Instituto de Matemática e Estatística, UFF Setembro de 2013

Operações Instituto de Matemática e Estatística, UFF Setembro de 2013

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Boole Um dos pioneiros da lógica matemática e dos estudos da lógica algébrica. Em sua homenagem foi cunhado o termo Álgebra de Boole. George Boole (1815 1864)

Para definir um conjunto por listagem, devemos utilizar objetos que, supostamente, existem antes da listagem. Para definir um conjunto por propriedade devemos utilizar um conjunto que, supostamente, existe antes da definição por propriedade, e de uma propriedade.

Para que não seja preciso especificar objetos ou prévios particulares a cada vez que usamos estes procedimentos de definição, admitimos a existência de um conjunto único que contém todos os objetos que são necessários, em um dado contexto. Definição O conjunto, denotado por U, é o conjunto que possui todos os objetos que são necessários, em um dado contexto.

Propriedades básicas do conjunto Para todo conjunto A, para todo objeto x U, temos que: (1) x U. (2) A U. Em um dado contexto, para qualquer objeto x, a proposição x U é verdadeira.

O método de definição por propriedade afirma que, para qualquer U e qualquer propriedade P(x), o conjunto existe. {x U : P(x)} Assim, tomando o conjunto N dos números naturais como, o conjunto Z = {x N : x < 0} existe. Mas, como pode se observar, este conjunto não possui elementos.

Para que o método de definição por propriedade possa ser aplicado indiscriminadamente, vamos assumir a existência de um conjunto que não possui elementos. Definição O conjunto, denotado por, é o conjunto que não possui elementos. Em símbolos: = {x U : x x}.

Um conjunto pode ser definido por várias propriedades. Dados os A = {x Z : x é par e ímpar} e B = {x N : x é primo e 24 x 28}, temos que A e B são s.

Mas se A e B são s, então A = B. A justificativa deste fato é um pouco sutil, mas vamos a ela: Sejam A e B s. Não há elementos em A que não estão em B. Não há elementos em B que não estão em A. Assim, todos os elementos de A são elementos de B e todos os elementos de B são elementos de A. Logo, A = B.

Propriedades básicas do conjunto Para todo conjunto A, para todo objeto x U, temos que: (1) Existe um único conjunto. (2) x. (3) A. Observe que, em qualquer contexto, para qualquer objeto x, a proposição x é falsa.

Relações Relações atuam objetos, determinando se os objetos estão ou não de uma certa maneira interligados. = e são relações. serem amigos um do outro e se detestarem mutuamente são relações pessoas.

Operações Operações atuam objetos, formando objetos a partir de objetos dados. As definições de por listagem e por propriedades podem ser vistas como. Definição por listagem atua objetos e forma um conjunto. Definição por propriedade atua um conjunto e uma propriedade e forma um conjunto. Vamos, agora, estudar as mais importantes.

Definição Sejam A, B U. A interseção de A com B é o conjunto cujos elementos são os objetos do U que pertencem a A e a B simultaneamente. Em símbolos: A B = {x U : x A e x B}.

Para todos A, B, C U, temos que: Propriedades básicas de (1) Substitutividade Se A = B, então A C = B C. (2) Associatividade A (B C) = (A B) C. (3) Comutatividade A B = B A.

(4) Elemento neutro A U = A. (5) Elemento zero A =. (6) Idempotência A A = A. Propriedades básicas de (7) Se A B, então A C B C. (8) A B A.

Definição Sejam A, B U. A união de A com B é o conjunto cujos elementos são os objetos de U que pertencem a A, os que pertencem a B e os que pertencem simultaneamente a A e a B. Em símbolos: A B = {x U : x A ou x B}.

Para todos A, B, C U, temos que: Propriedades básicas de (1) Substitutividade Se A = B, então A C = B C. (2) Associatividade A (B C) = (A B) C. (3) Comutatividade A B = B A.

(4) Elemento neutro A = A. (5) Elemento zero A U = U. (6) Idempotência A A = A. Propriedades básicas de (7) Se A B, então A C B C. (8) A A B.

Propriedades relacionando e (9) Distributividade A (B C) = (A B) (A C). A (B C) = (A B) (A C). (10) Absorção A (A B) = A. A (A B) = A.

Definição Seja A U. O complemento de A é o conjunto cujos elementos são os objetos de U que não pertencem a A. Em símbolos: A = {x U : x A}.

Propriedades básicas de Para todos os A, B e C, temos que: (1) Substitutividade Se A = B, então A = B. (2) Involutividade A = A. (3) Leis de De Morgan A B = A B. A B = A B.

(4) Elemento simétrico (da união) A A = U. Propriedades básicas de (5) Elemento inverso (da interseção) A A =. (6) Se A B, então B A. (7) U =. (8) = U.

Problema Prove que, para todos A, B, C U. 1. A B se, e somente se, A B = A. 2. Se A B e A C, então A B C.

1. Exercícios do Capítulo 3 do Menezes Exercícios (Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006). 2. Exercícios do Capítulo 2, pp. 73-75, itens 1, 2, 7, 10-15, 16(a-e), 16(g,h), 17, 21, 22, 25, do Scheinerman (E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006). 3. Exercícios da Lista 4.