Análise combinatória. Dê o valor de: a) 7! b) 6! c) 8! d) 5! - 3! e)! -! f) (5-3)! g) (3-3)! h)! ( 5)! i) 6!. Simplifique: 8! 8! 7! a) b) c) 6!!! 7! 5! 8! d) e) f)!3!!! 3!5! 3. Simplifique as expressões: a) ( n )! b) ( n - 6 )! ( n )! ( n 5)! c) ( n + )! d) ( n - 3 )! ( n )! ( n )!. Resolva as equações: n! + ( n )! a) = ( n+ )! 8 b) ( n+ )! n! + ( n )! = 5 c) = n! n! n! 5. Se a n ( n ) = ( ), calcule a993. ( n+ )! 6. Resolva (n!) - 5n! + = 0. 7. Simplificando ( n+ )! + n!, obtém-se: ( n+ )!! ( + )! 8. O valor de é:! 9. A expressão. é igual a: n! ( n+ )! n n! 0. Calcule o valor de. n( n+ )! 5m! ( m )!. Simplifique. m! n. Efetuando, obtém-se: n! ( n+ )! n! + ( n )! 6 3. Se =, então n vale: n+! n! ( ) 5. Três estradas A, B e C conduzem ao topo de um morro. De quantos modos diferentes uma pessoa pode subir e descer este morro? Álgebra 5. Suponhamos que no problema anterior, a pessoa não queria descer o morro pela estrada que subiu. Quantos caminhos diferentes de ida e volta ela pode efetuar? 6. Num grupo de quatro rapazes e 3 moças, de quantos modos pode-se escolher um rapaz para presidente e uma moça para secretária de uma agremiação? 7. Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal? 8. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal? 9. Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos significativos: a) podendo repetir os algarismos. b) sem repetir os algarismos. 0. Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal: a) podendo repetir algarismos. b) sem repetir algarismos.. No sistema de base dez, quantos são os números de três algarismos diferentes?. No sistema de base seis, quantos números de quatro algarismos existem? 3. Quantas "palavras" se pode formar com quatro letras da palavra "RAMO" sem repetir nenhuma letra?. Em um concurso com doze participantes, de quantas maneiras podem ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios, se nenhum participante pode ganhar mais de um prêmio? 5. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados no sistema decimal: a) podendo repetir os algarismos. b) sem repetição de algarismos. 6. No sistema decimal, quantos números de quatro algarismos existem: a) sem restrição? b) sem o algarismo? c) sem repetição? d) sem o e sem repetição? Telefone: 390608-9930666
7. Num ônibus há seis lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantas maneiras diferentes essas duas pessoas podem sentar-se? 8. Em um questionário existem seis questões, sendo que cada questão tem três opções para resposta: A, B e C. Os candidatos têm que marcar as seis respostas em um cartão. Quantas respostas diferentes podem ser dadas? 9. Em cada um dos vértices de um quadrado são colocadas duas lâmpadas de duas cores: vermelha e branca. De quantos modos podemos iluminar os quatro vértices de forma que em cada vértice haja somente uma lâmpada acesa? 30. De quantas maneiras distintas podemos distribuir cinco prêmios de valores diferentes a sete pessoas, de modo que cada uma receba no máximo um prêmio? 3. Quantos números de sete algarismos significativos, cujos dois primeiros algarismos são pares e os três últimos ímpares, podem ser formados? 3. Uma bandeira é formada de sete listas, que devem ser pintadas de três cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível juntá-la de modo que duas listas adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor? 33. Quantos números podemos formar com os algarismos do sistema decimal, de modo que comecem por, terminem por 9 e tenham o algarismo zero eqüidistante dos extremos? (Os números procurados são sem repetição de algarismos ). 3. Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismos iguais? 35. De quantos modos podemos distribuir cinco brinquedos diferentes a duas crianças? 36. De quantos modos podemos distribuir cinco brinquedos diferentes a duas crianças, de modo que nenhuma delas fique sem receber brinquedo? 