APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA CONCEITOS INICIAIS Conceitos básicos Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste período estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Diferença entre juro e taxa de juro O juro entendido como uma remuneração do capital é sempre expresso em valor numa determinada moeda. Ex: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dólares), etc. A taxa de juro, normalmente representada pela letra ( i ), é um índice que aplicado sobre o capital determina sua remuneração num determinado período de tempo (dias, meses, anos) que é representado pela letra ( T ). Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano) 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês) 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas será usada a forma unitária, assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o ( i ) na fórmula será substituído por 0,05.
Tipos de Juros Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. a) JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. b) JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. JUROS SIMPLES Como vimos, o regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: Cálculo do juro simples No sistema de juro simples o mesmo não incide sobre o juro de períodos anteriores. Ou seja, não há cálculo de juros sobre juros. Fórmula para o cálculo do juro simples Onde: J = juros C = capital i = taxa T= número de período (tempo). Exemplos de juros simples:
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 2 anos. Temos: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 40.000,00 Taxa: i = 0,36 a.a Período: T= 2 anos Logo: J = 40.000,00. 0,36. 2 Juros = R$ 28.800,00 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 40.000,00 Taxa: i = 0,36 a.a como 1 ano tem 360 dias, logo a taxa i = 0,36/360 = 0,001 a.d. Período: T= 125 dias Logo: J = 40.000,00. 0,001. 125 Juros = R$ 5.000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Juros: J = R$ 3.500,00 Taxa: i = 1,2 % a.m = 0,012 a.m como 1 mês tem 30 dias, logo a taxa i = 0,012/30 = 0,0004 a.d. Período: T= 75 dias Logo: 3500,00 = C. 0,0004. 75 C. 0,03 = 3500,00 C = R$ 116.666,67 4 - Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. Temos: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).
Capital: C = R$ 1.200,00 Taxa: i = 0,13 a.t como 1 trimestre tem 90 dias, logo a taxa i = 0,13/90 = 0,00144 a.d. Período: T= 4 meses e 15 dias 135 dias Logo: J = 1.200,00. 0,00144. 135 Juros = R$ 234,00 Exercícios de juros simples: 01)A que taxa anual um investimento renderá em 5 anos juros equivalentes a 4/5 desse mesmo investimento? R.16% a.a 2) Durante quanto tempo R$ 22.500,00 a 4% a.m. renderá R$ 27.000,00 de juros? R. 2 anos e 6 meses 3) Calcular o capital que, aplicado durante 3 anos e 9 meses a 4% a.m., produz R$ 8.062,50 de juros. R. R$ 4.479,16 4) Achar o capital que rende R$ 6.696,40 de juros em 2 anos, 7 meses e 24 dias a 36% a.a. R. 7019,29 5) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 180.000,00 a 36% a.a., pelo prazo de um trimestre. R. R$ 16.200,00 6) Calcular a taxa de R$ 5.000,00 em 1 ano e 6 meses, que tenha produzido juros de R$ 675,00. R. 9% a.a 7) A que taxa um capital de R$ 2.500,00 em 2 anos e 6 meses para produz juros de R$ 1.250,00? R. 20% a.a 8) Quanto tempo devo aplicar o capital de R$ 10.053,40 para obter o montante de R$ 11.561,40 a 4,5% a.m.? R. 3 meses e 10 dias 9) Se aplicarmos R$ 15.877,50 a 5,5% a.m., quanto tempo será necessário para obtermos o capital mais os juros de R$ 28.539,80? R. 1 ano, 2meses e 15 dias 10) O capital de R$ 42.600,00 para produzir juros de R$ 46.008,00 a 6% a.m., qual é o tempo necessário? R. 1 ano e 6 meses 11) Em que prazo um capital aplicado a 20% a.a., tem um aumento que corresponde a 1 / 4 de seu valor? R. 1 ano e 3 meses.
