RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II TORÇÃO PARTE III Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-2
Objetivos Conceituar e capacitar paa a resolução de problemas estaticamente indeterminados na torção Compreender as limitações da teoria para o caso de barras maciças de seção não circular
Material de Estudo Material Apresentação Acesso ao Material http://www.caetano.eng.br/ (Aula 7) Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler) Parte 1 / 2 Páginas 166 a 174.
RELEMBRANDO: TORÇÃO E TORQUE
Fórmulas para Torção Pelo que vimos até agora... φ = T. L G. J T: 10kN.m 0 τ MAX = T J. R - + P = T. ω 0 10kN.m
PROBLEMAS DE TORÇÃO ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
Prob. Estat. Indeterminados Similar àqueles com as tensões axiais... T A A P D C Equilíbrio estático? M x = 0 P. L CD + T A + T B = 0 B T B x 1 equação 2 incógnitas
Compatibilidade de Deslocamentos Esforços axiais: compatib. Dos alongamentos δ = P. L E. A Torções: compatibilidade das rotações φ = T. L G. J
Prob. Estat. Indeterminados Redesenhemos a barra em 2D T A P A D C B T B x T A A T = P.L CD B T B C
Prob. Estat. Indeterminados Vamos dividir nos diagramas de corpo livre T A A T = P.L CD B T B C T A T A T B T B A C C B Pela estática: T A = P. L CD T B Compatibilidade? Ponto C é o mesmo em duas barras... Logo... φ C,A = φ C,B
Prob. Estat. Indeterminados Calculando as rotações T A T A T B T B A C C B φ C,A = φ C,B Logo... φ C,A = T A. L AC G. J = T B. L BC G. J T A = T B. L BC L AC = φ C,B
Exemplo Considere o eixo maciço abaixo A 500 N.m 0,3m 1,5m 0,2m 800 N.m B x Calcule as reações, sabendo que: o diâmetro D=20mm, G=75GPa
Exemplo D=20mm T A A C G=75GPa D 500 N.m 800 N.m B T B 0,3m 1,5m 0,2m x Equilíbrio estático M x = 0 T D T A T B T C = 0 T B = T D T C T A
Exemplo D=20mm T A A C G=75GPa D 500 N.m 800 N.m B T B 0,3m 1,5m 0,2m x Qual a compatibilidade? Rotação de B em relação a A = 0: φ B,A = 0 Mas... φ B,A = φ B,D + φ D,C + φ C,A = 0
Exemplo Corpo Livre D=20mm T A A C G=75GPa 500 N.m 800 N.m D B T B 0,3m 1,5m 0,2m x T A A C T A 0,3m T A +T C C D T A +T C 1,5m T B D B T B 0,2m
Exemplo Rotação D=20mm G=75GPa T A A C T A 0,3m φ C,A = T. L G. J φ C,A = T A. L AC G. J
Exemplo Rotação D=20mm G=75GPa T A +T C C D T A +T C 1,5m φ D,C = T. L G. J φ D,C = (T A + T C ). L CD G. J
Exemplo Rotação D=20mm G=75GPa T B D B T B 0,2m φ B,D = T. L G. J φ B,D = T B. L DB G. J
Exemplo D=20mm G=75GPa Assim, se... φ B,A = φ B,D + φ D,C + φ C,A = 0 Então T B. L DB G. J + (T A + T C ). L CD G. J + T A. L AC G. J = 0 T B. L DB = (T A + T C ). L CD + T A. L AC T B = T A. (L CD + L AC ) + T C. L CD L DB
Exemplo D=20mm Juntando... G=75GPa T B = T D T C T A T B = T A. (L CD + L AC ) + T C. L CD L DB T A. (L CD + L AC ) + T C. L CD L DB = T D T C T A
Exemplo D=20mm G=75GPa Reorganizando... T A. (L CD + L AC ) + T C. L CD L DB = T D T C T A T A. L CD + L AC + T C. L CD = T D. L DB T C. L DB T A. L DB T A. L CD + L AC +T A. L DB = T D. L DB T C. L DB T C. L CD