37. Cinco bandeiras coloridas, hasteadas em um mastro, constituem um sinal em código. Quantos sinais podem ser feitos com bandeiras de sete cores diferentes; a) sendo permitida a repetição de cores? b) sem repetição de cores? c) se duas bandeiras adjacentes não são da mesma cor? 38. Com os algarismos, 3, e 5, quantos são os números de quatro algarismos que podemos formar, que sejam divisíveis por cinco e inferiores a 5000? 39. Considerando os algarismos,, 3,, 5, 6, 7, 8 e 9. Quantos números de 5 algarismos sem repetição podemos formar se os algarismos pares e ímpares aparecerem alternadamente? 0. De quantas maneiras podemos embaralhar as letras da palavra paletó de tal forma que as vogais e consoantes apareçam alternadamente?. Dispondo de 3 cores de tinta, de quantas maneiras podemos pintar uma bandeira de 7 listras, sem que duas listras consecutivas tenham a mesma cor?. Quantas placas distintas de veículos (duas entre 6 letras e algarismos quaisquer) podemos formar? 3. Alterando o critério de emplacamento de veículos para 3 letras e 3 algarismos, quantos veículos a mais poderão ser emplacados?. De quantas maneiras distintas pode ser respondida uma prova de 0 testes, cada um com cinco alternativas? (Considere distinta uma prova da outra se houver resposta diferente em pelo menos um teste.) 5. De quantas maneiras pode ser respondida uma prova de 3 testes, cada um com três alternativas? 6. Considere o seguinte "jogo": Retirar uma carta de um baralho com 5 cartas, lançar uma moeda e lançar um dado (para observar as faces). Quantos resultados possíveis tem esse "jogo"? 7. A quantidade de números de dois algarismos que se pode formar com os algarismos, 3, 5, 7 e 9 é igual a: 3 Telefone: 390608-9930666
8. Quantos são os números de 5 algarismos que, escritos na ordem inversa, não se alteram? (55, por exemplo). 9. Seis pessoas - A, B, C, D, E e F - ficam em pé uma ao lado da outra para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem é: 50. O número total de inteiros positivos que podem ser formados com os algarismos,, 3 e, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: 5. A quantidade de números ímpares de 3 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos,, 3,, 5 e 6 é: 5. Quantos números pares podemos formar usando 5 dos algarismos,, 3,, 5, 6 e 7, sem repeti-los? 53. No sistema de numeração decimal, a totalidade de números inteiros positivos menores que 000 que tenham todos os algarismos distintos é: 5. Para cadastrar seus clientes, uma empresa utiliza 5 dígitos. Os algarismos utilizados são,, 3, e 5; não é permitido repetir algarismo no mesmo código. Exemplos de códigos: 3 5 e 3 5 O número de códigos possíveis é: 55. O número de telefones de uma cidade é constituído de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser de 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de telefones será: 56. Quantos são os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos,, 3, e 5, onde, e 3 aparecem sempre juntos? 57. De quantas maneiras 5 crianças podem formar uma fila? 58. De quantas maneiras n crianças podem formar uma fila? 59. Quantos são os anagramas da palavra CABIDE? 60. Quantos são os anagramas da palavra CABIDE onde vogais e consoantes se alternam? 6. Quantos são os anagramas da palavra CABIDE que começam com CA? 6. Quantos anagramas da palavra CABI- DE terminam em I? 63. Quantos anagramas da palavra CABI- DE mantêm intacta a sílaba BI? 6. Quantos anagramas da palavra CABI- DE mantêm juntas as letras A e B, qualquer que seja a ordem? 65. Quantos anagramas da palavra CABI- DE mantêm as letras A e B separadas? 66. Quantos anagramas da palavra CABI- DE começam e terminam em vogal? Os exercícios de 67 ao 7 são relacionados a palavra PREÂMBULOS. 67. Quantos são os seus anagramas? 68. Quantos começam por PRE? 69. Quantos mantêm intacta a seqüência PRE? 70. Quantos começam com vogal? 7. Quantos começam e terminam com vogal? 7. O número de maneiras através das quais 5 livros distintos podem ser dispostos em uma estante é: 73. O número de anagramas da palavra SUPERO que começam e terminam em vogal é: 7. Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L? 75. Quantos anagramas da palavra BRI- LHANTE começam e terminam em vogal? 76. Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas? 77. Num torneio de tiro ao alvo com a participação de 5 concorrentes, a classificação do º ao 5º lugar, excluindo a possibilidade de empate, poderá ocorrer de quantas maneiras distintas? 78. De quantos modos cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras em fila? Telefone: 390608-9930666
