Domínio, Contradomínio e Imagem

Domínio, Contradomínio e Imagem (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X Y uma função. Dizemos que: f (X) X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y B; y = f (x) para algum x X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

Domínio, Contradomínio e Imagem (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X Y uma função. Dizemos que: f (X) X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y B; y = f (x) para algum x X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

Domínio, Contradomínio e Imagem (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X Y uma função. Dizemos que: f (X) X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y B; y = f (x) para algum x X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

Domínio, Contradomínio e Imagem (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X Y uma função. Dizemos que: f (X) X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y B; y = f (x) para algum x X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) f : R R 2 definido por f (x) = (x, x). f R é o domínio R 2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) (x, x) = (y, y) x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) f (x) = (x, x) x R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

Funções Exemplo 2 Exemplo (função sobrejetiva) f : R 2 R definido por f (x, y) = x + y. R 2 é o domínio R é o contra-domínio Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y R (elemento do contra-domínio), existe x R 2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f (x) = f (y, 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30

Funções Exemplo 2 Exemplo (função sobrejetiva) f : R 2 R definido por f (x, y) = x + y. R 2 é o domínio R é o contra-domínio Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y R (elemento do contra-domínio), existe x R 2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f (x) = f (y, 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30

Funções Exemplo 2 Exemplo (função sobrejetiva) f : R 2 R definido por f (x, y) = x + y. R 2 é o domínio R é o contra-domínio Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y R (elemento do contra-domínio), existe x R 2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f (x) = f (y, 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30

Funções Exemplo 2 Exemplo (função sobrejetiva) f : R 2 R definido por f (x, y) = x + y. R 2 é o domínio R é o contra-domínio Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y R (elemento do contra-domínio), existe x R 2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f (x) = f (y, 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30

Funções Exemplo 2 Exemplo (função sobrejetiva) f : R 2 R definido por f (x, y) = x + y. R 2 é o domínio R é o contra-domínio Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y R (elemento do contra-domínio), existe x R 2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f (x) = f (y, 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30

Funções Exemplo 2 Exemplo (função sobrejetiva) f : R 2 R definido por f (x, y) = x + y. R 2 é o domínio R é o contra-domínio Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y R (elemento do contra-domínio), existe x R 2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f (x) = f (y, 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30

de Transformação Linear (transformação linear) T : V W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α u + v) = αt ( u) + T ( v 2 ). para todo u, v V e α R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T ( 0 + 0) = T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

de Transformação Linear (transformação linear) T : V W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α u + v) = αt ( u) + T ( v 2 ). para todo u, v V e α R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T ( 0 + 0) = T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

de Transformação Linear (transformação linear) T : V W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α u + v) = αt ( u) + T ( v 2 ). para todo u, v V e α R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T ( 0 + 0) = T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

de Transformação Linear (transformação linear) T : V W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α u + v) = αt ( u) + T ( v 2 ). para todo u, v V e α R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T ( 0 + 0) = T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

de Transformação Linear (transformação linear) T : V W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α u + v) = αt ( u) + T ( v 2 ). para todo u, v V e α R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T ( 0 + 0) = T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

de Transformação Linear (transformação linear) T : V W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α u + v) = αt ( u) + T ( v 2 ). para todo u, v V e α R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T ( 0 + 0) = T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

TL Notação Notação Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V. Observação Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

