Conceito de matriz Matrizes Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado de elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas linhas e as filas verticais de colunas. ou 4 linhas e 3 colunas Matriz do tipo 4 X 3 Conceito de matriz Veja outros exemplos: matriz 2 x 3 matriz 1 x 4 matriz 2 x 1 matriz 3 x 2 matriz linha matriz coluna matriz nula Representação genérica Em uma matriz, o elemento representa o elemento da 3ª linha e da 2ª coluna, enquanto que representa oelementoda2ªlinhaeda3ªcolunadamatriz. Matriz quadrada Matriz quadrada Uma matriz m x n é dita quadrada quando o número de linhas dessa matriz é igual ao número de colunas. Como m = n, dizemos que a matriz é do tipo n x n ou que é quadrada de ordem n. Numa matriz quadrada, os elementos, para os quais i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra é chamada diagonal secundária. Matriz quadrada de ordem 2 Matriz quadrada de ordem 3 2 X 2 3 X 3 Diagonal Secundária Diagonal Principal 1
Matriz identidade Matriz identidade é toda matriz quadrada de ordem n, na qual para e para. Exercício 1: Obtenha a matriz, em que. Diagonal Principal Exercício 2: Calculeasomadoselementosda2ªcoluna damatriz em que. Exercício 3: Construa as matrizes: a) tal que b) tal que Igualdade entre matrizes Duas matrizes e são iguais quando para todo e todo. Exemplo: Determine e de modo que se tenha: Isto significa que para serem iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos correspondentes(elementos com índices iguais) iguais. 2
Matriz transposta Dada uma matriz do tipo, denomina-se transposta de ( ) a matriz do tipo obtida trocando-se ordenadamente as linhas de pelas colunas de. A matriz admite a transposta, tal que. Nessas condições, calcule e Sabendo-sequeamatriz transposta, determine o valor de. éigualasua Matriz simétrica Uma matriz quadrada de ordem denomina-se matriz simétrica, quando. Determine para que seja simétrica. Se a matriz é simétrica, determine a soma dos elementos de sua diagonal principal. 3
Adição Dadas duas matrizes e chama-se soma a matriz tal que,paratodo etodo. Exemplo: Calcule: Isto significa que a soma de duas matrizes e do tipo é uma matriz do mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em e. Matriz oposta Propriedades da adição de matrizes Denomina-se matriz oposta de uma matriz a matriz, cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de. A adição de matrizes do tipo seguintes propriedades: I) Comutativa: A+B=B+A apresenta as II) Associativa:(A+B)+C=A+(B+C) III) Elementoneutro:A+0=A IV) Elementooposto:A+(-A)=0 Sendo e, calcule a matriz, tal que Dada a matriz calcule na qual 4
Multiplicação de um número real por uma matriz, chama- Dado um número e uma matriz se produto a matriz tal que paratodo etodo. Isso significa que multiplicar uma matriz por um número é construir uma matriz formada pelos elementos de todos multiplicados por. Calcule: a) b) Sendo e, determine a matriz, tal que Multiplicação de matrizes Um empresário oferece mensalmente alimentos a dois orfanatos. Para o 1º orfanato são doados 25 kg de arroz, 20 kg de feijão, 30 kg de carne e 32 kg de batata. Para o 2º orfanato são doados 28 kg de arroz, 24 kg de feijão, 35 kg de carne e 38 kg de batata. O empresário faz a cotação em dois supermercados. Em reais, temse: PRODUTO (1 KG) SUPERMERCADO 1 SUPERMERCADO 2 Arroz 1,00 1,00 Feijão 1,50 1,20 Carne 6,00 7,00 Batata 0,80 0,60 Determine o gasto mensal do empresário, por orfanato, supondo que todos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que este represente a melhor opção de compra. Multiplicação de matrizes Com a matriz A vamos representar a compra dos produtos para os dois orfanatos: Representaremos os preços dos produtos nos dois supermercados pela matriz B: 1º supermercado 1º orfanato 2º orfanato 2º supermercado Vamos calcular o gasto mensal do empresário nas quatro situações possíveis: -Como1ºorfanato: Supermercado 1: Supermercado 2: -Como2ºorfanato: Supermercado 1: Supermercado 2: 5
Esses valores podem ser representados pela matriz C: A matriz C, assim obtida, é denominada matriz produto de A porb.indicamos:c=a.b Portanto, a melhor opção é comprar os produtos no supermercado 1. Sendo, temos: Multiplicação de matrizes Como, na multiplicação de matrizes, devemos multiplicar linha por coluna, ou seja, multiplicamos o 1º número da linha pelo 1º número da coluna, o 2º número da linha pelo 2º número da coluna etc., então a quantidade de colunas de A deve ser igual à quantidade delinhasdeb.amatrizcteráonúmerodelinhasdeae onúmerodecolunas deb. iguais Propriedadesdamultiplicaçãode matrizes Dadas as matrizes A, B e C de modo que as somas e os produtos estejam definidos, valem as propriedades: - Associativa: - Distributiva: -àesquerda: -àdireita: diferentes Observações: - podem ser indicados por, respectivamente. - A multiplicação de matrizes não é comutativa. Existem matrizes A ebtaisque. -Seocorrer,dizemosqueasmatrizesAeBcomutam. - Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento do produto, isto é, podemos ter, mesmo com e. Sendo e, determine: a) b) Se e, então com e. -Nãovalealeidocancelamento,istoé,mesmocom podemos ter e. Se, e,então com e. 6
Resolva a equação matricial, em que Exemplo 3: Dadas as matrizes e, e. sabe-se que. O valor de é: a)3 b)7 c)10 d)11 Exemplo 4: Sendo matrizes um número real e positivo, considere as Asomadetodososvaloresde paraosquais éiguala a) b) c) d) e) Inversa de uma matriz SeexisteumamatrizB,quadrada deordem,talque, dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A. Costumamos indicar a matriz inversa por.assim, Portanto,. A matriz I é a matriz identidade de mesma ordem que as matrizes e. Se a matriz quadrada é invertível, então a sua inversa é única. Quando uma matriz quadrada não possui inversa, dizemos que ela é uma matriz singular ou não invertível. Determine a inversa das matrizes: a) b) Sendo e, resolva a equação matricial. 7