étodos uméricos MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016
Introdução O Método dos Elementos Finitos (FEM) tem sua origem em análise de estruturas e passou a ser aplicado em problemas de EM a partir de 1968. Assim como o FDM ele é útil para resolver equações diferenciais. O FDM representa o domínio por um conjunto de pontos de grade. Sua aplicação torna-se difícil para problemas em regiões com contornos de formas irregulares, que podem ser resolvidos mais facilmente pelo FEM. A análise por FEM envolve quatro etapas:
Etapa 1: Discretização do FEM Dividi-se o domínio em um número de elementos finitos (triangulares ou quadrangulares). Na figura 4 elementos e 7 nós. Procura-se uma aproximação para o potencial Ve dentro de um elemento. Relaciona-se as distribuições de potencial em vários elementos, tal que o potencial seja contínuo através dos contornos entre os elementos interelacionados. A solução aproximada para toda a região é: N V x, y V x, y e1 N é o número de elementos. e
A forma mais comum de aproximação para Ve no interior de um elemento é a aproximação polinomial. Para um elemento triangular tem-se: V x, y a bx cy E para um elemento quadrangular tem-se: e V x, y a bx cy dxy e O elementos triangulares são os mais utilizados e são os utilizados nesse estudo.
Etapa 2: Equações que regem os elementos Considerando um elemento triangular típico. Os potenciais Ve1, Ve2 e Ve3 nos nós 1, 2 e 3, respectivamente são obtidos utilizando: V x, y a bx cy e Ve1 1 x1 y1 a V 1 x y b e2 2 2 V e3 1 x3 y 3 c Os coeficientes a, b e c são determinados a partir de: 1 a 1 x1 y1 Ve1 b 1 x y V 2 2 e2 c 1 x3 y 3 V e3
Substituindo a última equação em: Tem-se: V x, y a bx cy e V 3 e i ei i1 x, y V
A é a área do elemento, isto é: O valor de A é positivo se os nós forem numerado no sentido horário. A equação V 3 e i ei i1 Fornece o potencial em qualquer ponto (x, y) dentro do elemento, desde que os potenciais nos vértices sejam conhecidos. x, y V
i são denominadas funções de forma dos elementos e têm as seguintes propriedades: x, y i j j 1, 0, i i j j 3 i1 i xy, 1
A energia associada ao elemento é dada por: Onde assume-se um domínio bidimensional e livre de cargas ( s = 0). Assim:
A matriz [C (e) ] é conhecida como matriz de coeficientes. O elemento Cij pode ser considerado como o acoplamento entre os nós i e j. Seu valor é obtido, por exemplo:
De maneira similar: Método do Elementos Finitos Também:
Os cálculos podem ficar mais fáceis definindo: Com Pi e Qi (i = 1, 2, 3 são os números dos nós locais), cada termo da matriz dos coeficientes é determinado como: Observe que P1 + P2 + P3 = 0 = Q1 + Q2 + Q3 e, assim:
Etapa 3: Conexão de todos os elementos Tendo considerado um elemento típico, o próximo passo é conectar todos esses elementos em um domínio. A energia associada a conexão de todos os elementos na malha é: n é o número de nós, N é o número de elementos e [C] é denominada matriz de rigidez global, que representa a conexão das matrizes dos elementos individuais. O maior problema agora é obter [C] a partir de [C (e) ].
O processo pelo qual as matrizes de coeficientes de cada elementos são conectadas para obter a matriz de rigidez é melhor ilustrado com um exemplo. Considere a malha dos elementos finitos consistindo de três elementos finitos: Numeração global: 1, 2, 3, 4 e 5. Numeração local (anti-horário): 1, 2 e 3.
Assim a matriz [C] é: Método do Elementos Finitos Que é uma matriz 5 x 5, já que cinco nós (n = 5) estão envolvidos. Novamente Cij é o acoplamento entre o nó i e j. Cij é obtido utilizando o fato de que a distribuição de potencial deve ser contínua através dos contornos entre os elementos.