TL Notação Notação Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V. Observação Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 1 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 ) é linear? T (αx + y) = T (αx 1 + y 1, αx 2 + y 2, αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3, (αx 1 + y 1 )) = α(x 3, x 1 ) + (y 3, y 1 ) = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TL Exemplo 2 T : R n R m x A m n x é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TL Exemplo 2 T : R n R m x A m n x é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TL Exemplo 2 T : R n R m x A m n x é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TL Exemplo 2 T : R n R m x A m n x é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TL Exemplo 2 T : R n R m x A m n x é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TL Exemplo 2 T : R n R m x A m n x é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TL Exemplo 3 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 x 2 ) T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 2T (1, 1, 1) é linear? Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TL Exemplo 3 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 x 2 ) T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 2T (1, 1, 1) é linear? Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TL Exemplo 3 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 x 2 ) T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 2T (1, 1, 1) é linear? Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TL Exemplo 3 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 x 2 ) T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 2T (1, 1, 1) é linear? Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TL Exemplo 3 T : R 3 R 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 3, x 1 x 2 ) T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 2T (1, 1, 1) é linear? Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TL Exemplo 4 Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada é linear? D : C 1 (R; R) C(R; R) f D(f ) = f. D(αf + g) = (αf + g) = αf + g = αd(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TL Exemplo 4 Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada é linear? D : C 1 (R; R) C(R; R) f D(f ) = f. D(αf + g) = (αf + g) = αf + g = αd(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TL Exemplo 4 Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada é linear? D : C 1 (R; R) C(R; R) f D(f ) = f. D(αf + g) = (αf + g) = αf + g = αd(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TL Exemplo 4 Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada é linear? D : C 1 (R; R) C(R; R) f D(f ) = f. D(αf + g) = (αf + g) = αf + g = αd(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TL Exemplo 4 Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada é linear? D : C 1 (R; R) C(R; R) f D(f ) = f. D(αf + g) = (αf + g) = αf + g = αd(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TL Exemplo 4 Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada é linear? D : C 1 (R; R) C(R; R) f D(f ) = f. D(αf + g) = (αf + g) = αf + g = αd(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

Teorema Teorema Sejam T : U V transformação linear e {u 1, u 2,..., u n } base de U. Se conhecemos T (u i ) para i = 1,..., n, então T (u) está bem determinado para qualquer u U. u = n i=1 α iu i T (u) = T ( n i=1 α iu i ) = n i=1 α it (u i ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

Teorema Teorema Sejam T : U V transformação linear e {u 1, u 2,..., u n } base de U. Se conhecemos T (u i ) para i = 1,..., n, então T (u) está bem determinado para qualquer u U. u = n i=1 α iu i T (u) = T ( n i=1 α iu i ) = n i=1 α it (u i ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

Teorema Teorema Sejam T : U V transformação linear e {u 1, u 2,..., u n } base de U. Se conhecemos T (u i ) para i = 1,..., n, então T (u) está bem determinado para qualquer u U. u = n i=1 α iu i T (u) = T ( n i=1 α iu i ) = n i=1 α it (u i ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

Teorema Teorema Sejam T : U V transformação linear e {u 1, u 2,..., u n } base de U. Se conhecemos T (u i ) para i = 1,..., n, então T (u) está bem determinado para qualquer u U. u = n i=1 α iu i T (u) = T ( n i=1 α iu i ) = n i=1 α it (u i ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

Exemplo Exemplo Seja T : R 2 R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x, y) = (x, x) + (0, y x) = x(1, 1) + (y x)(0, 1) T (x, y) = xt (1, 1) + (y x)t (0, 1) = 2x + 3(y x) = 3y x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

Exemplo Exemplo Seja T : R 2 R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x, y) = (x, x) + (0, y x) = x(1, 1) + (y x)(0, 1) T (x, y) = xt (1, 1) + (y x)t (0, 1) = 2x + 3(y x) = 3y x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

Exemplo Exemplo Seja T : R 2 R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x, y) = (x, x) + (0, y x) = x(1, 1) + (y x)(0, 1) T (x, y) = xt (1, 1) + (y x)t (0, 1) = 2x + 3(y x) = 3y x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

Exemplo Exemplo Seja T : R 2 R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x, y) = (x, x) + (0, y x) = x(1, 1) + (y x)(0, 1) T (x, y) = xt (1, 1) + (y x)t (0, 1) = 2x + 3(y x) = 3y x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

Exemplo Exemplo Seja T : R 2 R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x, y) = (x, x) + (0, y x) = x(1, 1) + (y x)(0, 1) T (x, y) = xt (1, 1) + (y x)t (0, 1) = 2x + 3(y x) = 3y x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. v u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. u + v v u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. R(v) R(u) R R v u u + v R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. R(u) + R(v) R(u) u + v R(v) v u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. R(u) + R(v) R u + v R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. R(u) + R(v) R u + v R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. R(u) + R(v) R u + v R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

Exemplo: Matriz de Rotação ([ x R y sen θ ([ x R y ]) = R(xe 1 + ye 2 ) = xr(e 1 ) + yr(e 2 ) R(e 1 ) cos θ ]) θ e 1 R(e 2 ) θ e 2 cos θ sen θ [ ] [ ] cos θ sin θ = x + y sin θ cos θ [ ] [ ] cos θ sin θ x = sin θ cos θ y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

