Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades aplicados à Hidrologia

Departamento de Engenharia Civil Prof. Dr. Doalcey Antunes Ramos Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades aplicados à Hidrologia

3.1 - Objetivos Séries de variáveis hidrológicas como precipitações, vazões, evaporação e outras, quando observadas ao longo do tempo, apresentam variações sazonais. Estas variações não são entretanto absolutamente regulares. A observação de séries longas de dados hidrológicos revelará a ocorrência de extremos (máximos e mínimos) e diferentes seqüências de valores, que caracterizam as variáveis hidrológicas como ALEATÓRIAS.

Portanto, variáveis hidrológicas sempre estarão associadas a uma probabilidade de excedência. Conseqüentemente, obras hidráulicas devem sempre ser dimensionadas para um determinado risco de falha. O objetivo da estatística é o de extrair informações significativas de uma dada massa de dados. As técnicas utilizadas em Estatística, aplicadas à Hidrologia, permitem avaliar a probabilidade de excedência de um fenômeno hidrológico em determinada magnitude.

As variáveis aleatórias podem ser classificadas em: Discretas: só podem assumir valores inteiros Ex.: nº de dias chuvosos em um ano Contínuas: podem assumir qualquer valor numérico real em um intervalo. Ex.: vazões médias diárias de um rio em uma determinada seção fluvial

Ano Vazão (m³/s) 1973 568 1974 689 1975 356 1976 258 1977 745 1978 895 1979 459 1980 256 1981 458 1982 564 1983 652 1984 598 1985 589 1986 635 1987 588 1988 721 1989 693 1990 542 1991 654 1992 459 1993 658 1994 701 1995 633 1996 548 1997 488 1998 706 1999 562 2000 588 2001 499 2002 766 3.2 Tratamento Estatístico de Variáveis Hidrológicas Q (m³/s) 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 HIDROGRAMA DE VAZÕES MÁIMAS ANUAIS 1970 1980 1990 2000

Ano Vazão (m³/s) 1973 568 1974 689 1975 356 1976 258 1977 745 1978 895 1979 459 1980 256 1981 458 1982 564 1983 652 1984 598 1985 589 1986 635 1987 588 1988 721 1989 693 1990 542 1991 654 1992 459 1993 658 1994 701 1995 633 1996 548 1997 488 1998 706 1999 562 2000 588 2001 499 2002 766 m 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 200 to 270 Vazões (m³/s) Freq. Absoluta 200 to 270 2 270 to 340 0 340 to 410 1 410 to 480 3 480 to 550 4 550 to 620 7 620 to 690 6 690 to 760 5 760 to 830 1 830 to 900 1 Histograma de Frequências Absolutas Simples 0 270 to 340 1 340 to 410 3 410 to 480 4 480 to 550 7 550 to 620 6 620 to 690 Intervalos de Vazões (m³/s) 5 690 to 760 1 1 760 to 830 830 to 900

Ano Vazão (m³/s) 1973 568 1974 689 1975 356 1976 258 1977 745 1978 895 1979 459 1980 256 1981 458 1982 564 1983 652 1984 598 1985 589 1986 635 1987 588 1988 721 1989 693 1990 542 1991 654 1992 459 1993 658 1994 701 1995 633 1996 548 1997 488 1998 706 1999 562 2000 588 2001 499 2002 766 Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa 200 to 270 2 0,067 270 to 340 0 0,000 340 to 410 1 0,033 410 to 480 3 0,100 480 to 550 4 0,133 550 to 620 7 0,233 620 to 690 6 0,200 690 to 760 5 0,167 760 to 830 1 0,033 830 to 900 1 0,033 n 30 0,25 0,20 0,15 m/n 0,10 0,05 0,00 Histograma de Frequências Relativas Simples 200 to 270 270 to 340 340 to 410 410 to 480 480 to 550 550 to 620 620 to 690 Intervalos de Vazões (m³/s) 690 to 760 760 to 830 830 to 900

