CADERNO DE EXERCÍCIOS B Ensino Médio Ciências da Natureza I Questão Conteúdo Habilidade da Matriz da EJA/FB 1 Quantidade de calor H45 Teorema de Conservação da H4 Energia 3 Lei dos cossenos H17 4 Distância entre reta e ponto Distância entre pontos H15 1
1. (UFPEL) No nordeste do Brasil, as condições de insolação favorecem o uso do fogão solar, cujo funcionamento é baseado na concentração de energia por meios de espelhos. A água absorve x 10 4 calorias por minuto quando aquecida num determinado tipo de fogão solar. Determine o tempo necessário para aquecer 4 kg de água de 30 ºC a 80 ºC. Considere o calor específico da água igual a 1 cal/gºc.
. Um skatista parte da posição A situada a 7, m do solo. Em seu percurso ele passa pelas posições B e C (localizadas no solo) e chega à posição D com velocidade de 6 m/s. A D v = 6 m/s 7, m B C h Na situação apresentada admita que ocorre a conservação da energia. Com essas informações determine: a) A energia potencial gravitacional, em relação ao solo, do skatista na posição A. b) A velocidade do skatista na posição A. c) A velocidade do skatista na posição B. Expresse esse valor em km/h. d) A energia potencial gravitacional, em relação ao solo, do skatista na posição C. e) A velocidade do skatista na posição C. f) A altura atingida pelo skatista na posição D. g) A energia cinética do skatista na posição D. h) A energia potencial gravitacional, em relação ao solo, do skatista na posição D i) A energia mecânica do skatista na posição D. Informações adicionais: Massa do sistema skate skatista = 6 kg Aceleração da gravidade: 10 m/s 3
3. No ponto turístico de uma cidade deseja-se construir uma tirolesa. Para tanto, é necessário saber qual é a distância do alto da rocha até o mar, para que se possa providenciar o cabo de aço que será utilizado para o deslocamento dos praticantes de tirolesa. Observe a ilustração que apresenta esta situação e, com as informações fornecidas, calcule qual deverá ser o comprimento do cabo de aço. A tirolesa deverá se deslocar do ponto A (alto rocha) até ponto B (mar). A tirolesa é uma atividade esportiva de aventura originária da região do Tirol, na Áustria. Consiste em um cabo aéreo ancorado entre dois pontos, pelo qual o praticante se desloca através de roldanas. A 0 m 10 B C 15 m 4
4. No plano cartesiano apresentado, temos um triângulo. Deseja-se saber qual é a área deste triângulo. Para auxiliar neste cálculo temos as seguintes informações: Reta d: x + y = 0 Coordenadas dos pontos: A (,1), B( 4,4) e C( 6,3) Para calcular a área do triângulo utilizamos a expressão área = base x altura Para encontrar o valor da altura é necessário calcular a distância entre o ponto B e a reta d. Para encontrar o valor da base é necessário calcular a distância entre os pontos A e C. altura 5
GABARITO COMENTADO 1. Inicialmente determinamos a quantidade de calor necessária para elevar a agua a uma temperatura de 30 o C para a temperatura de 80 o C. Utilizando a expressão Q = m.c. Q = quantidade de calor a ser determinada m = massa de agua = 4 kg = 4.000 g c = calor específico da água, cujo valor foi enunciado do exercício vale 1 cal/g o C. = variação da temperatura = 80 o C 30 o C = 50 o C Substituindo esses valores na expressão teremos: Q = m.c. Q = 4.000 x 1 x 50 Q = 00.000 cal Esse valor significa que a água precisa receber 00.000 calorias para elevar sua temperatura de 30 o C para 80 o C. Entretanto o exercício solicita