Exemplo: Matriz de Rotação ([ x R y sen θ ([ x R y ]) = R(xe 1 + ye 2 ) = xr(e 1 ) + yr(e 2 ) R(e 1 ) cos θ ]) θ e 1 R(e 2 ) θ e 2 cos θ sen θ [ ] [ ] cos θ sin θ = x + y sin θ cos θ [ ] [ ] cos θ sin θ x = sin θ cos θ y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

Exemplo: Matriz de Rotação ([ x R y sen θ ([ x R y ]) = R(xe 1 + ye 2 ) = xr(e 1 ) + yr(e 2 ) R(e 1 ) cos θ ]) θ e 1 R(e 2 ) θ e 2 cos θ sen θ [ ] [ ] cos θ sin θ = x + y sin θ cos θ [ ] [ ] cos θ sin θ x = sin θ cos θ y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

(núcleo, imagem) O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo. Nuc(T ) = {u U T (u) = 0} A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum vetor do domínio. Im(T ) = {v V v = T (u) para algum u U} Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

(núcleo, imagem) O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo. Nuc(T ) = {u U T (u) = 0} A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum vetor do domínio. Im(T ) = {v V v = T (u) para algum u U} Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

Observação Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Im(T ) é subespaço vetorial de V. (nulidade, posto) A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(t ) = dim(nuc(t )) O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(im(t )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

Observação Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Im(T ) é subespaço vetorial de V. (nulidade, posto) A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(t ) = dim(nuc(t )) O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(im(t )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

Observação Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Im(T ) é subespaço vetorial de V. (nulidade, posto) A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(t ) = dim(nuc(t )) O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(im(t )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

Exemplo T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + y, 2(x + y), 0) T (x, y) = (0, 0, 0) x + y = 0 Nuc(T ) = (1, 1) Im(T ) = (1, 2, 0) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30

Exemplo T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + y, 2(x + y), 0) T (x, y) = (0, 0, 0) x + y = 0 Nuc(T ) = (1, 1) Im(T ) = (1, 2, 0) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30

Exemplo T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + y, 2(x + y), 0) T (x, y) = (0, 0, 0) x + y = 0 Nuc(T ) = (1, 1) Im(T ) = (1, 2, 0) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30

Exemplo T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + y, 2(x + y), 0) T (x, y) = (0, 0, 0) x + y = 0 Nuc(T ) = (1, 1) Im(T ) = (1, 2, 0) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30

Lema Seja T : U V uma TL. Então: T é injetiva Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva dim(im(t )) = dim(v ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

Lema Seja T : U V uma TL. Então: T é injetiva Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva dim(im(t )) = dim(v ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

Lema Seja T : U V uma TL. Então: T é injetiva Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva dim(im(t )) = dim(v ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

Teorema (do ) Seja T : U V uma TL. Então dim(nuc(t )) + dim(im(t )) = dim(u). Prova Seja {u 1,..., u ν } base de Nuc(T ) e sejam v 1,..., v r tais que {u 1,..., u ν, v 1,..., v r } seja base de U. Basta verificar que {T (v 1 ),..., T (v r )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30

Teorema (do ) Seja T : U V uma TL. Então dim(nuc(t )) + dim(im(t )) = dim(u). Prova Seja {u 1,..., u ν } base de Nuc(T ) e sejam v 1,..., v r tais que {u 1,..., u ν, v 1,..., v r } seja base de U. Basta verificar que {T (v 1 ),..., T (v r )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30

Teorema (do ) Seja T : U V uma TL. Então dim(nuc(t )) + dim(im(t )) = dim(u). Prova Seja {u 1,..., u ν } base de Nuc(T ) e sejam v 1,..., v r tais que {u 1,..., u ν, v 1,..., v r } seja base de U. Basta verificar que {T (v 1 ),..., T (v r )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30

Teorema (do ) Seja T : U V uma TL. Então dim(nuc(t )) + dim(im(t )) = dim(u). Prova Seja {u 1,..., u ν } base de Nuc(T ) e sejam v 1,..., v r tais que {u 1,..., u ν, v 1,..., v r } seja base de U. Basta verificar que {T (v 1 ),..., T (v r )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30

