MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - GST1075 Semana Aula: 1 Revisão de Funções e Gráficos Tema Funções e Gráficos Palavras-chave Funções; Gráficos Objetivos Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: Diferenciar Funções lineares e não lineares. Diferenciar Funções crescentes e decrescentes. Determinar o Ponto de máximo e o Ponto de mínimo. Estrutura de Conteúdo 1.1 Conceito Uma função f é uma regra ou uma correspondência que faz associar um e somente um valor da variável y para cada valor de variável x. 1.2 Domínio O domínio de uma função F de um conjunto A até um elemento de um conjunto B é definido como o subconjunto de todos os elementos de A que a função leva até um elemento de B. 1.3 Funções lineares e não lineares Uma função do 1 grau ou função afim é definida pela lei de formação f(x) = a.x + b, na qual a eb são reais e a? 0. Mas entre a vasta gama de funções do 1 grau, existe um tipo particular de grande importância: a função linear. A função linear é aquela em que temos b = 0, isto é, sua lei de formação é do tipo f(x) = a.x, com areal e diferente de zero. Observe que toda função que não possui valor para o coeficiente b é classificada como função linear e, por consequência, é também uma função afim. Quando a função não linear for do 2.º grau, f(x) = ax 2 +bx + c, podemos resolvê-la através da Fórmula Resolvente que nos dá duas raízes:
1.4 Funções crescentes e decrescentes Quando temos uma função, pode ocorrer que, aumentando os valores de x, os valores das imagens também aumentem. Nesse caso, diremos que a função cresce. Ao contrário do que ocorre nas funções crescentes, uma função é decrescente quando os valores de x aumentam e os valores de y diminuem 1.5 Pontos de máximo e mínimo Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais, sendo a? 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas: 1.6 Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Procedimentos de Ensino Caríssimo professor, esse espaço é uma forma de podermos apresentar algumas sugestões que pensamos serem pertinentes para a disciplina Matemática para Negócios. Mesmo que saibamos que cada professor tem sua forma específica de apresentar os conteúdos, enriquecendo da sua maneira os planos de aula apresentados, faz-se necessário que estabeleçamos linhas comuns de ação, que nos permitam manter uma razoável unidade no direcionamento dos objetivos a serem atingidos pela disciplina e pelo curso. Com isso, não se almeja engessar a criatividade e o talento do professor. Pelo contrário, há sempre espaço para apresentação de um conteúdo não contemplado ou mesmo a concessão de maior ênfase em um determinado ponto que o docente entenda que deva ser abordado de forma mais profunda.
Neste sentido, este segmento "Procedimentos de Ensino", não tem a pretensão de ditar regras, mas sim de ser uma ferramenta de auxílio ao professor, sugerindo caminhos possíveis. Desde já, portanto, deixamos claro que as falas que seguirão nas aulas subsequentes, não são falas sem escuta. Pelo contrário, temos convicção que nosso curso pode ser aperfeiçoado pela própria cooperação daqueles que, estando dentro de sala e observando as necessidades do aluno, estão mais habilitados a oferecer novas contribuições, em um trabalho permanente de enriquecimento dos conteúdos e dos métodos de apresentação destes. Assim, desde já, possíveis omissões, falhas e mesmo sugestões de acréscimo devem ser encaminhadas via SGC, para que possam ser objeto de aperfeiçoamento dos presentes planos de aula. Importante sinalizar ao aluno que a disciplina possui 2 créditos de aula por semana, mais 2 créditos de Atividade Estruturada. Cabe ao professor apresentar o Plano de Ensino da disciplina, contextualizando sua relevância para a formação profissional na área de Gestão e Negócios. O Plano de Ensino é o roteiro da disciplina, ao qual o estudante deve retornar sempre para acompanhamento de sua evolução. O Plano de Ensino é desdobrado em Planos de Aula. O professor deve explicar que a metodologia do Modelo de Ensino da Estácio exige que o estudante se prepare antes de cada aula, por meio da leitura do Plano de Aula, das páginas do Livro Didático nele indicadas e da resolução das atividades propostas. Para iniciar a apresentação do conteúdo o professor fará a exposição oral do tema, utilizando recursos pedagógicos que auxiliem no processo de aprendizagem. 1.1 Conceito Importante Sinalizar que a variável x é denominada variável independente, podendo tomar qualquer valor num certo conjunto de números denominado domínio de f. Para cada valor de x no domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é denominada variável dependente, visto que seu valor depende do valor de x. O conjunto de valores assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominada imagem de f. Usualmente, mas não sempre, utiliza-se x para a variável independente e y para a variável dependente. Uma equação que fornece y em termo de x determina uma função f, e diz-se que a função f é definida pela equação (ou dada pela equação). 