MATEMÁTICA VIAGEM AO MUNDO DAS FRAÇÕES. 2011 Viagem ao mundo das frações.
CARTA AO LEITOR A Matemática é a linguagem mais completa que temos; através dela podemos nos comunicar sem restrições. A sua compreensão não é dom de poucos; é para todos que se permitem deliciar e enfrentar os desafios propostos por ela. Não pense que a Matemática é assunto somente para certas "pessoas iluminadas ou que e uma ciência desvinculada de tudo o que está ao nosso redor; a mesma possui um contexto histórico que temos o direito de conhecer. Não escrevemos para gênios, mas para todos àqueles que amam e admiram a Matemática, em nossa concepção a Rainha das Ciências e que possui 1001 caras na qual representamos tudo o que "pensamos". "Somos Capazes de Pensar. Logo a Luz da Matemática é para todos. "Aprender é Buscar Respostas". Devemos aproveitar ao máximo tudo àquilo que o Conhecimento matemático pode nos proporcionar. Sendo assim "a Matemática é uma descoberta sem fim" e esperamos que gostem de tudo o que encontrarão daqui para frente. UM GRANDE ABRAÇO!!!!!!! CURTAM DE MONTÃO!!!!!!! Os Autores.
O guru das frações - Paradidático 1ª edição 2011.1 Todos os direitos de edição reservados a: FACITEC Faculdades de Ciências Sociais e Tecnológicas End. Instituição: CSG 09 lotes: 15/16 CEP 72035-509 DF Telefone: (61)33568150 Email: www.facitec.br Telefone: (61)33568150 Ano de publicação 2011 Projeto editorial: FACITEC DISCIPLINA DE: Aprendizagem e ensino da matemática II Sob a orientação: Msc. Profª Andréia Julio de Oliveira Rocha Revisão ortográfica: Mônica Dias Diagramação: Raimundo Siqueira Digitalização e tratamento de imagens: Marcos Ribeiro Alves Pesquisa: Os autores Capa: Raimundo Siqueira. Autores: Marcos Ribeiro Alves Raimundo Siqueira Elaine de oliveira vieira Monica dias Tatyane Rocha Flávio de oliveira Formatação: Flávio de oliveira Edilene Moreira
O guru das frações. A nossa história começa em um templo chamado, o templo das frações, cujo protagonista é um homem conhecido como, o guru das frações, pois em nossa história ele é o profundo conhecedor do mundo misterioso e enigmático das frações.
Neste templo o guru das frações sempre dialogava com seus discípulos a respeito de todo tipo de assunto relativo às frações, e ele era assim conhecido devido ao grande conhecimento que possuía sobre frações. O conhecimento das frações pode ajudar a resolver problemas que surgem no dia a dia.
Um dia um de seus discípulos dirige-se a ele e faz a seguinte pergunta: - Responda me Mestre como as frações apareceram no nosso dia a dia? Qual a importância das frações para o mundo atual? Mas, quem será que inventou as frações?
- Caro discípulo, responde o mestre, entenda que as frações foram criadas com o advento de culturas mais avançadas, durante a chamada idade do bronze. Quando o homem sentiu necessidade de contar quantidades que não eram inteiras, então a partir deste momento houve a necessidade de se representar o número de outra maneira, foi então que começaram a surgir os chamados números fracionários. O estudo das frações tem uma história antiga. Incrível, as frações são muito antigas mesmo.
- Desta forma, responde o mestre, surgiu a necessidade do conceito de fração e de notação para frações, pois o homem pré-histórico era uma criatura nômade e a noção de contagem que precisava restringia-se a quantidades inteiras e pequenas. Em culturas, cujo progresso cultural encontrava-se em estágios de desenvolvimento mais avançado, isto já não era mais aceitável. Antigamente o homem utilizava pedras, marcas em lanças ou até mesmo os próprios dedos para armazenar informações sobre quantidades inteiras.
- Entenda caro discípulo, que o significado da palavra fração representa um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. - Por exemplo, se pegarmos duas tábuas e a dividirmos em duas e três partes iguais veremos que elas irão representar a metade e a terça parte do todo que representavam. Observem atentamente estas tábuas.
- Então mestre, pergunta o discípulo, pelo que eu entendi, devemos dividir em partes iguais uma determinada quantidade, que no caso representa uma parte inteira, que queremos repartir? - Isso mesmo, responde o mestre, deixe-me exemplificar com outros exemplos, para que a noção de frações fique um pouco mais clara. Se, João tem cinco irmãos e quer dividir uma barra de chocolate entre eles, com quantos pedaços ficará cada um? Claro que sim, podemos usar tortas, bolos chocolates, todos representando um todo que foi dividido em partes iguais. Podemos utilizar vários exemplos práticos ao estudarmos frações?
