimas. 40. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = e 1 Eame 2004, Ép. especial O conjunto solução da inequação f() 3 + ln é um intervalo fechado [a, b] (ln designa logaritmo de base e). Recorrendo à sua calculadora, determine, graficamente, valores para a e b, arredondados às centésimas. Nota: apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente, o gráfico ou gráficos obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Eame 2004, 2 a Fase 41. A figura ao lado, à esquerda, representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de um combustível. Admita que a função V, de domínio [0, 2π], definida por V () = 80( sen ) dá o volume, em metros cúbicos, de combustível eistente no depósito, em função da amplitude, em radianos, do arco AC (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura da direita). Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco AC para que eistam 300m 3 de combustível no depósito? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas. Eame 2004, 1 a Fase Página 16 de 22

42. O polinómio A() = 4 7 3 + 7 2 + 15 6 tem quatro raízes reais distintas. Recorrendo à sua calculadora, determine, com aproimação às décimas, o número real positivo k para o qual o polinómio A() k tenha três raízes reais distintas. Eplique como procedeu. Na sua eplicação, deve incluir o(s) gráfico(s) obtido(s) na sua calculadora, bem como coordenada(s) que considere relevante(s) de algun(s) ponto(s). Eame 2003, Prova para militares 43. A Rita está a participar num concurso de papagaios de papel. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir: Após um certo instante, indicado pelo júri: o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; o papagaio tem de permanecer no ar, pelo menos doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros; o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por ( ) ( ) t 2 t d(t) = 9, 5 + 7 sen + 5 cos 200 4 (os argumentos das funções seno e co-seno estão epressos em radianos). Note-se que, a partir do momento em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao solo deia de ser dada pela epressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero. Deverá a Rita ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, eplicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). 44. De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua derivada é dada por f () = ( + 1)e 10 Eame 2003, 2 a Fase Seja A o único ponto de infleão do gráfico de f. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondada às décimas. Eplique como procedeu. Inclua, na sua eplicação, o(s) gráfico(s) que obteve na calculadora. Eame 2003, 1 a fase - 2 a chamada Página 17 de 22

45. Na figura ao lado está representado a sombreado um polígono [AEG]. Tem-se que: G F [AF G]é um quadrado de lado 2 F D é um arco de circunferência de centro em ; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [D], de tal forma que se tem sempre [EC] [D] designa ( [ a amplitude, em radianos, do ângulo CE 0, π ]) A 2 2 2 2 C E D Sabendo que a área do polígono [AEG] é dada, em função de, por A() = 2(1 + sen + cos ), recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de para os quais a área do polígono [AEG] é 4, 3? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas. Eame 2003, 1 a fase - 1 a chamada 46. Considere as funções f : R + R e g : R R, definidas por: f() = ln (ln designa logaritmo de base e) g() = 2 3 Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, investigue se todo o número do intervalo [0, 1; 1, 8] é solução da inequação f() > g(). Indique a conclusão a que chegou e eplique como procedeu. Deverá incluir na sua eplicação os gráficos obtidos na sua calculadora. Eame 2002, Prova para militares 47. Considere as funções f e g de domínio R, definidas por f() = 1 3 + 2e1 g() = 2 sen cos Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f() > g(), no intervalo de [0, 2π].Eplique como procedeu. Eame 2002, 2 a Fase 48. De uma função f, de domínio [ π, π], sabe-se que a sua derivada f está definida igualmente no intervalo [ π, π] e é dada por f () = + 2 cos O gráfico de f contém um único ponto onde a reta tangente é paralela ao eio O. Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Eplique como procedeu. Eame 2002, 1 a fase - 2 a chamada Página 18 de 22

49. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respetivamente, por A(t) = 4t 3 e t e C(t) = 2t 3 e 0,7t A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [0, 12]). Considere as seguintes questões: 1. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado? 2. Depois de atingir o nível máimo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve tomá-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro? Utilize as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, eplicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). Eame 2002, 1 a fase - 1 a chamada 50. Considere a função, de domínio R +, definida por f() = + sen π Recorrendo [ às capacidades [ gráficas da sua calculadora, determine o número de zeros da função f, no 1 intervalo 4, + Eplique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, em que se baseou para dar a sua resposta. Eame 2001, Prova para militares 51. Na figura ao lado estão representadas, em referencial o. n. Oy uma curva C, gráfico da função f, de domínio R, definida por f() = e uma reta r, gráfico da função g, de domínio R, definida por g() = 2 uma reta s paralela ao eio Oy Sejam A e os pontos de interseção da reta s com a curva C e com a reta r, respetivamente. Imagine que a reta s se desloca, mantendo-se sempre paralela ao eio Oy. Os pontos A e acompanham, naturalmente, o deslocamento da reta s. Seja a abcissa do ponto A. Recorrendo à calculadora, determine [0, 2] tal que A = 5. Apresente o resultado aproimado às décimas. Eplique como procedeu (na sua eplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão). y 0 A s C r Eame 2001, Ép. especial Página 19 de 22