1.2 Domínio O professor deverá reforçar, junto ao aluno, que Se a função f é definida por uma equação, então (a não ser que recomendações explícitas sejam feitas) compreende-se que o domínio de f consiste naqueles valores de x para os quais a equação faz corresponder um e somente um y (diz-se que f é definida no ponto). Portanto, a imagem de f é automaticamente determinada, visto que esta consiste naqueles valores de y que correspondem, pela equação de definição aos valores de x no domínio. 1.3 Funções lineares e não lineares
Recomenda-se estabelecer a diferença entre a Função Afim e a Função Quadrática. 1.4 Funções crescentes e decrescentes Recomenda-se estabelecer a diferença entre as funções que são expressas pela lei de formação y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b pertencem ao conjunto dos números reais, com a? 0, são consideradas funções do 1º grau. Esse tipo de função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a, se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função se torna decrescente. 1.5 Pontos de máximo e mínimo Recomenda-se que o professor faça um estudo dos pontos de máximo e mínimo absolutos da função do 2º grau e compreender sua utilidade nos contextos mais diversos. O vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola. Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto. Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto. As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 1.6 Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações Após sinalizar que definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y, o professor deverá abordar o estudo do sinal. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente. Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2 grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo. Para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo. O professor deverá lembrar ao aluno que a direção da concavidade da parábola depende diretamente do coeficiente a da sua regra de associação. Estratégias de Aprendizagem Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais.
Indicação de Leitura Específica Recomendamos fortemente que o aluno assista a entrevista do economista Paulo Mol, da Confederação Nacional da Indústria, que participou de uma conversa ao vivo no site do JH. Vídeo: Economista fala sobre a importância da matemática na vida profissional Disponível em: http://globotv.globo.com/rede-globo/jornal-hoje/v/economista-fala-sobrea-importancia-da-matematica-na-vida-profissional/3355704/ Recursos Quadro branco e flip chart; computador desktop/notebook; projetor de imagem; aparelhos de DVD, CD e tablet; conexão de internet livre (banda larga), artigos científicos (periódicos e revistas) e Bibliotecas da instituição: física e virtual. Obs.: Os diversos recursos físicos que deverão ser utilizados nas aulas devem ser objeto de prévias conferências e testes, sempre antes do início das aulas. Aplicação: articulação teoria e prática O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = -5x 2 + 100x -80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. QUESTÃO 1: Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. QUESTÃO 2: Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. Avaliação O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = -5x 2 + 100x -80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: QUESTÃO 1: Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. Solução: Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = -5x 2 + 100x -80, é uma função do 2º grau, percebemos que a = -5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será dado
pelo Y v (coordenada y do vértice). Assim, teremos: Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00. QUESTÃO 2: Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. Solução: O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo X v (coordenada x do vértice). Teremos: Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado (R$ 420,00). Considerações Adicionais Nesta Aula 1, o professor deverá demonstrar o Plano de Ensino e todas as suas funcionalidades (perfil docente, contextualização, ementa, objetivos, conteúdos, procedimentos de ensino, recursos, avaliações, procedimentos de avaliação, bibliografias, materiais didáticos e outras informações) fará com que os alunos compreendam a sua condição orientadora para o mais adequado desenvolvimento da disciplina e todas as suas necessidades.