- Veja bem discípulo, que podemos representar a barra de chocolate através de um conceito abstrato, por exemplo, um retângulo, e é óbvio que João terá que dividir a barra de chocolate, que representa o todo, em cinco pedaços iguais e que cada um dos irmãos ficará com um quinto da barra, observe: Este é o retângulo antes da divisão que representa a parte inteira E agora cada parte em que o retângulo foi dividido, onde cada parte representa uma parte igual em que a parte inteira foi dividida. - Veja, responde o mestre, que se somarmos cada uma das frações que representa um pedaço da barra teremos novamente a barra inteira, ou seja, o seu todo. Observe: + + + + = =
- Agora discípulo, vamos ver como se representa uma fração, pois com o passar dos tempos foi necessário que o homem sistematizasse e organizasse o uso das frações. Como visto anteriormente uma fração representa uma parte tomada de uma parte inteira ou conforme a tradição o seu todo, mas se representarmos as frações como o quociente entre dois números teremos os elementos de uma fração como : - Veja caro discípulo, que representamos a fração da seguinte forma: a é o numerador e b o denominador da fração. - Mas mestre, pergunta o discípulo, o que representa o a e o b em uma fração? Também podemos utilizar as frações, por exemplo, ao estudarmos porcentagem, pois 10 % pode ser representado como a fração
- Veja bem discípulo que, o numerador indica quantas destas partes iguais foram tomadas já o denominador indica em quantas partes iguais a parte inteira foi dividida. - Por exemplo, observe nestes exemplos, discípulo, que na fração temos que: O numerador 2 indica que duas partes iguais de um total de 5 partes iguais foram tomadas do retângulo, observe atentamente as partes hachuradas da figura abaixo: - As partes hachuradas do retângulo abaixo indicam que de um total de seis retângulos iguais apenas três foram tomados do retângulo inteiro, ou seja, do retângulo.
- Então mestre, afirma o discípulo, o conceito de fração não se restringe somente em dividir partes inteiras em n partes iguais, mas também em tomar algumas destas partes iguais, que serão indicadas como frações através de seus numeradores, e que indicarão quantas destas partes iguais foram tomadas, e dos seus denominadores que indicam quantas desta partes iguais a parte inteira foi dividida. O estudo das frações é um longo caminho a percorrer. Eu não tinha idéia de que as frações guardavam em sua essência um mundo tão amplo.
- Isto mesmo e iremos ver também, caro discípulo, que há vários tipos de frações: frações próprias, frações impróprias, frações aparentes e números mistos. Depois falaremos detalhadamente de cada tipo de fração e de suas particularidades, agora, porém é conveniente falarmos das frações que são representadas como o quociente entre dois números observe: I. Se dividirmos uma região quadrada em quatro partes iguais e pintarmos as quatro partes, então estaremos pintando a figura toda. - Observe que se efetuarmos a divisão 4 4,também iremos obter 1, isto é, um inteiro. II. Do mesmo modo se pintarmos como: é o mesmo que dizer que pintamos dois inteiros veja Ou 2 inteiros.
- Observe caro discípulo, que o traço em uma fração indica uma divisão e pelos exemplos que já vimos podemos deduzir que esta divisão nada mais é do que a indicação da soma das partes iguais das duas figuras, que dividido por cinco, dá como resultado dois inteiros: a Se prestarmos atenção a barra no meio da fração assemelha-se a uma espécie de barreira separando dois elementos. b
- Agora, discípulo, que já falamos sobre a origem e os conceitos fundamentais de frações, discutiremos um assunto de fundamental relevância, ou seja, as operações entre as frações, e iniciaremos este assunto com a adição entre números fracionários quando o numerador é menor que o denominador. Claro que não existem outros tipos de fração como veremos mais tarde. O estudo das frações se restringe somente a este tipo de fração?
- Vamos começar caro discípulo, com um exemplo que já utilizamos anteriormente, o retângulo, e desta forma iremos observar que, se pegarmos um retângulo tomado como uma parte inteira, como este representado abaixo e o dividirmos em três partes iguais, e destas partes iguais tirarmos duas teremos então desta forma dois terços da figura toda. Inteiro. dois terços.
