TAREFA UMA QUESTÃO DE EMERGÊNCIA De modo a facilitar o transporte de doentes para os Hospital de S. Teotónio (Viseu), construiram-se dois heliportes, um em Gumirães e outro em Vil de Moinhos. Do Hospital (H) observam-se os heliportos segundo um ângulo de 90º. Do heliporto de Gumirães (G) observa-se o heliporto de Vil de Moinhos (V) e o Hospital (H) segundo um ângulo de 60º (Aprox.). Quando há um acidente, do Hospital (H) é, imediatamente, emitido um alerta para ambos os heliportos e ambos enviam um helicóptero de socorro, voando em linha reta, para o Hospital a uma velocidade de 180Km/h a fim de receber as instruções. 1. Qual dos helicópteros chega primeiro ao hospital? Justifica a tua resposta. 2. É possível determinar a distância percorrida por cada helicóptero? Justifica a tua resposta. 3. Supõe que tu pretendias colocar uma ambulância de tal modo que esta se encontrasse à mesma distância (medida em linha reta) do Hospital e dos heliportos. Onde a colocarias? Obs. Representa geometricamente a tua proposta. 4. O Francisco, estudante aplicado de História, ficou surpreendido quando leu que Napoleão foi um entusiasta da Matemática e particularmente da Geometria. É a ele que se deve a receita da figura ao lado: a) Uma vez que a parte final da receita está ilegível, utiliza o triângulo cujos vétices são o Hospital (H) e os heliportes (V e G) para descobrir o que falta. b) A receita funciona com qualquer triângulo?
5. Verifica o teorema de Pitágoras utilizando o triângulo retângulo com vértices em H, V e G. 6. Estabelece uma relação entre as áreas dos três triângulos equiláteros construidos sobre cada um dos lados do triângulo retângulo. 7. Estabelece uma relação entre figuras semelhantes construidas sobre cada um dos lados do triângulo retângulo. (por exemplo círculos) Ano letivo de 2013/2014 As docentes: Carla Neto Celeste Abigaíl Conceição Alves
ROTEIRO Nível de ensino: 9º Ano Tópico matemático: Lugares Geométricos Subtópico matemático: Circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro de um triângulo; propriedades e construção. Capacidades transversais Resolução de problemas - Resolver problemas em contextos matemáticos Raciocínio matemático - Raciocinar matematicamente, desenvolvendo e avaliando argumentos matemáticos relativos a resultados, processos e ideias matemáticas Comunicação matemática - Discutir as soluções encontradas e os processos utilizados Conhecimentos prévios dos alunos Noção de escala; Teorema de Pitágoras e o respetivo recíproco; Bissetriz de um ângulo; mediatriz de um segmento; Aprendizagens visadas Resolver problemas envolvendo propriedades topológicas Orientações para apresentação e exploração da tarefa (Duração total: 90 minutos) Apresentação da tarefa pelo professor (15 minutos); Trabalho dos alunos (40 minutos); Apresentação e discussão do trabalho (35 minutos) Acompanhamento do professor na aula Ao longo da tarefa o professor assumirá o papel de orientador face às dificuldades que surgirem. Possíveis explorações dos alunos Os alunos deverão recorrer a um Ambiente de Geometria Dinâmica (AGD) e deverão começar por importar a imagem do concelho de Viseu e marcar os pontos correspondentes às localidades mencionadas no enunciado da tarefa respeitando as condições apresentadas. Para responder à primeira questão, os alunos deverão utilizar a ferramenta para medição no mapa bem como a escala utilizada. Assim, os alunos deverão responder corretamente à questão referindo que o helicópetro localizado no ponto G deverá chegar em primeiro lugar porque o comprimento do lado [GH] do triângulo [VHG] é menor que todos os outros. Na segunda questão, os alunos deverão ter em atenção a escala do mapa e efetuar a medição dos segmentos de reta que unem os pontos correspondentes aos heliportos com o hospital. Para responder à terceira questão onde é solicitado que indiquem o local onde colocariam uma ambulância de modo que esta se encontre à mesma distância do Hospital e dos heliportos, os alunos deverão traçar as mediatrizes de pelo menos dois dos lados do triângulo [GVH] e determinar o ponto de interseção.
Com a quarta questão cuja resposta é Equilátero pretende-se que os alunos, livremente, construam triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo inicialmente o triângulo retângulo já construído e, posteriormente, outros triângulos e utilizem um ponto notável (ortocentro) para tirarem a respetiva conclusão. Como desafio, o professor poderá sugerir, aos alunos, a localização do incentro, do baricentro, ou do circuncentro dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados do triângulo inicial de modo a que os alunos verifiquem se a propriedade se mantém. A resposta à segunda alínea desta questão deve resultar de um trabalho rigoroso utilizando as ferramentas disponíveis no AGD para a construção e medição das medidas dos lados dos triângulos resultantes da construção sugerida. A resposta à quinta questão (e seguintes) deve resultar, igualmente, de um trabalho rigoroso utilizando as ferramentas disponíveis para a construção e medição de áreas de polígonos diversos (semelhantes) construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. Depois de verificarem (experimentalmente) o teorema de Pitágoras já conhecido os alunos deverão experimentar com outros polígonos e procurar uma generalização do referido teorema. Questão 6
Questão 7 Que dificulades se preveem por parte dos alunos e como as ultrapassar? Poderão surgir dificuldades ao nível da utilização do AGD. Nesse caso será necessário que o professor identifique o tipo de dificuldade e, em função disso, encontre uma estratégia adequada à situação. Esta estratégia poderá passar, por exemplo, por ajudar o aluno a encontrar os itens dos menus necessários para fazer as construções propostas, levantar questões dirigidas de modo a que o aluno se concentre em determinados aspetos que o irão orientar no desenvolvimento das tarefas, ou sugerir a um colega com mais destreza que apresente e explique a sua estratégia de resolução.