Exemplo D=20mm G=75GPa Reorganizando... T A. L CD + L AC +T A. L DB = T D. L DB T C. L DB T C. L CD T A. L CD + L AC + L DB = T D. L DB T C. (L DB + L CD ) T A = T D. L DB T C. (L DB + L CD ) L CD + L AC + L DB
Exemplo D=20mm Calculando... G=75GPa T A = T D. L DB T C. (L DB + L CD ) L CD + L AC + L DB T A = 800000.0,2 500000. (0,2 + 1,5) 1,5 + 0,3 + 0,2 T A = 800000.0,2 500000.1,7 2 = 345kN
Exemplo D=20mm Calculando... Mas... G=75GPa T A = 345kN T B = T D T C T A T B = 800000 500000 345000 T B = 300000 + 345000 = 645000 T B = 645kN
EIXOS MACIÇOS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR
Torção Pura em Barras Circulares Conforme já estudado... Seções permanecem planas e paralelas entre si
Torção Pura em Barras Circulares Conforme já estudado... Infelizmente, não vale para seções genéricas! Seções permanecem planas e paralelas entre si
Torção Pura em Barras Quadradas Observe a distorção nas bordas
Torção Pura em Barras Quadradas Razão: distrib. das tensões de cisalhamento
Torção Pura em Barras Quadradas Nos cantos, o cisalhamento tem de ser zero! Cisalhamento na superfície é sempre ZERO!
Torção Pura em Barras Genéricas Como calcular? Teoria da Elasticidade Cálculo complexo! Compare os resultados τ MAX = 2. T π. r 3 φ = 2. T. L π. G. r 4
Exemplo O eixo abaixo tem uma seção em forma de triângulo equilátero. Determine o maior torque para o τ adm = 56MPa e para um ângulo de extremidade restrito a φ adm = 0,02 rad. Considere G = 26GPa. 1,2m 60 o 40mm
Exemplo τ adm = 56MPa φ adm = 0,02 rad G = 26GPa Usando as equações... 1,2m 60 o τ adm = 56. 10 6 = 20. T a 3 20. T (4. 10 2 ) 3 40mm
Exemplo τ adm = 56MPa φ adm = 0,02 rad G = 26GPa Usando as equações... 1,2m 60 o 56. 10 6 20. T = (4. 10 2 ) 3 T = 56. 106. 64. 10 6 = 179,2 N. m 20 40mm
Exemplo τ adm = 56MPa φ adm = 0,02 rad G = 26GPa Usando as equações... 1,2m 60 o 2. 10 2 = φ adm = 46. T. L G. a 4 46. T. 1,2 2,6. 10 10. (4. 10 2 ) 4 40mm
Exemplo τ adm = 56MPa φ adm = 0,02 rad G = 26GPa Usando as equações... 1,2m 60 o 40mm 2. 10 2 46. T. 1,2 = 2,6. 10 10. (4. 10 2 ) 4 T = 2. 10 2. 2,6. 10 10. 256. 10 8 = 241,2 N. m 46.1,2
EXERCÍCIO
Exercício (Em Dupla) A barra abaixo, que possui G = 20GPa no trecho de 3m e G = 60GPa no trecho de 1m, tem R = 10 cm. Calcule as reações de apoio. 200kN.m 3m 1m
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 166 a 171 Mínimos: Exercícios 5.75, 5.77, 5.84 Extras: Exercícios 5.76, 5.79, 5.80 Adote essas conversões: 1 ksi = 7MPa 1hp = 1000W 1 pol = 25mm 1lb.pol = 0,125 N.m 1lb.pé = 1,5 N.m
Para Treinar em Casa
CONCLUSÕES
Resumo É possível calcular estruturas estaticamente indeterminadas sujeitas à torção Eixos de seção não circular têm a distribuição da tensão de cisalhamento complexa Eixos de seção circular são os mais eficientes na resistência à torção Exercitar Exercícios Hibbeler
Próxima Aula Como calcular a resistência a torção em perfis de paredes finas fechados? Há concentração de tensão?
PERGUNTAS?
BOM DESCANSO A TODOS!