Intervalo de confiança para α

Intervalo de confiança para α Teorema (Intervalo de Confiança a (1 γ) 100% para α) Dado o Modelo de Regressão Linear Simples, um intervalo a (1 γ) 100% de confiança para a ordenada na origem, α, da recta de regressão populacional é dado por: ] a t γ/2(n 2) ˆσˆα, a + t γ/2(n 2) ˆσˆα [, [ ] com ˆσˆα = QMRE 1 n + x2 S xx e onde a, QMRE, S xx e t γ/2,(n 2) foram definidos em acetatos anteriores. NOTA: A amplitude do IC aumenta com SQRE e com x 2 e diminui com n e S xx. J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 36 / 80

Um alerta sobre Intervalos de Confiança Tal como na construção de intervalos de confiança anteriores (disciplina de Estatística), existem duas facetas contraditórias: o grau de confiança em como intervalos deste tipo contêm os verdadeiros valores de α ou β; e a precisão (amplitude) dos intervalos. Quanto maior o grau de confiança (1 γ) 100% associado a um intervalo, menor será a sua precisão, isto é, maior será a sua amplitude (e viceversa). J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 37 / 80

Testes de hipóteses para o declive β Sendo válido o Modelo de Regressão Linear Simples, pode efectuar-se o seguinte Teste de Hipóteses a β (Bilateral) Hipóteses: H 0 : β = c vs. H 1 : β c. =c {}}{ Estatística do Teste: T = ˆβ β H0 t n 2, sob H 0. Nível de significância do teste: γ Região Crítica (Região de Rejeição): Bilateral ˆσˆβ Rejeitar H 0 se T calc > t γ/2(n 2) dt(x, 6) 0.0 0.1 0.2 0.3 3 2 1 0 1 2 3 x J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 38 / 80

Testes de hipóteses para o declive β Sendo válido o Modelo de Regressão Linear Simples, pode efectuar-se o seguinte Teste de Hipóteses a β (Unilateral direito) Hipóteses: H 0 : β c vs. H 1 : β > c. =c {}}{ Estatística do Teste: T = ˆβ β H0 t n 2, sob H 0. Nível de significância do teste: γ Região Crítica (Região de Rejeição): Unilateral direita ˆσˆβ Rejeitar H 0 se T calc > t γ(n 2) dt(x, 6) 0.0 0.1 0.2 0.3 3 2 1 0 1 2 3 x J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 39 / 80

Testes de hipóteses para o declive β Sendo válido o Modelo de Regressão Linear Simples, pode efectuar-se o seguinte Teste de Hipóteses a β (Unilateral esquerdo) Hipóteses: H 0 : β c vs. H 1 : β < c. =c {}}{ Estatística do Teste: T = ˆβ β H0 t n 2, sob H 0. Nível de significância do teste: γ Região Crítica (Região de Rejeição): Unilateral esquerda ˆσˆβ Rejeitar H 0 se T calc < t γ(n 2) dt(x, 6) 0.0 0.1 0.2 0.3 3 2 1 0 1 2 3 x J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 40 / 80

Testes usando p values Em alternativa a fixar previamente o nível de significância γ, é possível indicar apenas o p-value associado ao valor calculado da estatística T, deixando ao critério do utilizador determinar se o p-value é, ou não, demasiado pequeno para se considerar admissível a hipótese nula H 0. Atenção ao facto de o cálculo do p-value ser feito de forma diferente, consoante a natureza das hipóteses nula e alternativa: Teste Bilateral p = P[ t n 2 > T calc ]. Teste Unilateral direito p = P[t n 2 > T calc ] Teste Unilateral esquerdo p = P[t n 2 < T calc ]. J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 41 / 80

Testes de hipóteses para a ordenada na origem α Sendo válido o Modelo de Regressão Linear Simples, podem efectuar-se os seguintes Testes de Hipóteses a α Hipóteses: H 0 : α = c vs. H 1 : α =c {}}{ Estatística do Teste: T = ˆα α H0 ˆσˆα t n 2, sob H 0. Nível de significância do teste: γ Região Crítica (Região de Rejeição): Rejeitar H 0 se T calc < t γ(n 2) (Unilateral esquerdo) T calc > t γ/2(n 2) (Bilateral) T calc > t γ(n 2) (Unilateral direito) < > c J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 42 / 80

>ÐÑ Ý Üµ A função ÙÑÑ ÖÝ, aplicada Testes de hipóteses no No software, a Regressão Linear Simples de uma variável y sobre uma variável x invoca-se através do comandoðñ: ao resultado dum comandoðñproduz a informação essencial para testes de hipóteses a α e β: Estimate As estimativas a e b Std.Error As estimativas dos erros padrões, ˆσˆα e ˆσˆβ t value O valor calculado das estatísticas dos testes às hipóteses H 0 : α(β) = 0 vs. H 1 : α(β) 0, ou seja, as quantidades T calc = a/ˆσˆα e T calc = b/ˆσˆβ Pr(> t ) O valor p (p-value) associado a essa estatística de teste. J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 43 / 80

Um exemplo No software existe um conjunto de dados relativos a 150 lírios, sobre ØØ Ö µ os quais se mediram quatro variáveis numéricas (comprimento e Ö ºÐÑ ¹ÐÑ È Ø ÐºÏ Ø È Ø ÐºÄ Ò Ø µ largura, respectivamente das sépalas e pétalas) e um factor (espécie). O objecto tem o nome Ö. Para obter uma regressão linear das larguras das pétalas sobre o comprimento das pétalas, podem dar-se os comandos seguintes (sendo o resultado do último ÁÒØ Ö Ôص¹¼º ¼ Ó ÒØ Ø Ñ Ø ËØ º ÖÖÓÖØÚ ÐÙ ÈÖ Ø µ ÙÑÑ ÖÝ Ö ºÐѵ comando apenas mostrado parcialmente): ¼º¼ ¾¹ º½ ½ º ¹½ È Ø ÐºÄ Ò Ø ¼º ½ ¼º¼¼ ¾ º ¾ ¹½ Neste caso, devem rejeitar-se as hipóteses H 0 : α = 0 e H 0 : β = 0. J. Cadima/P. Silva (DM/ISA) Matemática e Estatística 2008-09 44 / 80