12) Em que prazo um capital de R$ 100.000,00 a 2% a.m. obtém um montante de R$ 164.000,0? R. 2 anos e 8 meses 13) Qual o montante que dá um capital de R$ 7.000,00 em 6 meses, à taxa de 6% a.a.? R. R$ 7.210,00 14) Em quanto tempo, um determinado capital, rendendo juros de 5% a.a., duplica de valor? R. 20 anos 15) Um certo capital, foi duplicado em 10 anos a juros simples. A que taxa foi empregado? R. 10% a.a 2. Cálculo do Montante Ao somarmos os juros ao valor principal (Capital) temos o montante. Montante = Capital + Juros M = C + J Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos) M = C + C. i. T Logo, colocando C em evidência, temos: Onde: M= valor do montante J = juros C = valor do capital i = taxa T= número de período (tempo). Exemplos de juros simples e montante: 1 - Assim para calcularmos o Montante de R$ 100,00 ao final do terceiro período a uma taxa de juros de 10% ao período, temos: M = 100,00 [1 + ( 0,10. 3) ] M = 100,00 [1 + ( 0,30)] M = 100,00 (1,30) M = 130,00 (R$) 2 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.C Dados: i = 150 % a.a = 1,5 a.a Fórmula: M = C (1 + i.t) Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 T) 2 = 1 + 1,5 T
T = 2/3 ano = 8 meses 3 - Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. M = R$ 72.960,42 Exercícios: 01- Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$130,00 em três meses com taxa de juro de 10% ao mês? 02- Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses? 03- Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao mês? 04- Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao mês?(350,00) 05- Qual o juro e o montante acumulado em um ano a uma taxa de 10% ao mês a partir de uma aplicação de R$ 325,00?(j = 390,00 e M = 715,00) 06- Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um principal de R$ 1.000,00?(1.540,00) 07- Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um principal de R$ 5.000,00?(5.400,00) 08- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a três semestres a uma taxa de 5% ao mês?(510,52) 09- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a três anos a uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63) 10- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a uma taxa de 7,5% ao ano?(1.797,75) 11- Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês pelo período de 15 dias?(50,00)
12- Foi efetuado um único deposito de R$ 570,00 em uma aplicação financeira. Após dois anos seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am) 13- A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses?(5% ao mês) 14- Fizemos uma dívida de R$ 10.000,00 para aquisição de um automóvel. Não foi efetuado nenhum pagamento e após 5 meses ela estava em R$15.000,00. Qual a taxa de juro cobrada? (10% am) 15- Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para que ele quadruplique de valor a uma taxa de 10% a.m?(30 meses) 16- Uma pessoa emprega seu capital a 8% a.a. e, no fim de 3 anos e 8 meses, recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 38.800. Qual o capital empregado? R. R$ 30.000,00 17- Qual o capital que depois de 8 meses, à taxa de 11 1/2%a.a., dá um montante de R$ 12.920,00? R. R$ 12.000,00 18- No fim de 3 anos, à 9% a.a., o capital acumulado foi de R$ 2.540,00. Qual foi o juro e qual era o capital inicial? R R$ 2.000,00 e R$ 540,00 19- Achar o capital que, empregado a juros simples, à taxa de 2/5% a.m., produz, no fim de um ano, 3 meses e 5 dias, o montante de R$ 159.100,00. R. 150.000 20- Uma pessoa empregou certo capital a 6% a.a.. Depois de um ano e meio, retirou capital e juros e empregou tudo a 8% a.a., retirando no final de dois anos e meio, o montante de R$ 26.160,00. Determinar o capital inicial. R. R$ 20.000,00 21- Por quanto tempo se deve empregar um capital para que, à taxa de 10% a.a., o montante seja igual ao triplo deste capital? R. 20 anos 22- A que taxa se deve colocar R$ 800,00, em 2 anos, para render 88,00 de juros? R. 5,5% DESCONTOS SIMPLES Desconto é o abatimento que um título de crédito (cheque, duplicata, nota promissória) recebe por ser liquidado antes de seu vencimento. Um título possui um valor, chamado Valor Nominal, a ele declarado, que corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Antes disso, o titulo pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, sendo denominado Valor Atual ou Valor Presente.