A contribuição à posição i, j em [C] vem de todos os elementos que contêm os nós i, j. Para encontra C11 por exemplo, o nó global 1 pertence aos elementos 1 e 2 e que é o nó local 1 para ambos. Assim: Para C22, o nó global 2 pertence ao elemento 1 somente e é o mesmo que o nó local 3. Assim: Para C44, o nó global 4 é o mesmo que os nós locais 2, 3 e 3 nos elementos 1, 2 e 3, respectivamente. Assim:
Para C14, a conexão global 14 é a mesma que as conexões locais 12 e 13 nos elementos 1 e 2, respectivamente. Assim: Como não há acoplamento ou conexão entre os nós 2 e 3: Continuando, obtém-se:
Observe que as matrizes dos coeficientes dos elementos se sobrepõem nos nós compartilhados pelos elementos. Há 27 termos (nove para cada elemento) na matriz de rigidez global [C] que tem as seguinte propriedades: A matriz é simétrica da mesma forma que a matriz dos coeficientes do elemento; A matriz é esparsa e de banda;
Etapa 4: Resolução das equações resultantes A partir do cálculo variacional, é sabido que a equação de Laplace (ou Poisson) é satisfeita quando a energia total é mínima. Portanto, é necessário que as derivadas parciais de W, em relação a cada valor nodal do potencial, seja zero. Isso é: Por exemplo, para obter W/V1=0 para a malha de elementos finitos da figura anterior obtém-se:
ou W/Vk = 0 leva a Onde n é o número de nós na malha. Ao reescrever a última equação para todos os nós k = 1, 2..., n, obtem-se um conjunto de equações simultâneas, a partir do que a solução de: Pode ser encontrada. Isso pode ser feito de duas maneiras: Método iterativo e método da matriz de banda.
Método iterativo: Método do Elementos Finitos Esta abordagem é similar àquela usada no método das diferenças finitas. Considere que o nó 1 na última figura, por exemplo seja um nó livre. O potencial no nó 1 pode ser obtido da equação: como: O potencial em um nó livre k é obtido da equação: Como:
A última equação se aplica iterativamente a todos os nós livres na malha como n nós. C ki = 0, se o nó k não está diretamente conectado ao nó i, só nós que estão diretamente ligados ao nó k contribuem para Vk. Dessa forma se os potenciais nos nós conectados ao nó k são conhecidos, pode-se determinar V k usando a equação: O processo iterativo começa estabelecendo os potenciais nos nós livres iguais a zero ou iguais ao valor médio dos potenciais.
Onde Vmin e Vmax são os valores mínimo e máximo dos potenciais preestabelecidos nos nós fixos. Com esses valores iniciais, os potenciais nos nós livres são calculados usando Ao final da primeira iteração, quando os novos valores tiverem sido calculados para todos os nós livres, esses valores tornam-se os valores de partida para a segunda iteração. O procedimento é repetido até que diferença de valore entre duas iterações subsequentes torne-se desprezível.
Método Método do Elementos Finitos da matriz esparsa: Se todos os nós livres forem numerados primeiro e os nós fixos por último, a equação Pode ser escrita tal que: Onde os índices subscritos f e p, repectivamente, refrem-se aos nós com potenciais livres e fixos. Já que Vp é constante (consiste de valores conhecidos e fixos) diferencia-se em relação a Vf, tal que, ao aplicar a equação
resulta em: Método do Elementos Finitos Onde [V] = [Vf], [A] = [Cff] e [B] = - [Cfp] [Vp]. Já que [A] é, em geral, não singular, o potencial nos nós livres pode ser encontrado.
Dois grande problemas associados: memória computacional requerida para armazenar os elementos da matriz e o tempo computacional associado. O FEM apresenta várias vantagens em relação FDM e ao MoM. O FEM pode lidar mais facilmente com um domínio complexo, é possível construir uma proposta computacional geral para resolver uma grande gama de problemas (com mesma EDP) com diferentes domínios e condições de contorno, necessitando somente mudar os dados de entrada do problema.
Exemplo: Considere a malha de 2 elementos. Usando o FEM determine os potenciais dentro da malha. Para o elemento 1:
Similarmente para o elemento 2:
Aplicando: Tem-se:
Referencias Bibliográficas 1. Elementos de eletromagnetismo Sadiku.