79. De quantos modos podemos pintar quatro faixas de uma cadeira, sendo cada faixa de uma cor, se dispomos apenas de quatro cores? 80. De quantos modos podemos enfileirar cinco vogais e quatro consoantes de modo que não haja vogais adjacentes? 8. Quantos são os anagramas da palavra "ROMA"? 8. Quantos anagramas da palavra "RE- NATO" se pode formar de modo que cada palavra comece por vogal? 83. Quantos números de sete algarismos distintos podem ser formados com os algarismos,, 3,, 5, 6 e 7 de modo que em todos os números formados o algarismo "6" seja imediatamente seguido do algarismo "7"? 8. Quantos números de sete algarismos distintos podem ser formados com os algarismos,, 3,, 5, 6 e 7 de modo que os algarismos 3, 5 e 6 fiquem sempre juntos? 85. Com a palavra "PERNAMBUCO", determinar: a) todos os anagramas possíveis; b) os anagramas que comecem por PER, nesta ordem; c) os anagramas que comecem por PER, numa ordem qualquer; d) os anagramas que têm juntas, nesta ordem, as letras PER; e) os anagramas que comecem por PER, nesta ordem, e terminam por BUCO, numa ordem qualquer. 86. Determinar o número de anagramas da palavra CAPÍTULO que não possuem vogais e nem consoantes juntas. 87. Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal? 88. Quantas são as permutações das letras a, b, e, d, f, g em que as quatro primeiras ficam juntas em qualquer ordem? 89. Tem-se livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática, de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos? 90. De quantos modos podem ser arrumadas as letras da palavra VESTIBULAR, de forma que se mantenham juntas, numa ordem qualquer, as letras VES? 9. Quantas palavras de seis letras, começando e terminando por consoante, podem ser formadas com as letras da palavra FE- CHAR, cada letra figurando uma só vez? 9. De quantos modos dez pessoas podem sentar-se em dez cadeiras enfileiradas: a) sem restrições? b) ficando A e B sempre juntos? c) sem que A e B fiquem juntos? 93. Em uma urna há dez bolas, numeradas de a 0. Sacam-se uma a uma, todas as bolas da urna. a) De quantos modos pode-se esvaziar a urna? b) Quantos são os casos em que os quatro últimos números aparecem nas quatro últimas sacadas? c) Quantos são os casos em que as bolas de números ímpares aparecem nas sacadas de ordem par? 9. De quantos modos três rapazes e duas moças podem ocupar 5 lugares em fila, de forma que as moças se sentem juntas umas das outras e os rapazes uns dos outros? 95. Num tribunal, dez réus devem ser julgados isoladamente num mesmo dia; três são paulistas, dois mineiros, três gaúchos e dois baianos. Determine o número de formas, de não julgar consecutivamente três paulistas. 96. Um carro de montanha russa é formado de n bancos de dois lugares cada um. De quantos modos n casais podem sentar-se nesse carro? 97. Dados 0 objetos, qual o número de combinações de taxa que: a) contêm um determinado objeto? b) não contêm o objeto considerado? 98. Dados 5 objetos, qual o número de combinações de taxa 7 que: a) contêm 3 determinados objetos? b) não contêm os três objetos considerados? 99. Dados n objetos, qual o número de combinações de taxa p que: 5 Telefone: 390608-9930666