- Então mestre, pergunta o discípulo, eu devo supor que estas duas partes pintadas com listras são os dois terços da figura toda, mas até agora eu não detectei a operação de adição dentro desta fração. - Vamos com calma, caro discípulo, ao repartirmos em partes iguais a figura toda, pudemos observar que cada uma destas partes é uma parte igual da parte inteira, agora se somarmos duas destas partes inteiras iremos ter dois terços, observe este exemplo: + = =
- Compreendi mestre, responde o discípulo, que cada uma destas partes representa um terço somado com um terço, cuja soma dá dois terços da figura toda, então é por este motivo que podemos somar ou subtrair os numeradores de frações com denominadores iguais. - Isto mesmo caro discípulo, pouco a pouco você está compreendendo o fantástico mundo das frações, com seus mistérios e enigmas. Será que um dia eu irei entender um pouco mais as frações? É óbvio que sim, com um pouco de paciência, e disciplina na hora dos estudos.
- Mas, mestre, e no caso em que as frações têm numeradores e denominadores diferentes? - Preste atenção caro discípulo, vamos realizar uma soma qualquer de frações, por exemplo, dois terços mais um sexto. - Neste caso discípulo, vamos colocar lado a lado as figuras que representam dois terços e um sexto como se elas fossem representadas por figuras que tem o mesmo tamanho, observe: Estas figuras têm partes tomadas diferentes, mas ambas representam o mesmo todo.
- Se observarmos bem, responde o mestre, iremos verificar por justaposição que dois terços é igual a quatro sextos, que somado com um sexto, como foi proposto, dá justamente cinco sextos, observe na figura abaixo: + =
- Desta forma caro discípulo, podemos concluir matematicamente através de números que por justaposição: + =, também não podemos nos esquecer que este processo serve tanto para a adição quanto para a subtração. Lembrem se antes de trabalharmos com frações devemos entender geometricamente suas construções
- Agora caro discípulo, iremos ver a soma de frações do ponto de vista algébrico. Por exemplo, vamos imaginar a soma das seguintes frações: um meio mais dois quintos. Para realizarmos esta operação achamos o menor múltiplo comum (mmc) dos seus denominadores e em seguida somamos os numeradores assim como segue: + = + = - Agora, observe porque resolvemos a soma de frações desta forma, primeiro de tudo estudamos cada fração desta soma de forma isolada e desta forma criamos duas novas igualdades em que os numeradores no segundo membro destas igualdades são incógnitas e os denominadores são múltiplos dos denominadores do primeiro membro da igualdade, deste modo temos: = =,,,,,,,,,,,,, Múltiplos de dois (0,2, 4, 6, 8, 10,12, ). Múltiplos de cinco (0,5, 10, 15, 20, 25, ).
- Se observarmos bem, nos múltiplos dos denominadores destas frações no segundo membro destas igualdades, há um número que se repete no caso o número 10, abaixo em negrito, ou seja, o seu menor múltiplo comum diferente de zero. =,,,,,,, =,,,,,, - Então isolamos as frações no primeiro membro juntamente com as frações do segundo membro, determinadas pelas variáveis x e y, e o número que se repete em ambas em seus respectivos denominadores, e desta forma chegamos aos valores de x e y. = = = = = = - Finalmente substituindo estes valores nas incógnitas das frações e em seguida somando estas frações temos: + = + = + =
- O que eu observei mestre, é que a soma de frações do ponto de vista algébrico dá o mesmo resultado de quando usamos as figuras justapostas, na soma ou subtração de frações com numeradores diferentes. - É isto mesmo discípulo, a soma de frações do ponto de vista algébrico nada mais é do que a extensão daquela explicação através de figuras justapostas (lado a lado), só que utilizando um rigor matemático mais tradicional (métodos antigos de ensinar) voltado para a precisão e agilidade no resultado da soma de frações, sem se preocupar com a origem e a lógica (explicação detalhada a respeito de algum assunto) por trás daquele resultado. Neste processo algébrico de resolução é fundamental conhecermos a propriedade fundamental das proporções.
- Agora discípulo, vamos ver as operações envolvendo a multiplicação de frações, mais precisamente vamos começar com a idéia de multiplicação de número natural por fração. Por exemplo, vamos utilizar esta operação 3 x É costume falarmos, operações, em vez de operações numéricas e suas propriedades. É preciso ter certo cuidado com algumas terminologias (palavras) em matemática.
- Se nos lembrarmos, responde o mestre, de que a multiplicação nada mais é do que, uma soma de parcelas iguais, veremos que 3 x é o mesmo que + +, utilizando figuras teremos que: 3 x = + + = A multiplicação indica que as parcelas serão adicionadas quantas vezes ela indicar.
