UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: DADOS NÃO TRANSITIVOS AUTOR: Mayara Brito (estagiária da BOM) ORIENTADOR: Dr. Professor Márcio Lima (coordenador da BOM) 1
Dados não transitivos Neste texto vamos falar um pouco sobre dados não transitivos, o que são, o porque de serem chamados assim e algumas curiosidades. A primeira pergunta a ser feita é: o que é transitividade? Um exemplo de transitividade que todos estamos acostumados está relacionado com a ordem dos números reais: se A > B e B > C então A > C, o sinal de > "foi transmitido direto do A para o C". Considere a situação a seguir. João e Maria resolveram brincar com uma moeda de forma que, ele escolheu cara e ela coroa. Quem terá mais chance de ganhar? E por que? Para saber a chance de cada um ganhar basta calcular a probabilidade dada por P x, onde x é o evento desejado, que é feita da seguinte maneira: P x = número de envento desejado número de situações possíveis No jogo entre João e Maria temos duas situações possíveis (cara ou corroa). Então a probabilidade dele ganhar é P ca = 1 (probabilidade de ser cara), e a dela é P co = 1 (probabilidade de ser coroa). Perceba que a chance de ganhar é a mesma para ambos. Observe que P = 1 = 50 = 100 50%. Maria cou pensando, se ela e Ana jogassem com outra moeda qual seria a chance de cada uma ganhar? Temos que as situações possíveis são as mesmas, cara ou coroa, e a probabilidade de cada uma ganhar é igual, ou seja, P = 1. Mas e se o jogo fosse entre João e Ana, o que ocorreria? Perceba que é a mesma situação, probabilidades iguais, P = 1. Então se vale para João com Maria, e Maria com Ana, logo vale para João com Ana. Temos então uma relação transitiva, ou seja, a propriedade é transmitida de João para Maria e de Maria para Ana, portanto do 1 o para o ultimo elemento. A propriedade transitiva também ocorreria se eles tivessem jogado com dados comuns? Veja o quadro que mostra os possíveis resultados de um jogo entre duas pessoas, onde x representa a situação de empate.
João escolheu o dado I e percebeu que a probabilidade de ganhar é P I = 15 36, assim como Maria com o dado II tem probabilidade P II = 15 36, e a chance de empate é de P X = 6. Portanto os dois tem a mesma chance de vencer. 36 João também notou isto no jogo entre Maria e Ana com os dados, onde a probabilidade de ganhar era a mesma para ambas, P = 15. Analisando mais 36 ainda, concluiu que se jogasse com Ana a chance de ganhar seria a mesma, pois eles estavam em uma relação transitiva. De maneira mais formal, dizemos que uma relação é transitiva quando está satisfeita a condição: se x está relacionado com y e y está relacionado com z, então x está relacionado com z. Agora que já sabemos o que é transitividade vamos trabalhar com os dados não transitivos. Esses dados apresentam em suas faces opostas números iguais, tais como, o dado A contém os números 1, 5 e 9, onde o número 1 aparece em duas faces opostas, assim como os números 5 e 9. Temos 6 dados distintos, 3 vermelhos, denominados de A, B e C, e 3 verdes, D, E e F. Onde os números de suas faces são: A=1, 5 e 9; B=, 6 e 7; C=3, 4 e 8; D=1, 6 e 8; E=, 4 e 9; F=3, 5 e 7. Criaremos competições entre dois dados aleatórios para ver a probabilidade de vencer. Por exemplo, entre o dado A e B temos a seguinte situação: Vemos que das 9 jogadas possíveis o dado B ganha em 5, ou seja ele tem maior probabilidade de ganhar (P A = 4 9 e P B = 5 ).Representaremos isso 9 3
como B>A. Agora, entre os dados A e C temos: A probabilidade de A ganhar é maior que a do dado C (P A = 5 9 e P C = 4 9 ). Ou seja, A>C. Então temos a seguinte situação: B>A e A>C, por transitividade temos a ideia de que B>C, vamos vericar fazendo um quadro para o jogo BXC. Temos: Percebemos que C tem P C = 5 9 de chance, e B tem P B = 4, ou seja, 9 C>B. Logo a ideia de transitividade não é válida para tais dados, já que B>A>C>B. Vericamos que a propriedade transitiva não é válida pois o dado B tem maior probabilidade de ganhar o dado A, esse dado tem maior probabilidade que o C, mas o dado C tem maior probabilidade de ganhar o dado B, o que quebra a transitividade. A mesma ideia é utilizada para os dados verdes. 4
Como vemos, nos dados verdes: E>D>F>E. Dessa maneira a segunda pessoa a escolher o dado para jogar pode ter uma vantagem se pegar o que tem maior probabilidade em relação ao do seu oponente. Uma curiosidade a respeito dos dados que mencionamos é que em todos eles, as faces somam 30 e os números que aparecem em cada um deles formam uma linha de um quadrado mágico que soma 15 nas linhas, colunas e diagonais. (REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 61, 006) Aliás, as diagonais desse quadrado mágico fornecem mais dois dados não transitivos, G= 4, 5 e 6, e H=, 5 e 8. Realizando o jogo entre os dados novos, temos: A probabilidade para ganhar entre os dados G e H é a mesma (P G = 4 9 e P H = 4 ), e uma das jogadas dará empate. O mesmo acontece com o jogo 9 entre um dado vermelho e um verde qualquer. Observe: 5
Em cada uma das jogadas das 9 possibilidades de cada jogo, uma sempre é empate, pelo fato de que sempre haverá um número em comum já que os dados vermelhos são as linhas do quadrado mágico e os verdes as colunas, então surgirá uma intercepção ( o número em comum). 6