a) contêm um determinado objeto? b) não contêm o objeto considerado? 00. De quantos modos podemos escolher objetos em um grupo de 5 objetos? 0. Uma sociedade possui 5 diretores: a) Quantas comissões de 3 membros podemos formar com esses diretores? b) Em quantas dessas comissões não figura o presidente? c) Em quantas dessas comissões figuram juntos o presidente e o vice-presidente? 0. De quantos modos podemos iluminar uma sala que possui 5 lâmpadas, devendo ficar acesa, pelo menos, uma lâmpada? 03. Quantas comissões constituídas de 3 moças e rapazes podem ser formadas de um conjunto de 6 moças e rapazes? 0. Quantos são os jogos do turno do campeonato carioca, que é disputado por clubes? 05. De quantos modos 8 objetos podem ser distribuídos em grupos de 3 e 5 objetos? 06. De um congresso participam 0 físicos, 8 matemáticos e químicos. Quantas comissões de 6 membros podemos formar tendo representantes de cada uma das citadas disciplinas? 07. No congresso do exercício anterior, quantas comissões de 6 membros podemos formar de modo que entre seus membros não existam matemáticos? 08. Ainda em relação ao congresso do e- xercício 06, quantas são as comissões que apresentam pelo menos um matemático? 09. De quantas maneiras podemos escolher diretor, 3 secretários e tesoureiros entre os 0 administradores de um clube? 0. De quantas maneiras podemos pendurar tabuletas quadradas iguais, triangulares iguais e redondas iguais em 0 pregos, fixando uma em cada prego? parafusos tabuletas 6. Os pontos A, B, C, D, E e F são de uma mesma circunferência. Qual o número de retas que eles determinam?. Quantos quadriláteros determinam os pontos do exercício anterior? 3. Qual o número de triângulos determinados por 7 pontos distintos, sobre uma reta e 3 sobre outra reta, paralela a primeira?. Qual o número de triângulos determinados pelos pontos A, B, C, D, E e F da figura a seguir? C A D 5. De quantas maneiras podemos enfileirar 0 bandeirinhas juninas, sendo 6 vermelhas e amarelas? 6. Em quantos anagramas da palavra VESTIBULAR a letra V precede a letra T? 7. Em quantos anagramas da palavra VESTIBULAR a letra V antecede a letra T, ao mesmo tempo que a letra S antecede a letra B? 8. Determine o número de maneiras de soletrar SACRAMENTO começando por qualquer um dos esses e indo para baixo ou para a direita para um A, daí então para baixo ou para a direita para um C, etc., terminando com o O. S S A S A C S A C R S A C R A S A C R A M S A C R A M E S A C R A M E N S A C R A M E N T S A C R A M E N T O 9. Uma classe tem 0 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de alunos e alunas. O número de comissões em que participa o aluno x mas não participa a aluna y é: 0. O diagrama seguinte representa caminhos em um labirinto. Quantos percursos Telefone: 390608-9930666 B E F
diferentes pode fazer o ratinho para chegar ao queijo andando só para cima ou para a direita? queijo rato. O valor de n que satisfaz a igualdade C n, - C n,3 = 0 é:. Num certo clube, nenhum membro pode candidatar-se a mais de um cargo de cada vez. Se numa eleição há 8 candidatos a presidente, 7 a vice-presidente, a secretário e a tesoureiro, então o número de maneiras possíveis de esses cargos serem preenchidos será: 3. Um general possui n soldados para tomar uma posição inimiga. Desejando efetuar um ataque com dois grupos, um frontal com r soldados e outro de retaguarda com s soldados (r + s = n), ele poderá dispor de seus homens de quantas maneiras distintas nesse ataque?. Um tabuleiro quadrado apresenta 9 o- rifícios dispostos em 3 linhas e 3 colunas. Em cada orifício cabe uma única bola. De quantas maneiras podemos colocar 3 bolas de modo que os orifícios ocupados não fiquem alinhados? Diagonais também são consideradas tipos de alinhamento. 5. Um aluno deverá ser examinado em Português e Geografia através de uma única prova de 5 questões. Sabendo que Português tem 0 tópicos, Geografia tem 8 e que qualquer tópico só poderá aparecer no máximo em uma questão, calcule o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar a prova com três questões de Português e duas de Geografia. 6. Se o número de combinações de n + elementos a está para o número de combinações de n elementos a, na razão de para 3, então n vale: 7. Quantos são os números de 5 algarismos distintos, sendo os 3 primeiros ímpares e os últimos pares? 