que determinemos o tempo (t) necessário para chegar na temperatura de 80 o C. Pela informação do enunciado a água absorve x 10 4 calorias por minuto. Lembre-se que o valor x 10 4 está escrito em notação científica e também pode ser reescrito da seguinte forma: x 10 4 = 0.000 calorias. Ou seja, em 1 minuto a água recebe, de acordo com o enunciado do exercício, 0.000 calorias. Então, utilizando a relação de proporcionalidade, podemos determinar quanto tempo será necessário para absorver 00.000 calorias. Multiplicando em cruz ficamos com a seguinte relação: 1 minuto 0.000 calorias t minutos 00.000 calorias 0.000t = 00.000 6
t = 00.000 0.000 t = 10 minutos Esse valor indica o tempo necessário para a água subir sua temperatura de 30 o C para 80 o C.. a) A energia potencial gravitacional, em relação ao solo, do skatista na posição A. Utilizando a expressão E p = m.g.h onde: m = 6 kg g = 10 m/s h = altura na posição A = 7, m teremos: E p = m.g.h E p = 6.10.7, E p = 4.464 J b) A velocidade do skatista na posição A. O skatista inicia seu movimento na posição A. Considerando que ele estava parado sua velocidade nessa posição é nula ( v = 0). c) A velocidade do skatista na posição B. De acordo com o enunciado ocorre conservação da energia. Portanto teremos que: Energia mecânica na posição A = Energia mecânica na posição B ou seja, (E mecânica ) A = (E mecânica ) B E lembrando que a energia mecânica é a soma da energia potencial gravitacional com a energia cinética teremos, pelo Teorema de Conservação da Energia: Energia potencial + Energia cinética na posição A = Energia potencial + Energia cinética na posição B (E P + E C ) A = (E P + E C ) B e lembrando das expressões para a energia potencial gravitacional (Ep) e energia cinética (E c ): 7
Ep = m.g.h Ec = m.v Teremos (E P + E C ) A = (E P + E C ) B (m.g.h + m.v ) A = (m.g.h + m.v ) B Observado os valores em cada uma das posições teremos: Posição A m = 6 kg g = 10 m/s h =7, m v = 0 Posição B m = 6 kg g = 10 m/s h =0 v = valor a ser determinado Substituindo esses valores na expressão acima: (m.g.h + m.v ) A = (m.g.h + m.v ) B 6.10.7, + 6.(0 ) = 6.10.0 + 6.v 4.464 + 0 = 0 + 31.v 4.464 = 31.v 4.464 = v 31 144 = v v = 144 Extraindo a raiz quadrada de 144 encontramos o valor 1. Portanto v = 1 m/s. Ou seja, a velocidade do skatista no solo (ponto B) é de 1 m/s. 8
Para escrevermos essa velocidade em km/h lembremos da relação: 1 m/s = 3,6 km/h Logo 1 m/s = 1 x 3,6 = 43, km/h. d) A energia potencial gravitacional do skatista, em relação ao solo, na posição C. Assim como na posição B, o skatista está a uma altura nula ( h = 0), com relação ao solo, na posição C. Considerando que a energia potencial gravitacional é diretamente proporcional à altura, nessa posição ela também será nula pois E p = m.g.h onde m = 6 kg, g = 10 m/s e h = 0. E p = m.g.h E p = 6.10.0 E p = 0 e) A velocidade do skatista na posição C. Admitindo que se mantém a conservação da energia não havendo perdas entre as posições B e C a velocidade do skatista é a mesma que na posição B. Esse valor para a velocidade foi determinado no item c). Velocidade na posição B = Velocidade na posição C = 1 m/s (43, km/h) f) A altura atingida pelo skatista na posição D. Novamente, de acordo com o enunciado, ocorre conservação da energia. Portanto teremos que: Energia mecânica na posição C = Energia mecânica na posição D Ou seja (E mecânica ) C = (E mecânica ) D E lembrando que a energia mecânica é a soma da energia potencial gravitacional com a energia cinética teremos, pelo Teorema de Conservação da Energia: Energia potencial + Energia cinética na posição C = Energia potencial + Energia cinética na posição D (E P + E C ) C = (E P + E C )D D 9