- Responda-me mestre, apesar de fugir um pouco do assunto, o senhor poderia me responder aonde surgiu esta simbologia (símbolos utilizados em matemática) para a multiplicação, isto é, os símbolos matemáticos x e o ponto ( )? Claro discípulo, pois a multiplicação assim como seus símbolos está inserida no universo (todos os elementos utilizados em um determinado estudo) das frações. Estes símbolos (figuras que representam o objeto ausente) têm importância?
- Preste atenção discípulo, o produto de dois números a e b pode ser indicado por a x b ou simplesmente por a b, observando que estes símbolos a e b podem representar quaisquer dois números, o sinal (x), usado para representar a multiplicação, foi criado pelo matemático de origem inglesa Willian Oughtred no ano de 1631, já o ponto ( ) foi criado também por outro matemático inglês Thomas Harriot. - Não devemos esquecer-nos da notação do matemático francês René Descartes, pois ele indicou a multiplicação de dois números a e b simplesmente por ab sem nenhum sinal separando as duas letras e que é muito utilizado no estudo dos polinômios. Não podemos aprender matemática sem conhecer a história da matemática.
- Agora discípulo, voltando à multiplicação de número natural por fração, se fizermos o inverso, ou seja, multiplicação de fração por número natural o resultado é o mesmo, devido a propriedade comutativa da multiplicação onde a ordem dos fatores não altera o produto. Deste modo 2 x é o mesmo que x 2 Ah, então não importa, neste caso, a ordem dos números.
- Mas mestre, e se for uma multiplicação de fração por fração. - Vamos pensar na seguinte hipótese: Dona Maria tem um determinado terreno e ela quer cultivar flores, destinou deste terreno para plantar flores e quer que das flores sejam rosas. - Deste modo, responde o mestre, devemos calcular de do terreno, ou seja, Observem que o dobro de 5 é 2 5 e do mesmo modo de é igual a
- Fica mais fácil entender, responde o mestre, se utilizarmos figuras para representar as frações. - Mestre, pergunta o discípulo, devemos utilizar sempre figuras, quando realizamos operações com frações? - As figuras, responde o mestre, nos ajudam a entender melhor as operações com frações, pois constituem um recurso visual dinâmico e intuitivo que facilitam o entendimento de suas propriedades matemáticas. Se apenas resolvemos mecanicamente as operações não entenderemos o porquê destas operações. Eu nunca havia parado para pensar desta maneira.
- Retornando ao problema, responde o mestre, observe a seguinte figura que representa o terreno: Terreno de do terreno do terreno do terreno
- Então mestre, pergunta o discípulo, observando as figuras se multiplicarmos por iremos obter o produto e dona Maria deve plantar as rosas em do terreno dela? - Isto mesmo, responde o mestre, pois se pegarmos um quinto do terreno e depois dividirmos este um quinto em três partes iguais teremos dois terços de um quinto, mas devemos ter o todo dividido em partes iguais, então o restante do terreno deve ser dividido em lotes de três partes iguais, dos quais os dois que já foram tomados serão justamente dois quinze avos do terreno. Isto lembra uma organização retangular. Isto mesmo, através da organização retangular, pode-se multiplicar facilmente elementos que estão organizados desta forma.
- Agora discípulo, como foi dito anteriormente, vamos falar dos vários tipos de frações e iremos começar com os dois principais grupos, ou seja, as frações próprias e as frações impróprias. - Frações próprias e impróprias, mas mestre pergunta o discípulo, eu achava que todas as frações eram iguais? - Engana-se, caro discípulo, pois as frações possuem algumas particularidades (propriedades) que iremos discutir agora, precisamos defini-las para que não haja dúvidas quanto ao emprego delas em determinadas situações. Definir as frações é importante na hora de resolvermos alguns problemas.
- Vamos, responde o mestre, começar pelo primeiro grupo, isto é, as frações próprias dando um exemplo através de uma figura. - Observe a seguinte figura, discípulo, pense um pouco e responda. Recursos visuais (objetos visuais utilizados para ensinar determinado conteúdo) são muito importantes, quando temos necessidade de entender determinados conceitos matemáticos.
- Esta figura tomada da parte inteira, pergunta o mestre, representa que parte da fração? - obviamente um quarto da fração, pois dividimos a figura em quatro partes iguais e tomamos uma destas partes, responde o discípulo. - Correto caro discípulo, aqui vai outra pergunta, esta parte tomada é maior ou menor que o todo? - obviamente menor que o todo, responde o discípulo. - Então, caro discípulo, a que conclusão podemos chegar? Esta forma de explicação chama-se dedutivo explicativo. Método estranho de explicar o conteúdo.