Então, para cálculo do desconto é importante saber: Valor Nominal (N) é o Valor impresso no título. É o que ele valerá no vencimento. Valor atual (A) é o valor pelo qual o título pode ser pago antecipadamente. Naturalmente é um valor menor que o (N), pois se o mesmo for liquidado antecipadamente, ele terá um desconto (d). Dessa forma o Desconto (d) é igual ao Valor Nominal (N) menos o Valor atual (A) pelo qual o título pode ser pago antecipadamente. d = N - A Chama-se Desconto Simples o calculado sobre um único valor do título (nominal ou atual). Se for calculado sobre: Valor Nominal... temos... Desconto Comercial ( Por fora ) Valor Atual... temos... Desconto Racional ( Por dentro ) Cálculo dos Descontos Simples Desconto Comercial ( Por fora ) Esse é o tipo de desconto normalmente utilizado pelos bancos e pelo comércio em geral. Neste tipo de desconto a base de cálculo é o valor Nominal (N). d = N. i. T Onde: d = desconto Comercial ( Por fora ) N = Valor Nominal i = taxa T= número de período (tempo). Exemplos de desconto Comercial ( Por fora ): 1 - Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada três meses antes do vencimento com taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês. Pergunta-se: a) qual o valor do desconto? b) por quanto ela foi quitada?
Dados: Valor Nominal: N = R$ 100,00 Taxa: i = 0,10 a.m Período: T= 3meses a) qual o valor do desconto? Temos: d = N. i. T d = 100,00. 0,10. 3 d = R$ 30,00... Valor do desconto b) por quanto ela foi quitada? Logo, o Valor Atual: Temos: d = N A 30,00 = 100,00 A A = R$ 70,00... Valor atual (valor com desconto) Podemos resolver o exercício acima utilizando o seguinte conceito: d = N A... A = N d A = N N. i. T A = N ( 1 i. T) b) por quanto ela foi quitada? A = N. (1 i. T) A = 100. (1 0,10. 3) A = 100. (1 0,30) A = 100. (0,70) = R$ 70,00... Valor atual (valor com desconto) a) qual o valor do desconto? E, o Valor do desconto: d = N A = 100,00 70,00 = R$ 30,00 Desconto Racional ( Por dentro ) O desconto racional ou por dentro equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do título. É denominado d e neste tipo de desconto a base de cálculo é o valor Atual (A): d = A. i. T como d = N A logo, A = N d`
d`= (N d`).i. T d` = N.i.T d`.i.t d`+ d`.i.t = N.i.T d`(1 + i.t) = N.i.T Onde: d` = desconto Racional ( Por dentro ) N = Valor Nominal i = taxa T= número de período (tempo). Exemplos de desconto Racional ( Por dentro ): 1 Determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 135 u.m., pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao mês. Dados: Valor Nominal: N = 135 Taxa: i = 0,01 a.m Período: T= 2meses Temos: Logo: d`= 2,65 u.m EXERCÍCIOS: 1) Um título de R$ 7.300,00 é descontado por fora, em 60 dias, a 5,5% a.m., quanto sofre de desconto? Resp. 803 2) Qual é o desconto comercial de um título de R$ 8.000,00, a 6% a.m., em 1 ano e 3 meses? Resp. R$ 7.200