Espaço Vetorial das TLs (operações entre TLs) Dados T, S L(U; V ) e α R definimos a soma de TLs e a sua multiplicação por escalar como: T + S : U V u T (u) + S(u) e αt : U V u αt (u). Lema (espaço vetorial das TLs) L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

Espaço Vetorial das TLs (operações entre TLs) Dados T, S L(U; V ) e α R definimos a soma de TLs e a sua multiplicação por escalar como: T + S : U V u T (u) + S(u) e αt : U V u αt (u). Lema (espaço vetorial das TLs) L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

Composição de Funções ( funções) Dadas f : X Y e g : Y Z, define-se g f : X Z x g(f (x)) f g X Y Z Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

Composição de Funções ( funções) Dadas f : X Y e g : Y Z, define-se g f : X Z x g(f (x)) f g X Y Z Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

Composição de Funções ( funções) Dadas f : X Y e g : Y Z, define-se g f : X Z x g(f (x)) g f X Z Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

Composição de Funções Propriedades da Composição Associatividade: (f g) h = f (g h) = f g h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X Y e g : Y Z, g f está bem definido, mas f g não está. Mesmo quando Z = X, caso em que ambas estão definidas, g f e f g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

Composição de Funções Propriedades da Composição Associatividade: (f g) h = f (g h) = f g h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X Y e g : Y Z, g f está bem definido, mas f g não está. Mesmo quando Z = X, caso em que ambas estão definidas, g f e f g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

Composição de Funções Propriedades da Composição Associatividade: (f g) h = f (g h) = f g h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X Y e g : Y Z, g f está bem definido, mas f g não está. Mesmo quando Z = X, caso em que ambas estão definidas, g f e f g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

Composição de Funções Propriedades da Composição Associatividade: (f g) h = f (g h) = f g h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X Y e g : Y Z, g f está bem definido, mas f g não está. Mesmo quando Z = X, caso em que ambas estão definidas, g f e f g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

Composição de Funções Propriedades da Composição Associatividade: (f g) h = f (g h) = f g h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X Y e g : Y Z, g f está bem definido, mas f g não está. Mesmo quando Z = X, caso em que ambas estão definidas, g f e f g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A TLs é uma TL. (T S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αs(u) + S(v)) = αt (S(u)) + T (S(v)) = α(t S)(u) + (T S)(v) (S + T ) U = S U + T U (distributividade); S (T + U) = S T + S U (distributividade); S (αt ) = α(s T ) = (αs) T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A TLs é uma TL. (T S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αs(u) + S(v)) = αt (S(u)) + T (S(v)) = α(t S)(u) + (T S)(v) (S + T ) U = S U + T U (distributividade); S (T + U) = S T + S U (distributividade); S (αt ) = α(s T ) = (αs) T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A TLs é uma TL. (T S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αs(u) + S(v)) = αt (S(u)) + T (S(v)) = α(t S)(u) + (T S)(v) (S + T ) U = S U + T U (distributividade); S (T + U) = S T + S U (distributividade); S (αt ) = α(s T ) = (αs) T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A TLs é uma TL. (T S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αs(u) + S(v)) = αt (S(u)) + T (S(v)) = α(t S)(u) + (T S)(v) (S + T ) U = S U + T U (distributividade); S (T + U) = S T + S U (distributividade); S (αt ) = α(s T ) = (αs) T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A TLs é uma TL. (T S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αs(u) + S(v)) = αt (S(u)) + T (S(v)) = α(t S)(u) + (T S)(v) (S + T ) U = S U + T U (distributividade); S (T + U) = S T + S U (distributividade); S (αt ) = α(s T ) = (αs) T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Exemplo de Composição de TLs Exemplo Considere TLs definidas em R 2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); S reflexão no eixo y: S(a, b) = ( a, b). PS(x, y) = P( x, y) = ( x, 0) SP(x, y) = S(x, 0) = ( x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y) = P(y, x) = (y, 0) RP(x, y) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

Seja f : X Y uma função bijetiva. Dado y Y : (a) sobrejetividade garante x X tal que f (x) = y; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f, denotada por f 1 : f 1 : Y X y x satisfazendo f (x) = y. f X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

Seja f : X Y uma função bijetiva. Dado y Y : (a) sobrejetividade garante x X tal que f (x) = y; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f, denotada por f 1 : f 1 : Y X y x satisfazendo f (x) = y. f X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