52. Admita que, num dia de Verão, a temperatura da água de um lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproimadamente, por [ ] π(t + 7) f(t) = 17 + 4 cos 12 onde t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia. (Considere que o argumento da função cosseno está epresso em radianos.) Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, indique como varia a temperatura da água do lago, ao longo do dia. Não deie de referir os seguintes aspetos: quando é que a temperatura aumenta, e quando é que diminui; a que horas é que a temperatura é máima, e qual é o valor desse máimo; a que horas é que a temperatura é mínima, e qual é o valor desse mínimo; as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho só é realmente bom se a temperatura da água não for inferior a 19 graus. Utilize a calculadora, se considerar que lhe pode ser útil. Se o desejar, pode enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos. Eame 2001, Ép. especial 53. Na figura ao lado está representado o gráfico da função f, de domínio [0, 2π], definida por f() = + 2 cos. y A e são pontos do gráfico cujas ordenadas são etremos relativos de f, e a ordenada do ponto A é π + 6 3 6 Considere a reta tangente ao gráfico de f no ponto A. Essa reta interseta o gráfico num outro ponto C. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproimado para a abcissa do ponto C (apresente o resultado arredondado às décimas). Eplique como procedeu (na sua eplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão). A 0 2π Eame 2001, 1 a fase - 2 a chamada 54. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = 3 2 ln (ln designa o logaritmo de base e). O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproimado para a abcissa desse ponto (apresente o resultado arredondado às décimas). Eplique como procedeu (na sua eplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão). Eame 2001, 1 a fase - 1 a chamada Página 20 de 22

55. Considere a função h, de domínio R, definida por + 1 1 h() = 2 sen 2 se < 0 se = 0 se > 0 Considere a função j, de domínio R \ {0}, definida por j() = 1 3 No intervalo [ 1, 1000π], os gráficos de j e de h intersetam-se em 1001 pontos. Destes 1001 pontos, seja A o que tem menor abcissa positiva. Determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima com aproimação às décimas). Eame 2001, Prova modelo 56. Considere a função f, de domínio R, definido por f() = + 3 sen 2 ln(e + 4) 56.1. Sabe-se que eiste lim f() e que o seu valor é um número inteiro. + Recorrendo à sua calculadora, conjeture-o. Eplique como procedeu. 56.2. Será conclusivo, para a determinação de lim f(), um método que se baseie eclusivamente na + utilização da calculadora? Justifique a sua resposta. Eame 2001, Prova modelo 57. Considere a função f de domínio R definida por f() = 2 cos Na figura ao lado estão representadas: parte do gráfico da função f parte de uma reta r, cuja inclinação é 45 o, que contém o ponto A( 3, 0) e que interseta o gráfico da função f no ponto Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AO], onde O designa a origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades. y f r Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal. A 0 Eame 2000, 2 a fase 58. No ano de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem n do ano, é dado em horas, aproimadamente por f(n) = 12, 2 + 2, 64 sen π(n 81) 183 (o argumento da função seno está epresso em radianos). n {1, 2, 3,..., 366} Por eemplo: No dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol foi de f(34) 10, 3 horas. Em alguns dias do ano, o tempo entre o nascer e o pôr do Sol é superior a 14,7 horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece. Indique como procedeu. Eame 2000, 1 a fase - 1 a chamada Página 21 de 22

59. Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor. A concentração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ter sido administrado a uma pessoa, é dado por c(t) = t 2 e 0,6t (t 0) O mesmo laboratório realizou uma campanha de promoção deste medicamento, baseado no slogan: AntiDor - Ação rápida e prolongada! Numa breve composição, comente o slogan, tendo em conta que: para a maioria das dores, o AntiDor só produz efeito se a sua concentração for superior a 1 decigrama por litro de sangue; de acordo com uma associação de defesa do consumidor, um bom analgésico deve começar a produzir efeito, no máimo, meia hora após ter sido tomado, e a sua ação deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas (após ter começado a produzir efeito). Nota: na resolução deste item, deve utilizar as capacidades gráficas da sua calculadora e enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos. Eame 2000, Prova modelo 60. Um paraquedista salta de um helicóptero. Ao fim de algum tempo, o paraquedas abre. Admita que a distância (em metros) a que o paraquedista se encontra do solo, t segundos após a abertura do paraquedas, é dada por d(t) = 840 6t + 25e 1,7t Utilize a calculadora para determinar, com aproimação ao segundo, quanto tempo, após a abertura do paraquedas, demora o paraquedista a atingir o solo. Eplique como procedeu. Eame 1998, Prova para militares (prog. antigo) Página 22 de 22