TRABALHO PRÁTICO ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Objectivo Pretende-se estudar o movimento rectilíneo e uniformemente acelerado medindo o tempo gasto por um objecto que desliza sobre um plano inclinado e determinar o valor da aceleração da gravidade. A experiência baseia-se na utilização de uma mesa de ar, permitindo trabalhar em condições de atrito desprezável. 1. Introdução No estudo experimental do movimento de um corpo a uma dimensão, para se determinar a respectiva lei do movimento, ou seja, para se conhecer a posição (x) do corpo em cada instante (t) do movimento, é necessário medir o tempo que decorre entre o início do movimento e determinados pontos da trajectória. Se o movimento é facilmente reprodutível, podendo o experimentador recomeçá-lo sempre que necessário, será possível medir vários intervalos de tempo gastos pelo objecto ao deslocar-se entre diferentes pontos da sua trajectória, definindo assim melhor o movimento que pode, eventualmente, ser traduzido por uma lei matemática. É o caso de movimentos simples como o movimento rectilíneo uniforme ou uniformemente variado, cujas leis podem ser facilmente verificadas com apenas algumas medidas. Movimento uniformemente acelerado num plano inclinado Determinação da aceleração da gravidade, g Um corpo colocado (sem velocidade inicial) num plano de inclinação θ iniciará um movimento de descida ao longo do plano, uma vez que sobre ele actua uma força resultante F ρ. Num plano sem atrito, essa força é igual à componente do peso P ρ do corpo segundo a tangente ao plano inclinado (fig. 1). N ρ F ρ θ P ρ θ Figura 1 Forças aplicadas a um corpo que desliza num plano inclinado sem atrito: peso do corpo, P ρ, e reacção do plano, N ρ. A resultante das forças aplicadas, F ρ, é igual à componente de P ρ segundo a tangente ao plano inclinado, na ausência de atrito. De acordo com a 2ª lei de Newton, o movimento do corpo efectua-se com uma aceleração constante a ρ, cuja grandeza é dada por: P F = m.a = P senθ a = senθ, (1) m Departamento de Física da FCTUC 1/5
sendo θ o ângulo de inclinação do plano e m a massa do corpo em movimento. Ora, como da P definição de peso de um corpo de massa m se tem = g, sendo g a aceleração da gravidade, então m é possível, medido o valor de a, determinar o valor de g. Se o corpo partir do repouso (velocidade inicial nula) e os tempos forem medidos a partir do instante inicial do movimento (t 0 = 0), a sua velocidade é dada por v ( t) t e, tomando como origem do movimento a posição inicial do corpo (x 0 = 0), a lei do movimento será 1 2 x ( t) t. 2 Assim, quer realizando 1) muitas medidas do tempo t gasto pelo corpo para se deslocar entre o mesmo par de pontos da trajectória (à distância x um do outro) quer determinando 2) várias medidas do tempo t i gasto pelo corpo para se deslocar entre pares diferentes de pontos da trajectória (correspondendo a cada par i a distância x i ) poder-se-á calcular a aceleração do corpo e assim conhecer a lei do seu movimento uniformemente 1 2 acelerado: x ( t) t. Por outro lado, conhecida a aceleração a, será possível determinar a 2 aceleração da gravidade g (eq. 1). 2. Material e Métodos Para a realização deste trabalho são necessários: uma mesa de ar, um cronómetro, uma fita métrica, cunhas de madeira e 2 discos de massa diferente. As medidas de tempo serão efectuadas com um cronómetro manual, baseando-se a precisão das medidas, por um lado, no sentido de visão e nos reflexos do experimentador e, por outro, na precisão do próprio cronómetro. Os objectos que deslizarão pelo plano têm a forma de discos circulares. O atrito entre o disco e o plano inclinado é eliminado pela criação de uma camada de ar entre as duas superfícies. O ar é forçado a sair através de pequenos orifícios existentes no tampo da mesa em intervalos regulares, sendo o peso do disco suportado pela pressão do ar. 3. Execução Experimental 3.1. Antes de ligar o compressor de ar, comece por verificar que o atrito entre os discos e a superfície da mesa de ar é suficiente para não permitir o movimento de queda sem velocidade inicial. Departamento de Física da FCTUC 2/5
3.2. Ligue o compressor de ar e verifique que os discos que tinha sobre a mesa se movimentaram, descendo pelo plano inclinado. Segurando um disco em cima da mesa, verifique a existência de uma camada de ar que elimina o atrito anteriormente existente. 3.3. Determinação da aceleração da gravidade utilizando o disco de menor peso 3.3.1. Escolha o disco mais leve e largue-o da primeira marca da mesa (a parte frontal do disco tangente à direcção do traço marcado), tentando não imprimir qualquer velocidade inicial. Nesse mesmo instante comece a contagem com o cronómetro. Quando o disco chegar à última marca pare o cronómetro e registe a leitura do tempo. 