A freqüência relativa simples representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória esteja entre os valores limites de um certo intervalo de classe. P P [ x x ] m n i j [ ] 3 480 Q 550 m s 0,13 13 % 0,25 0,20 0,15 m/n 0,10 0,05 Histograma de Frequências Relativas Simples 0,00 200 to 270 270 to 340 340 to 410 410 to 480 480 to 550 550 to 620 620 to 690 690 to 760 760 to 830 830 to 900 Intervalos de Vazões (m³/s)

Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Cresc. 200 to 270 2 0,067 0,067 270 to 340 0 0,000 0,067 340 to 410 1 0,033 0,100 410 to 480 3 0,100 0,100 480 to 550 4 0,133 0,333 550 to 620 7 0,233 0,567 620 to 690 6 0,200 0,767 690 to 760 5 0,167 0,933 760 to 830 1 0,033 0,967 830 to 900 1 0,033 1,000 n 30 Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 200 to 270 270 to 340 340 to 410 410 to 480 480 to 550 550 to 620 620 to 690 690 to 760 760 to 830 830 to 900 Intervalo de Vazões (m³/s)

A freqüência relativa acumulada crescente representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória seja menor do que o limite superior do intervalo de classe considerado. P [ x ] ( m n ) j P [ ] 3 Q 550 m s 0,333 33,3% Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 200 to 270 270 to 340 340 to 410 410 to 480 480 to 550 550 to 620 620 to 690 690 to 760 760 to 830 830 to 900 Intervalo de Vazões (m³/s)

Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Decresc. 200 to 270 2 0,067 1,000 270 to 340 0 0,000 0,933 340 to 410 1 0,033 0,933 410 to 480 3 0,100 0,900 480 to 550 4 0,133 0,800 550 to 620 7 0,233 0,667 620 to 690 6 0,200 0,433 690 to 760 5 0,167 0,233 760 to 830 1 0,033 0,067 830 to 900 1 0,033 0,033 n 30 Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Decrescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 200 to 270 270 to 340 340 to 410 410 to 480 480 to 550 550 to 620 620 to 690 690 to 760 760 to 830 830 to 900 Intervalo de Vazões (m³/s)

A freqüência relativa acumulada decrescente representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória seja maior do que o limite inferior do intervalo de classe considerado. [ x ] ( m n) P i 1 [ ] 3 550 m s 0,667 66,7% P Q Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Decrescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 200 to 270 270 to 340 340 to 410 410 to 480 480 to 550 550 to 620 620 to 690 Intervalo de Vazões (m³/s) 690 to 760 760 to 830 830 to 900

PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA: P [ ] x x m n i j P [ ] 3 480 Q 550 m s 0,13 13 % PROBABILIDADE DE ECEDÊNCIA: P [ x ] 1 ( m n ) i [ ] 550 m 3 s 0,667 66,7% P Q

Função Densidade de Probabilidade P ( a x b) f ( x) b a x dx Propriedades: f x ( x ) f x 0 ( x ) dx 1 A função densidade de probabilidade fornece a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória esteja entre os valores limites de um certo intervalo de classe, por exemplo, entre a e b.

Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.

Medidas Descritivas Populacionais Valor Esperado: V.A. discreta: [ ] E µ x p x ) i ( i V.A. contínua: E [ ] µ x f ( x) dx O Valor Esperado é uma medida de tendência central

Medidas de dispersão em torno da medida central Var [ ] 2 σ µ E ( µ ) 2 Variância: [ ] [( [ ]) 2 ] 2 E E [ ] 2 2 σ µ E[ ] ( E[ ]) 2 Var 2

Desvio-padrão: σ Var ( ) 2 [ ] 2 E [ ] ( E [ ]) σ Var [ ] 2 x f x) dx ( x f ( x) dx 2 Coeficiente de Variação CV σ µ

Coeficiente de Assimetria: γ µ 3 ( σ ) 3 E [( ) ] 3 µ ( σ ) 3 Coeficiente de Curtose κ µ 4 ( σ ) 4 E [( ) ] 4 µ ( σ ) 4

Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.