8. Calcule quantos múltiplos de 3, de algarismos distintos, podem ser formados com, 3,, 6 e 9. 9. De quantas maneiras 3 bolas distintas podem ser colocadas em 5 urnas? 30. Quantas são as funções definidas no domínio D = {,, 3} tendo por contradomínio C = {0,,, 3, }? 3. Num porta-bandeira deverão ser colocadas 6 bandeiras, sendo 3 africanas, 5 asiáticas e 8 européias. De quantas maneiras poderemos colocá-las mantendo juntas as de mesmo continente? 3. De quantas maneiras 6 pessoas poderão ocupar um banco com 6 lugares? 33. Considere no exercício anterior que duas delas querem ficar juntas. De quantas maneiras poderão ocupar o banco? 3. Considere no exercício 3 que duas delas querem ficar separadas. De quantas maneiras poderão ocupar o banco? 35. De quantos modos podemos ordenar livros de Matemática, 3 de Português e de Física de forma que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, a- lém disso, os de física fiquem entre si sempre na mesma ordem? 36. Quantos números compreendidos entre 00 e 000 poderemos formar com os algarismos 0,,, 5 e 6, sem repeti-los? 37. Um show de música será constituído de 3 canções e danças. De quantas maneiras distintas pode-se montar o programa, de forma que o show comece com uma canção e as duas danças sejam em seguida? 38. Suponha, por simplificação, que qualquer pessoa tenha duas ou três iniciais em seu nome. Qual é a população mínima de uma cidade para que se tenha certeza de que ao menos duas pessoas têm as mesmas iniciais? Considere um alfabeto de 6 letras. 39. Quantos são os anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal? 0. Numa estrada de ferro há dez estações. Quantos bilhetes distintos deverão 7 Telefone: 390608-9930666
ser impressos, de modo que cada um deles contenha as estações de partida e de chegada?. Quantos jogos serão realizados em um campeonato de um só turno onde 0 times jogam entre si?. No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra "LOGARIT- MO" partindo de um L e indo sempre para a direita ou para baixo?. a) 500 b) 70 c) 030 d) e) - f) g) h) i) 7. a) 56 b) 990 c) 9500 e) 5 f) 56 3. a) n b) d) 35 n 5 c) n(n+)(n+) d) n - 3. a) 8 b) c) 5 5. a n = 99 6. n=0, n= e n= 7. n+ 9.! n+ 0. n n+ ( ) 8. - 5m. m.! n+ 3. n = 5. 3 x 3 = 9 5. 3 x = 6 6. x 3 = 7. 9 x 0 = 90 8. 9 x 9 = 8 9. a) 9. = 36 b) 8. = 3 0. a) 5.9 = 5 b).8 = 3+9=. 9².8 = 68. 5.6³ = 080 3.! =. x=3 5. a) 9.0.5 = 50 b) (9.9.8) (8.8.5) = 38 6. a) 9.0 3 = 9000 b) 8.9 3 = 583 c)9².8.7 = 536 d)8².7.6 = 688 7. 6 x 5 = 30 8. 3 6 = 79 9. = 6 30. 7.6.5..3 = 50 3..9.5 =6000 3. 3. 6 = 9 33. 593 3. 9000-536 = 6 35. 36. - = 0 37. a) 7 5 = 6807 b) 7.6.5..3 = 50 c) 7.6 = 907 38. x3xx = 8 39. 00 0. 7. 9. 6760000 3. 086000. 5 0 5. 3 3 6. 6 7. 5 8. 900 9. 50. 6 5. 60 5. 080 RESPOSTAS 8 L L O L O G L O G A L O G A R L O G A R I L O G A R I T L O G A R I T M L O G A R I T M O 53. 738 5. 0 55. 8.0 5 56. 36 57. 0 58. n! 59. 70 60. 7 6. 6. 0 63. 5! = 0 6. 0 65. 80 66. 67. 0! = 368800 68. 7! = 500 69. 8! = 030 70..9! = 550 7..8! = 8380 7. 0 73. 7. 75. 300 76. 8 77.0 78. 5! = 0 79.! = 80. 5!.! 8.! = 8. 3.5! = 360 83. 6! = 70 8. P 5.P 3 = 70 85. a) 0! b) 7! c) 3!.7! d) 8! e) 3!.! 86..!.! = 5 87. 0.7! = 00800 88. P 3.P = 89. 5!.!.3!.3! = 03680 90. P 8.P 3 = 90 9..! = 88 9. a) 0! b)!.9! c) 0! - (!.9!) 93. a) 0! b) 6!.! c) 5!.5! 9. 95. 0! - (3!.8!) 96. (!) n.n! = n.n! 97. a) C 9,3 = 8 b) C 9 = 6 98. a) C = 95 b) 7 99. a) C = 79 p n C b) p Cn 00. C 5 = 0 0. a) C 5 = 0 3 b) C = ou Telefone: 390608-9930666 3 3 ( ) 3 C5 C = C c) 3 C = 3 0. C 5 + C 5 + C 3 5 + C 5 + C 5 5 = 3 3 03. C 6. C = 0 0. C = 66 3 5 05. C 8. C 5 = 56 06. 8360 07. 763 08. 596 09. 600 0. C 0,.C 8,.C, = 8900. 5. 5 3. 30
. C 6,3 -(C 3,3 +C,3 ) = 5 5. 0 6. C 0, = 5, 8!= 030 ou 8!.5 = 800 7. 90700 8. 9 = 5 9. 50 6, 0. P = 0 ou 0 C 0,6.C, = 0. 5. n! 3. r!.s!. 76 5. 3360 6. 6 7. 00 8. 7 9. 5 30. 5 3. 3!.5!.8!.3! 3. 70 33. 0 3. 80 35. 7 36. 8 37. 36 38. 853 39. 8 0. 90. 90. 8 = 56 8 Telefone: 390608-9930666