3.3.2. Repita a medida descrita no ponto anterior até obter 200 resultados. Prepare uma tabela onde disponha os resultados de todas as medidas realizadas. Recomenda-se, para tornar a experiência mais realista, que os dados não sejam seleccionados; rejeite apenas as medidas em que considere ter havido desvio da trajectória pretendida ou erro de funcionamento do cronómetro. Não deverão ser feitas tentativas no sentido de melhorar os resultados, para não viciar o processo. 3.3.3. Consulte as notas de noções elementares de análise de dados (ref. bibliográfica [4]) sobre média aritmética e desvio padrão na média aritmética, seleccione o formulário que vai utilizar, calcule o valor médio de t ( t ) e o erro em t ( σ ). 3.3.4. À semelhança do que vem descrito na mesma ref. bibliográfica [4] sobre Distribuições de medidas, represente os resultados obtidos por meio de um histograma. Faça-o em papel milimétrico, representando o número de medidas em cada intervalo de tempo em função do respectivo intervalo. 3.3.5. Trace a linha envolvente do histograma. Deverá obter uma curva semelhante à curva simétrica típica de uma distribuição de Gauss, cujo ponto médio, designado por valor mais provável de t ( t ), deve estar próximo do valor médio calculado no ponto 3.3.3. Determine a largura a meia-altura ( 2 σ t ) dessa curva envolvente. Tome metade dessa largura ( σ t ) como valor do erro em t, obtendo assim t ± σ t. Este procedimento encontra-se ilustrado na figura 2. 70 t Figura 2: Exemplo da determinação do tempo mais provável de queda < t > e respectivo erro σ a partir de um histograma. Número de contagens 60 50 40 30 20 10 0 2σ = 0.115s < t >=1.15s 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 Tempo de queda (s) Departamento de Física da FCTUC 3/5
3.3.6. Compare os intervalos de valores obtidos nos pontos 3.3.3 e 3.3.5, comente e indique, justificando, o melhor valor para t que utilizará nos cálculos seguintes. 3.3.7. Determine o valor da aceleração do corpo e respectivo erro (consulte a ref. bibliográfica [4] e seleccione as expressões matemáticas que lhe permitirão calcular a propagação do erro no tempo para o erro na aceleração). (Nota despreze, em primeira aproximação, o erro na medida dos comprimentos; se tiver tempo inclua também este erro no cálculo do erro na aceleração e compare os dois valores obtidos). 3.3.8. Determine o valor de g ± σ g e comente os resultados obtidos. (Despreze, em primeira aproximação, o erro na medida do ângulo; se tiver tempo inclua também este erro no cálculo de σ g e compare os dois valores obtidos) 3.4. Determinação da aceleração da gravidade utilizando o disco mais pesado 3.4.1. Tome agora o disco mais pesado e repita 10 vezes o procedimento 3.3.1. 3.4.2. À semelhança do que fez nos pontos 3.3.3, 3.3.7 e 3.3.8, determine t, o respectivo desvio padrão σ t e ainda g ± σ g. 3.4.3. Compare com os valores obtidos no ponto 3.3.8 e comente os resultados. 3.5. Verificação da lei do movimento uniformemente acelerado 3.5.1. Retome o disco mais leve e, mantendo a inclinação da mesa, faça medidas sucessivas do tempo de queda largando o disco sempre da primeira marca e parando o cronómetro quando o disco passar nas várias marcas seguintes. Faça um total de 5 medidas, uma para cada marca. 3.5.2. Represente, em papel milimétrico, o gráfico dos pares de valores (t i 2, x i ) correspondentes às medidas efectuadas. (Consulte a ref. bibliog. [5] sobre Gráficos.) 3.5.3. Trace a recta que melhor se ajuste aos pontos experimentais e que passe pela origem (PORQUÊ?), quer a olho, baseando-se no que sabe sobre o traçado de rectas, quer por meio de um tratamento matemático rigoroso. Tanto num caso como no outro deve explicitar a metodologia ou o formulário matemático em que se baseou. (Consulte as referências bibliográficas [4] e [5]. 3.5.4. Calcule, a partir do gráfico, a aceleração do movimento. 3.5.5. A que atribui eventuais desvios dos pontos marcados no gráfico relativamente à recta traçada? Apesar da existência desses desvios parece-lhe que os seus resultados estão de acordo com a lei do movimento uniformemente acelerado? 3.5.6. Se tiver tempo, repita os pontos 3.5.1 a 3.5.4 para uma inclinação diferente da mesa e comente o resultado obtido. Departamento de Física da FCTUC 4/5
4. Relatório Elabore um relatório do trabalho efectuado, no qual deve incluir, para além da identificação do trabalho e da equipa (nome, licenciatura, turma e grupo) que o realizou: uma breve introdução teórica (não mais de 20 linhas); um resumo do procedimento experimental (não mais de 10 linhas); os resultados experimentais obtidos (organizados em tabelas e gráficos sempre que possível); o tratamento matemático adequado desses resultados e a discussão/comentário dos mesmos; as conclusões finais. Bibliografia [1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina (1993). [2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] N. Ayres de Campos, Algumas noções elementares de análise de dados, Coimbra, Dep. Física da FCTUC (1993/94). [5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). Departamento de Física da FCTUC 5/5