Medidas Descritivas Amostrais Medidas Descritivas Amostrais N i x i N 1 1 Média Aritmética Simples: Média Aritmética Simples: Média Aritmética Ponderada: Média Aritmética Ponderada: + + + k i i i k i i i k k x p N x N N x N x N x N 1 1 2 2 1 1 1...

Mediana : valor de x para o qual as probabilidades de ocorrência de valores superiores e inferiores são as mesmas e iguais a 50% Moda : valor de x que possui a máxima probabilidade, ou em outras palavras, é o mais frequente.

Desvio-Padrão Amostral: Desvio-Padrão Amostral: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 N x N N N x s i N σ N Coeficiente de Variação Amostral Coeficiente de Variação Amostral s C N V 1

Coeficiente de Assimetria Amostral: 2 N x³ x² g 3 + 2 ( N 1)( N 2) N N Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.

REGRESSÃO E CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS A correlação entre duas variáveis aleatórias é uma técnica muito utilizada em Hidrologia. Muitas análises se baseiam nesta estatística. A teoria da regressão e da correlação visa determinar a melhor relação de dependência entre as variáveis e estabelecer qual é o grau dessa dependência estocástica.

Utilização das técnicas de regressão e correlação em hidrologia: Extensão de séries Previsão hidrológica Regionalização hidrológica Curva-chave Q a a? ( h h ) 0 n? n

Problema Estatístico ou de CORRELAÇÃO: Qual é o grau de dependência estocástica entre x e y? Qual é o coeficiente de correlação R entre x e y? Problema Geométrico ou de REGRESSÃO: Qual é a melhor relação entre x e y? Qual é o lugar geométrico dos pontos (x i, y i ) que tornam mínimos os desvios entre os pontos observados e estimados? 1º Problema: R? 2º Problema: a? Fonte: Naghettini, 1999. b?

-1 R 1 R 0 não existe correlação R 1 relação funcional R -1relação funcional Fonte: Naghettini, 1999.

Modelos de Regressão: Simples : Linear: y a + b Não linear: y a b Múltipla : Linear: y a + b Z + c T +... Não linear: y a m. Z n. T p

Seqüência para a regressão simples: Agrupar as 2 amostras convenientemente Verificar o sentido físico Plotar os pontos (x, y) Escolher o modelo de regressão, ou seja, a forma da equação Resolver matematicamente o problema Verificar se os resultados estão de acordo com os princípios físicos

Covariância cov(, Y ) 1 i i Y N ( x )( y ) Coeficiente de Correlação ρ 2, Y R cov( σ, Y. σ Y )

Linearização de Funções: anamorfose logaritmica Função Y A B Transf. Y Transf. log( Y ) log( ) Forma linearizada ( Y ) log( A) B log( ) log +

3.3 Determinação da Probabilidade de um Evento Hidrológico ser Excedido Problema: Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica ser igualada ou excedida em um ano qualquer? Exemplo: Vazão em uma seção: P [ Q 40 m³/s ]? Altura de chuva: P [ h 120 mm]? Nível d água: P [ y 4,0 m ]?

Período de Retorno ( ou Tempo de Recorrência): Intervalo de tempo, em anos, em que uma variável hidrológica é igualada ou excedida, em médiam dia. T ( em anos) 1/P É calculado como o inverso da probabilidade de excedência da variável aleatória hidrológica

Se uma vazão Q tem um período de retorno de 50 anos isto significa que, em média(!), esta vazão é igualada ou excedida a cada 50 anos. Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade P 1/T 1/50 0.02 (ou 2%) de ser igualada ou excedida, em um ano qualquer. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: Período de Retorno é um conceito probabilístico (não significa periodicidade!) O período de retorno, T, é o inverso da probabilidade de excedência de um certo valor da variável aleatória.