e lembrando das expressões para a energia potencial gravitacional (Ep) e energia cinética (Ec): Ep = m.g.h Ec = m.v Teremos (E P + E C ) C = (E P + E C ) D (m.g.h + m.v ) C = (m.g.h + m.v ) D Observado os valores em cada uma das posições, teremos: Posição C m = 6 kg g = 10 m/s h = 0 v = 1 m/s Posição D m = 6 kg g = 10 m/s h = valor a ser determinado v = 6 m/s Substituindo esses valores na expressão acima: (m.g.h + m.v ) C = (m.g.h + m.v ) D 6.10.0 + 6.(1 ) = 6.10.h + 6.(6) 0 + 4.464 = 60.h + 1.116 4.464 = 60.h + 1.116 4.464 1.116 = 60.h 3.348 = 60.h 3.348 = h 60 h = 5,4 m Portanto a posição D está localizada a uma altura de 5,4 m. 10
g) A energia cinética do skatista na posição D Para determinar a energia cinética na posição D, utilizamos a expressão: E C = m.v Onde m = 6 kg v = velocidade no posição D = 6 m/s Teremos: E C = m.v E C = 6.(6) E C = 6x36 E C =.3 E C = 1.116 J h) A energia potencial gravitacional, em relação ao solo, do skatista na posição D Para determinar a energia potencial gravitacional na posição D, utilizamos a expressão: E P = m.g.h Onde m = 6 kg h = altura na posição D em relação ao solo = 5,4 (valor que determinamos no item f dessa questão. E P = m.g.h E P = 6.10.5,4 E P = 3.348 J 11
i) A energia mecânica do skatista na posição D. A energia mecânica na posição D é dada pela soma das energias cinética e potencial gravitacional na posição D. (E MECÂNICA ) D = (E CINÉTICA ) D + (E POTENCIAL ) D A energia cinética foi determinada no item g e vale 1.116 J. A energia potencial gravitacional foi determinada no item h e vale 3.348 J. Portanto (E MECÂNICA ) D = (E CINÉTICA ) D + (E POTENCIAL ) D (E MECÂNICA ) D = 1.116 + 3.348 (E MECÂNICA ) D = 4.464 J 3. Observamos na ilustração, apresentada na situação-problema, que com as informações fornecidas, é possível formar um triângulo em que são conhecidos dois lados e um ângulo. Deseja-se então saber valor do terceiro lado desse triângulo. Para resolver esta situação vamos aplicar a Lei dos cossenos. Identificaremos os lados do triângulo da seguinte maneira: a = 15 m b = 0 m c =? c² = a² + b² -.a.b. cosĉ. c² = 15² + 0² -.15.0.cos10 observação: utilize o valor de 0,5 para o cos 10. c² = 5 + 400.15.0.( -0,5) c² = 65 600.(-,05) c² = 65 + 300 c² = 95 c = 95 1
c 30,4 Concluímos que o cabo de aço deverá ter aproximadamente 30,4 metros. 4. Calculando a distância entre a reta x + y = 0 e o ponto (4,4), medida que representa a altura do triângulo. d = d = d = d = ax 0 by 0 c a² b² 1.4.4 0 ( 1)² ()² 4 8 1 4 4 5 d = 4 = 5 Utilize o valor de,3 para 5 d = 1,79 (aproximadamente) Observação: como 5 é um número irracional utilizamos um valor aproximado. Concluímos que a altura do triângulo mede aproximadamente 1,79. Calcularemos agora a distância entre os pontos A (,1) e C (6,3) AB = x x y 1 y1 AB = 6 3 1 AB = 4 13
AB = 16 4 AB = 0 AB 4,47 Concluímos que a base do triângulo mede aproximadamente 4,47. Agora que já temos o valor da base do triângulo e da altura, vamos calcular a área desta figura. área = base x altura área = 4,47 x 1,79 área = 8 área = 4 unidades ao quadrado (como a unidade de medida não foi definida mencionamos simplesmente unidades ao quadrado). 14