3) A que taxa anual foi descontado um título de R$ 2.000,00 em 75 dias, sabendo que houve desconto por fora de R$ 325,00? Resp. 78% a.a. 4) Um título de R$ 2.000,00, descontado por fora, a 6% a.m., que valor líquido produz em 3 meses? Resp. R$ 1.640, 5) Qual é o líquido de uma duplicata que, descontada por fora, a 5% a.m., em 120 dias, sofreu o desconto de R$ 700,00? Resp. R$ 2.800 6) A que taxa anual um título de R$ 30.000,00, descontado 4 meses antes do vencimento, pode produzir R$ 1.000,00 de desconto comercial? Resp. 10% a.a. 7) Em que prazo um título de R$ 9.000,00, descontado por fora, apresenta o líquido de R$ 8.280,00 à taxa de 6% a.m.? Resp. 1 mês e 10 dias 8) Qual é o nominal de uma promissória descontada por dentro, a 6% a.a., 90 dias antes do vencimento sabendo que produziu o desconto de R$ 450,00? R: R$ 30.450 9) Um título de R$ 165.000,00 sofreu o desconto racional à taxa de 12% a.a. e ficou reduzido a R$ 150.000,00. Determinar o tempo de antecipação. Resp. 10 meses 10) Um título de R$ 2.250,00 sofreu o desconto racional, à taxa de 10% a.a., ficando reduzido a R$ 2.000,00. Qual foi o prazo? Resp. 1 ano e 3 meses 11) Certo título de R$ 63.600,00 sofreu um desconto por dentro ao prazo de 6 meses e foi pago com R$ 60.000,00. Qual foi a taxa anual da operação? Resp. 12% ao ano. 12) Uma duplicata de R$ 37.200,00 sofreu um desconto por dentro de R$ 1.200,00. Sabendo-se que o tempo foi de 5 meses, que taxa anual foi utilizada para o desconto? Resp. 8% ao ano. 13) Um título descontado 27 dias antes do vencimento a 4,5% a.m., produz R$ 583,85 de desconto racional. Determinar o valor nominal. Resp. R$ 15.000
Relações entre a Taxa do Juro e a Taxa do Desconto Comercial 2.2.1 Cálculo da Taxa do juro em função da taxa de desconto e do prazo do vencimento do título Onde: i j = Taxa de Juros i d = Taxa de descontos Exemplo: 1 Qual a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 2% ao mês, pelo prazo de 5 meses? Dados: Taxa de descontos: i d = 0,02 a.m Período: T= 5meses Temos: Logo: ou i j = 2,22 % a.m Cálculo da Taxa do desconto em função da taxa do juro e do prazo do vencimento do título De forma inversa, quando se sabe a taxa de juros simples pode ser calculada a taxa de desconto comercial simples equivalente a essa taxa de juros com a seguinte fórmula: Onde: i j = Taxa de Juros i d = Taxa de descontos Exemplo: Qual a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% a.m. num período de 9 meses?
Dados: Taxa de juros: ij = 0,05 a.m Período: T= 9 meses Temos: Logo: i d = 0,03448 ou 3,448% a m Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale à taxa de desconto comercial simples de 3,448% a.m. com antecipação de 9 meses. EXERCÍCIOS: 1) Calcular a taxa mensal que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 90 dias. Resp. 5,88% ao mês 2) Determinar a taxa trimestral que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 12% ao trimestre, durante 6 meses. Resp. 15,79% ao trimestre 3) Qual é a taxa mensal de juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 60 dias? Resp. 5,55% ao mês 4) Calcular a taxa semestral de desconto comercial equivalente aos juros de 14% a.s., pelo prazo de 1 ano. Resp. 10,94% a.s. 5) Encontrar a taxa mensal de desconto equivalente ao juro de 6% a.m., pelo período de 120 dias. Resp. 4,839% a.m 6) Que taxa mensal de juros se torna equivalente ao desconto comercial de 5% a.m., durante 4 meses. Resp. 6,25% a.m. 7) Calcular a taxa mensal de juro equivalente a 3,85% a.m., correspondente ao desconto por fora durante 8 meses. Resp. 5,563% a.m. 8) Certa pessoa emprega metade de seu capital a juros, durante 2 anos, à taxa de 5% a.a., e metade durante 3 anos, à taxa de 8% a. a. obtendo assim, rendimento total de R$2.040. Qual o seu capital? Resp. 12.000