Risco associado a um Período de Retorno: Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, n, para um certo período de retorno. r 1 1 1 T n Exemplo: Qual o risco da canalização de um rio falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 30 anos? Suponha que a obra tenha sido projetada para T 100 anos. Resposta: r 1 - (1-1/100) 30 0,2603 26,03%

100 80 T 5 anos T 10 anos Risco(%) 60 40 20 0 T 50 anos T 100 anos T 500 anos 0 10 20 30 40 50 Vida Útil (anos) Fonte: Zahed e Mello, 2010.

Função de Distribuição Acumulada F x b ( b) f ( x) dx P( x b) x Fonte: Naghettini e Pinto, 2007. A função de distribuição acumulada representa a probabilidade de não-excedência do valor b

Probabilidade de Excedência [ ] [ ] ( ) ( )dx x f b F b P b P b x x > 1 1 1 Período de Retorno Período de Retorno [ ] [ ] ( ) ( )dx x f b F b P b P T b x x > 1 1 1 1 1 1 1

Exemplo: Qual o período de retorno de uma chuva de 100mm na cidade de Joinville? T 1 1 P[ h > 100] 1 P[ h 100] 1 F ( ) 100 h 100 1 1 f 1 h ( h)dh

Fator de Frequência: Chow (1964): x µ + x onde x σ K T x T µ + σ K T Usando as estimativas amostrais: x T + σ K T K T é o fator de frequência associado ao modelo probabilístico e ao período de retorno T.

Funções de Distribuição Acumuladas mais utilizadas em Hidrologia A função de distribuição acumulada representa a probabilidade de não-excedência do valor b Distribuições: F x b ( b) f ( x) dx P( x b) x Normal: Log-Normal: Gumbel: Log-Pearson III: vazões médias e totais de chuvas anuais vazões médias e totais de chuvas anuais e mensais vazões máximas anuais e vazões máximas mensais vazões máximas anuais e mensais chuvas diárias máximas anuais e mensais vazões máximas e chuvas diárias máximas anuais

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS) É uma distribuição simétrica de 2 parâmetros: µ e σ f ( x) σ e 2π ( xµ ) 1 2σ 2 2 < x < Fonte: Zahed e Mello, 2010.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS) F ( x) x f x) dx 1 e σ 2π ( xµ ) x 2σ ( 2 2 dx Fonte: Zahed e Mello, 2010.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS) f ( x) σ ( xµ ) 1 2σ e 2π 2 2 < x < Variável central reduzida: z x µ σ Distribuição Normal Padrão N(0,1) tabelada : f z z 1 2 ( z) e Φ( z) 2π 2 z f Z ( z) dz

Fonte: Pinto e outros, 1976.

Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.

x + T K T σ Nesse caso: K T z x σ

DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: µ y e σ y É a distribuição normal dos logaritmos de : y ln i x i Variável central reduzida: z y µ Y σ Y Distribuição Normal Padrão N(0,1) tabelada : 2 z 1 2 ( z) e Φ( z) f z fz ( z) dz 2π z

Nesse caso: K T z y Y σ Y y Y + T K T σ Y x T e y T

DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL Fonte: Zahed e Mello, 2010.

DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e β É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e β β x α y σ σ π β σ µ β µ α 0,7797 6 0,45 0,5772 Variável reduzida: Variável reduzida: b a x e e x P F ) ( ) ( y e Y e y F ) (

DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL Variável reduzida: x α x µ + 0,45 σ y β 0,7797 σ F Y ( y) e e y

T e y F x P y e Y 1 1 ) ( 1 ) ( T y 1 1 ln ln y e e T 1 1

x + K T T σ y T x T + 0,45 0,7797 σ σ y T + K T σ 0,7797 + σ 0,45 σ K 0,7797 y + T T 0,45

Exemplo de aplicação: Determinação de Q para um certo período de retorno T 1. Com o valor de T desejado calcula-se y T 1 y T ln ln 1 T 2. O valor de K T depende somente de y K 0,7797 y T T 0,45 3. O valor de Q T é então calculado por: Q Q + K T T σ Q

