INF1009.3WB: Lógica para computação Aula 13: A sintaxe da lógica de primeira ordem (cont.) Cecília Englander Guilherme F. Lima Edward Hermann Lab. TecMF, Dep. Informática, PUC-Rio 2017.2
INF1009.3WB: Lógica para computação, 2017.2 Guilherme F. Lima (glima@inf.puc-rio.br) Prof.: http://www.telemidia.puc-rio.br/~gflima/inf1009 Disc.: http://www.tecmf.inf.puc-rio.br/lgrad
Programa P1: Lógica proposicional Formalização Sintaxe Semântica (tabela-verdade) Tableaux P2: Lógica de primeira ordem (i) Formalização Sintaxe Tableaux P3: Lógica de primeira ordem (ii) Teoria dos conjuntos (básico) Semântica (estruturas)
Sumário 1. Aula passada 2. Definições de predicados 3. Formalização de argumentos 1/9
Sintaxe da lógica de primeira ordem Alfabeto Símbolos lógicos e não-lógicos Expressões Sequências finitas de símbolos do alfabeto Termos Expressões que denotam objetos Fórmulas Expressões que potencialmente possuem valor de verdade Sentenças Fórmulas sem variáveis livres Pergunta. Variável livre vs. ligada? Pergunta. Fórmula vs. sentença? 2/9
Problema Formalize em AE as seguintes sentenças x é primo Há pelo menos um número primo Há exatamente um número primo Há pelo menos dois números primos Há exatamente dois números primos 3/9
Definições de predicados Toda fórmula ϕ com n variáveis livres define uma relação R ϕ (n-ária) no universo tal que R ϕ (x 1,..., x n ) sse ϕ(x 1,..., x n ) Exemplos Zero(x) := x = 0 AE Div(x, y) := z(x y = z) AE Vazio(x) := y (y x) Sets Sub(x, y) := z(z x z y) Sets Pergunta. O que acontece se ligarmos todas variáveis livres que ocorrem nos exemplos anteriores? 4/9
Notação (:=) Vamos escrever R(x 1,..., x n ) := ϕ(x 1,..., x n ) para indicar que R(x 1,..., x n ) é uma abreviação sintática da fórmula ϕ em que as ocorrências de variáveis livres aparecem substituídas por x 1,..., x n Exemplo (AE) Se Div(x, y) := z(x z = y) então Div(0, 0) é uma abreviação para z(0 z = 0) Div(0, S(0)) é uma abreviação para z(0 z = S(0)) Div(x, x) é uma abreviação para z(x z = x) Pergunta. Qual a diferença entre =,, e :=? 5/9
Exercício Considere a linguagem de primeira ordem People tal que Igualdade: Sim Símbolos de predicado: Homem 1, Mulher 1 Símbolos de função: pai 1, mãe 1 Defina os predicados Irmão(x, y): x é irmão de y FilhoÚnico(x): x é filho único Tia(x, y): x é tia de y Prima(x, y): x é prima de y Ancestral i (x, y): x é ancestral de nível i de y Pergunta. É possível definir simplesmente Ancestral(x, y)? 6/9
Formalização de argumentos Informalmente Um argumento é um conjunto de proposições em que uma delas é a conclusão e as demais são premissas (que justificam a conclusão) Formalmente Vamos escrever {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } ψ para indicar que é possível deduzir (provar) a conclusão ψ a partir do conjunto de premissas {ϕ 1,..., ϕ n } Exemplo (AE) { x(x > 0 S(x) > 0), S(0) > 0 } S(S(0)) > 0 7/9
Exercícios 1. Brian estuda linguística. Brian pertence ao clube de xadrez. Portanto, Brian estuda linguística e pertence ao clube de xadrez. 2. Alguém estuda linguística. Alguém pertence ao clube de xadrez. Então, alguém estuda linguística e pertence ao clube de xadrez. 3. Todo sólido é solúvel em algum líquido. Portanto, existe um líquido em que todo sólido é solúvel. 4. Apenas os secretários e administradores são elegíveis para o prêmio Desk Clean. Ian é elegível para o prêmio Desk Clean. Portanto, Ian é um secretário e um administrador. 5. Tudo que existe é material. Portanto, exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira: (i) nada é material ou (ii) algumas coisas materiais são mentais, e todas as coisas mentais são materiais. 8/9
Exercícios 6. Há um homem na cidade que faz a barba de todos os homens da cidade que não barbeiam a si mesmos. Portanto, existe um homem na cidade que se barbeia sozinho. 7. Cavalos são animais. Portanto, cabeças de cavalos são cabeças de animais. 8. A raiz quadrada de um quadrado perfeito é um número natural. Nenhum número natural é uma fração. A raiz quadrada de um número natural que não seja um quadrado perfeito não é uma fração. Por conseguinte, a raiz quadrada de um número natural não é uma fração. 9. Se ninguém contribui para a Oxfam, em seguida, há alguém que morre de fome. Portanto, há uma pessoa que morre de fome, se ele ou ela não contribui para a Oxfam. 9/9
Fim