- Então mestre, responde o discípulo, a conclusão a que eu cheguei foi que este tipo de fração é uma fração própria. - isto mesmo discípulo, responde o mestre, as frações próprias indicam menos do que um inteiro e os numeradores delas são diferentes de zero e menores que os seus respectivos denominadores. - observe estes exemplos, responde o mestre: <1 <1 <1 <1 Todas estas frações são menores do que um inteiro.
- Agora que já falamos das frações próprias, responde o mestre, veremos agora o segundo grupo, ou seja, o das frações impróprias. - este grupo, pergunta o discípulo, o das frações impróprias, seria por acaso o das frações que seriam maiores do que o todo? - Isto mesmo, responde o mestre, vejamos um exemplo prático, por exemplo, a fração Neste tipo de fração o numerador é maior que o denominador.
- Mas mestre, pergunta o discípulo, como podemos tomar uma parte de uma fração, que no caso representa um inteiro, se o numerador é maior que o denominador? - Mais uma vez, caro discípulo, vamos recorrer ao exemplo do retângulo, veja como calculamos observe:, - Quando calculamos este tipo de fração, responde o mestre, este tipo de dúvida é bastante comum, - Mas se pensarmos bem, vamos verificar que: = + + - Em figuras teremos que a soma das partes representa o inteiro: + + =
- E se observarmos ainda mais atentamente, responde o mestre, veremos que + = = - então, pergunta o discípulo, este 1 representa uma parte inteira? - isto mesmo, responde o mestre, e juntamente com a parte fracionária irá representar um inteiro mais um meio, por isso o numerador é maior que o denominador. - este tipo de fração além de imprópria também é conhecido como não aparente, pois o numerador não é divisível de forma exata pelo denominador e possui uma ou mais partes inteiras mais uma parte fracionária. Paciência é o segredo do sucesso. Está ficando cada vez mais complicado.
- Neste caso, responde o mestre, podemos representar a fração da seguinte maneira = - Existe uma forma, pergunta o discípulo de chegarmos a este mesmo resultado sem utilizarmos a todo o momento o exemplo das figuras? - Claro que existe caro discípulo, se fizermos a divisão de três por dois na fração - Nesta divisão, responde o mestre, o quociente é a parte inteira da fração, o resto é o numerador e o divisor é o denominador da fração. - Lembre-se, responde o mestre, da formula da divisão de Euclides, dividendo é igual ao divisor, vezes o quociente mais o resto. 3 2 = = " 2 1 1
- muito bem, espero que este livro tenha ajudado a esclarecer as dúvidas de vocês em relação ao universo das frações. - da famosa frase do matemático e filósofo francês René descartes, cogito ergo sum (penso logo existo) podemos tirar uma importante lição, se deixarmos de pensar na matemática enquanto a estudamos facilmente ela irá desaparecer da nossa mente. - Adeus meus amigos, bons estudos e até a próxima aventura matemática.
Referências bibliográficas: Boyer, Carl b.a história da matemática. São Paulo: Edgard Blucher ltda, 1996. Bianchini, Edwaldo. Matemática. São Paulo: moderna, 1997. Dante, Luis Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: ática, 2006 Rubinstein, Cléa. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: moderna, 1991. Chauí, Marilena. Convite à filosofia. São Paulo: ática, 2001. Castrucci, Giovanni. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2002. Toledo, Marília. Didática de matemática/como dois e dois. São Paulo: FTD, 1998
Pensamentos e reflexões... Um homem não se banha duas vezes num mesmo rio, pois suas águas mudam, o homem de ontem não será o mesmo homem hoje, e nem o homem de hoje, será o mesmo de amanhã. A Vida não é uma pergunta a ser respondida. É um mistério a ser vivido. Buda: Sidarta Gautama Heráclito Conhece-te a ti mesmo e conhecerás o universo e os deuses. Sócrates Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real." Educai as crianças para que não Lobatchevsky seja necessário punir os adultos. Pitágoras "A matemática é a mais alta das ciências, o dom mais alto que os deuses deram aos homens." Arquimedes "A razão principal de estudar matemática é para aprender como resolvem problemas." Lester Jr. A matemática se revela em mentes sensíveis, capazes de Sábio é aquele que "Viver sem filosofar é o que se ver uma espiral em um conhece os limites da chama ter os olhos fechados sem girassol, ângulos em uma própria ignorância. nunca os haver tentado abrir." estrela e deus no infinito. Sócrates René Descartes Manoel Paiva