DISTRIBUIÇÃO LOG-GUMBEL (ou FRÉCHET) É a distribuição de Gumbel dos logaritmos de : z ln i x i y ln ln 1 1 T K T 0,7797 y 0,45 z Z + K T T σ Z x T e z T

DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III É uma distribuição assimétrica de 3 parâmetros: a média µ, o desvio-padrão σ, e o coeficiente de assimetria g, aplicados aos logaritmos de : y ( ) ln N yi Y i x i g i 1 N 2 2 i i 1 ( N ) ( y Y ) N 3 3 2 Fonte: Zahed e Mello, 2010.

DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III Fonte: Zahed e Mello, 2010. y T Y + K T σ T Y x T e y

Ano 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 Qmax 81.6 73.1 60.2 49.7 68.3 114.5 89.9 40.4 44.6 68.7 59.6 67.7 70.3 47.0 69.4 48.8 33.9 71.5 93.5 79.5 107.9 73.3 40.7 92.2 68.3 54.8 61.9 38.4 59.2 52.4 Exemplo numérico: Calcular a vazão de 10 anos de período de retorno do Rio do Peixe Vazão média: Q m 63,04 m 3 /s Desvio padrão: σ Q 19,70 m 3 /s Q 63,04 + 19, 70 T K T

1 Usando a Distribuição Normal Q Q K T z σ Q QT Q + K T σ Q Q 63,04 + 19, 70 T K T

1 1 T 10 anos P 0,10 T 1 P 1 0,10 10 0,90 para ( 1 P 0,90) z K 1, 28 10

Q 63,04 + 19, 70K T T para ( 1 P 0,90) z K 10 1, 28 para K 10 1,28 Q 10 63,04 + 19,70.1,28 Q 10 88,256 m 3 s

2 Usando a Distribuição de Gumbel 1 ln ln y 1 10 2,250 K T 0,7797.2,250 0,45 1,304 Q 10 63,04 + 1,304 x 19,70 Q 10 88,74 m 3 /s

Calculando y para outros valores de T Para T 10 anos: y 10 2,250 Q 10 89 m 3 /s Para T 100 anos: y 100 4,601 Q 100 125 m 3 /s Para T 1000 anos: y 1000 6,907 Q 1000 160 m 3 /s

Papel de Probabilidade Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Fonte: Zahed e Mello, 2010. -1 1 3 5 7 9 variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto

Papel de Probabilidades Normal T(anos) 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Prof. Dr. Kamel Zahed Filho variável reduzida (z) Prof. Dr.Rubem La Laina Porto Fonte: Zahed e Mello, 2010.

Papel de Probabilidades Log-Normal T(anos) 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Prof. Dr. Kamel Zahed Filho variável reduzida (z) Prof. Dr.Rubem La Laina Porto Fonte: Zahed e Mello, 2010.

Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000-1 1 3 5 7 9 Prof. Dr. Kamel Zahed Filho variável reduzida (y) Prof. Dr.Rubem La Laina Porto Fonte: Zahed e Mello, 2010.

DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL Papel de Probabilidades de Gumbel para T T 1000 anos: y 2,250 10 89 m 3 1000 6,907 Q 1000 161 /sm 3 /s T(anos) para T 100 anos: y 100 4,601 Q 100 125 m 3 /s 200 180 160 140 120 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 100 80 60 40 20 Reta teórica -1 1 3 5 7 9 variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto

Processo Gráfico Ordenar as vazões em ordem decrescente e atribuir a cada uma delas uma probabilidade empírica dada pela expressão: P(q > Q) m/(n+1) como na Tabela:

Número de Vazão Probabilidade Período de Ordem Retorno m Q P(q > Q) T 1/P 1 Q 1 1/(N+1) (N+1) 2 Q 2 2/(N+1) (N+1)/2 3 Q 3 3/(N+1) (N+1)/3........................ N Q N N/(N+1) (N+1)/N Fonte: Zahed e Mello, 2010.