Seja f : X Y uma função bijetiva. Dado y Y : (a) sobrejetividade garante x X tal que f (x) = y; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f, denotada por f 1 : f 1 : Y X y x satisfazendo f (x) = y. f X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

Seja f : X Y uma função bijetiva. Dado y Y : (a) sobrejetividade garante x X tal que f (x) = y; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f, denotada por f 1 : f 1 : Y X y x satisfazendo f (x) = y. f X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

Seja f : X Y uma função bijetiva. Dado y Y : (a) sobrejetividade garante x X tal que f (x) = y; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f, denotada por f 1 : f 1 : Y X y x satisfazendo f (x) = y. f X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

Seja f : X Y uma função bijetiva. Dado y Y : (a) sobrejetividade garante x X tal que f (x) = y; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f, denotada por f 1 : f 1 : Y X y x satisfazendo f (x) = y. f 1 X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

Propriedades da Inversa A inversa possui as seguintes propriedades: f (f 1 (y)) = y y Y, isto é, f f 1 = I Y e f 1 (f (x)) = x x X, isto é, f 1 f = I X. De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos mais adiante. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30

Propriedades da Inversa A inversa possui as seguintes propriedades: f (f 1 (y)) = y y Y, isto é, f f 1 = I Y e f 1 (f (x)) = x x X, isto é, f 1 f = I X. De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos mais adiante. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30

Propriedades da Inversa A inversa possui as seguintes propriedades: f (f 1 (y)) = y y Y, isto é, f f 1 = I Y e f 1 (f (x)) = x x X, isto é, f 1 f = I X. De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos mais adiante. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Exemplos de Exemplo A inversa de f (x) = x 3 é f 1 (x) = 3 x pois ( 3 y) 3 = y e 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3. Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f 1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30

Caracterização da Inversa Lema Seja f : X Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y X satisfazendo: (a) g f = I X (identidade em X) e (b) f h = I Y (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f 1. Corolário Se f é bijetiva, então f 1 é bijetiva e (f 1 ) 1 = f. Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

Caracterização da Inversa Lema Seja f : X Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y X satisfazendo: (a) g f = I X (identidade em X) e (b) f h = I Y (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f 1. Corolário Se f é bijetiva, então f 1 é bijetiva e (f 1 ) 1 = f. Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

Caracterização da Inversa Lema Seja f : X Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y X satisfazendo: (a) g f = I X (identidade em X) e (b) f h = I Y (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f 1. Corolário Se f é bijetiva, então f 1 é bijetiva e (f 1 ) 1 = f. Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

Caracterização da Inversa Lema Seja f : X Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y X satisfazendo: (a) g f = I X (identidade em X) e (b) f h = I Y (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f 1. Corolário Se f é bijetiva, então f 1 é bijetiva e (f 1 ) 1 = f. Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

Caracterização da Inversa Lema Seja f : X Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y X satisfazendo: (a) g f = I X (identidade em X) e (b) f h = I Y (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f 1. Corolário Se f é bijetiva, então f 1 é bijetiva e (f 1 ) 1 = f. Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

Caracterização da Inversa Lema Seja f : X Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y X satisfazendo: (a) g f = I X (identidade em X) e (b) f h = I Y (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f 1. Corolário Se f é bijetiva, então f 1 é bijetiva e (f 1 ) 1 = f. Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

Inversa da Composta Lema Se g : Y Z e f : X Y são invertíveis então g f também o é e (g f ) 1 = f 1 g 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30

Inversa da Composta Lema Se g : Y Z e f : X Y são invertíveis então g f também o é e (g f ) 1 = f 1 g 1. f g X Y Z Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30

Inversa da Composta Lema Se g : Y Z e f : X Y são invertíveis então g f também o é e (g f ) 1 = f 1 g 1. f g g f X Y Z Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30

Inversa da Composta Lema Se g : Y Z e f : X Y são invertíveis então g f também o é e (g f ) 1 = f 1 g 1. f 1 g 1 f 1 g 1 X Y Z Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30

Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Lema (inversa de TL) Se T : U V é transformação linear invertível, então T 1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30

Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Lema (inversa de TL) Se T : U V é transformação linear invertível, então T 1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30

Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Lema (inversa de TL) Se T : U V é transformação linear invertível, então T 1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30

Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Lema (inversa de TL) Se T : U V é transformação linear invertível, então T 1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30