Qmax Ano 81.6 1947 73.1 1948 60.2 1949 49.7 1950 68.3 1951 114.5 1952 89.9 1953 40.4 1954 44.6 1955 68.7 1956 59.6 1957 67.7 1958 70.3 1959 47.0 1960 69.4 1961 48.8 1962 33.9 1963 71.5 1964 93.5 1965 79.5 1966 107.9 1967 73.3 1968 40.7 1969 92.2 1970 68.3 1971 54.8 1972 61.9 1973 38.4 1974 59.2 1975 52.4 1976 Aplicação do procedimento gráfico Aplicação do procedimento gráfico T Pacum Qmax Ano N. de Ordem N+1 m/n+1 m 31.00 0.03 114.5 1952 1 15.50 0.06 107.9 1967 2 10.33 0.10 93.5 1965 3 7.75 0.13 92.2 1970 4 6.20 0.16 89.9 1953 5 5.17 0.19 81.6 1947 6 4.43 0.23 79.5 1966 7 3.88 0.26 73.3 1968 8 3.44 0.29 73.1 1948 9 3.10 0.32 71.5 1964 10 2.82 0.35 70.3 1959 11 2.58 0.39 69.4 1961 12 2.38 0.42 68.7 1956 13 2.21 0.45 68.3 1951 14 2.07 0.48 68.3 1971 15 1.94 0.52 67.7 1958 16 1.82 0.55 61.9 1973 17 1.72 0.58 60.2 1949 18 1.63 0.61 59.6 1957 19 1.55 0.65 59.2 1975 20 1.48 0.68 54.8 1972 21 1.41 0.71 52.4 1976 22 1.35 0.74 49.7 1950 23 1.29 0.77 48.8 1962 24 1.24 0.81 47.0 1960 25 1.19 0.84 44.6 1955 26 1.15 0.87 40.7 1969 27 1.11 0.90 40.4 1954 28 1.07 0.94 38.4 1974 29 1.03 0.97 33.9 1963 30 Fonte: Zahed e Mello, 2010.

Aplicação do procedimento gráfico Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Q 100 136 m 3 /s Reta empírica Qmax 114.5 107.9 93.5 92.2 89.9 81.6 79.5 73.3 73.1 71.5 70.3 69.4 68.7 68.3 68.3 67.7 61.9 60.2 59.6 59.2 54.8 52.4 49.7 48.8 47.0 44.6 40.7 40.4 38.4 33.9 Pacum m/n+1 0.03 0.06 0.10 0.13 0.16 0.19 0.23 0.26 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.45 0.48 0.52 0.55 0.58 0.61 0.65 0.68 0.71 0.74 0.77 0.81 0.84 0.87 0.90 0.94 0.97 T N+1 31.00 15.50 10.33 7.75 6.20 5.17 4.43 3.88 3.44 3.10 2.82 2.58 2.38 2.21 2.07 1.94 1.82 1.72 1.63 1.55 1.48 1.41 1.35 1.29 1.24 1.19 1.15 1.11 1.07 1.03-1 1 3 5 7 9 variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto

Aplicação do procedimento gráfico Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) 200 180 160 1.1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Reta empírica 140 120 100 80 Reta teórica 60 40 20-1 1 3 5 7 9

Fontes : Naghettini, M. Engenharia de Recursos Hídricos Notas de Aula, Departamento de Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos, EE-UFMG, Belo Horizonte, 1999. Zahed Fº, K & Mello Jr. A. V. Material de Aulas - Disciplina PHD2307 -Hidrologia Aplicada, Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental, Poli-USP, São Paulo, 2010. Naghettini, M. e Pinto, E. J. A. Hidrologia Estatística, CPRM, Belo Horizonte, 2007. (in: http://www.cprm.gov.br).. Pinto, N.L.S. e outros. Hidrologia Básica, Edit. Edgard Blucher, São Paulo, 1976.