Bifurcações no Sistema Regulador de Watt Luis Fernando Mello Universidade Federal de Itajubá E-mail: lfmelo@unifei.edu.br IME-USP, São Paulo, 29 de setembro, 2006
I. Alguns Marcos de Referência O trabalho nos tempos antigos baseava-se na: - força muscular - rodas movidas pelas águas - moinhos de vento Estes controlados pela intervenção HUMANA. Um evento NOTÁVEL aconteceu com a invenção do instrumental para o CONTROLE AUTOMÁTICO da força do vapor, um passo fundamental para o sucesso econômico da REVOLUÇÃO INDUSTRIAL NO SÉCULO XVIII, na Inglaterra. 1
O regulador centrífugo de Watt é um dispositivo que controla automaticamente a velocidade de rotação de uma máquina a vapor. Sua invenção data de 1788 e pode ser tomada como ponto de partida para a TEORIA DE CONTROLE AUTOMÁTICO, i.e., sem a intervenção direta da mão humana. Para se ter uma idéia da repurcussão e aplicabilidade deste invento, podemos citar que existiam 75000 unidades construídas, somente na Inglaterra, nos 80 primeiros anos após sua invenção. Dado de MacFarlane. Aprimoramentos na arquitetura e desenho do regulador, ocorridos na primeira metade do séc. XIX, levaram a produtos menos confiáveis cujo desempenho passou a ser OSCILATÓRIO em lugar do ideal de velocidade CONSTANTE. 2
Regulador de Watt 3
Máquinas com reguladores 4
Scientific American, setembro 1952 5
Sistema Máquina de Vapor - Regulador de Watt Watt, 1788 Maxwell, 1868 Vyshnegradskii, 1877 Pontryagin, 1962 6
II. Equações Diferenciais de Pontryagin d ϕ dτ d ψ dτ d Ω dτ = ψ = c 2 Ω 2 sin ϕ cos ϕ g l = 1 (µ cos ϕ F ) I sin ϕ b m ψ ϕ ( 0, π 2) ângulo de abertura dos braços do regulador a partir de seu eixo vertical S 1, Ω [0, ) velocidade angular de rotação do volante D, com momento de inércia I, τ tempo, ψ = dϕ/dτ, θ velocidade angular de S 1, 7
H camisa mecânica que suporta os braços do regulador e pode deslizar ao longo de S 1, T conjunto de engrenagens, V válvula que determina a quantidade de vapor para a máquina, l comprimento dos braços do regulador, m massa de cada contrapeso esférico, g aceleração da gravidade, θ = c Ω, c > 0 razão de transmissão, b > 0 constante da força atrito, F torque equivalente da carga mecânica, µ > 0 uma constante de proporcionalidade. 8
III. Os aspectos Matemáticos desta palestra referem-se a um relato de nosso estudo das Bifurcações das Equações Diferenciais de Pontryagin Realizando as seguintes mudanças nas coordenadas e no tempo x = ϕ, y = l g ψ, z = c l g Ω, τ = l g t, as equações de Pontryagin SRW se escrevem como x = dx dt y = dy dt z = dz dt = y = z 2 sin x cos x sin x ε y = α (cos x β) 9
dependendo dos parâmetros normalizados dados por ε > 0, α > 0, 0 < β < 1, ε = b m l g, α = c l µ g I, β = F µ. SRW é uma família a 3 parâmetros de equações diferenciais x = f(x, ζ), f(x, ζ) = ( y, z 2 sin x cos x sin x εy, α (cos x β)), x = (x, y, z) ( 0, π ) 2 R [0, ), ζ = (β, α, ε) (0, 1) (0, ) (0, ). 10
SRW tem apenas um ponto de equiĺıbrio P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) = arccos β, 0, ( ) 1 β. A matriz Jacobiana de f em P 0 é Df (P 0 ) = 0 1 0 1 β2 β ε 2 β(1 β 2 ) α 1 β 2 0 0 e seu polinômio característico p(λ) p(λ) = λ 3 + ε λ 2 + 1 β2 β λ + 2 α β 3/2 1 β2. β 11
IV. Teorema do livro de Pontryagin e Primeiro Coeficiente de Lyapunov l 1 Para todo ε > 2 α β 3/2 SRW tem P 0 como um ponto de equiĺıbrio assintoticamente estável. Para 0 < ε < 2 α β 3/2, P 0 é instável (sela). A superfície de parâmetros críticos superfície de bifurcação Σ 1 é ε c = ε(β, α) = 2 α β 3/2. 12
Superfície Σ 1 DESCREVER a mudança na estabilidade do equiĺıbrio P 0 quando os parâmetros intersectam a superfície Σ 1 é o principal objetivo desta apresentação. 13
Artigos anteriores sobre o estudo da bifurcação de Hopf sobre Σ 1 : Estudo numérico da bifurcação de Hopf: B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff and Y. H. Wan, Theory and Applications of Hopf Bifurcation, Cambridge University Press, Cambridge, 1981. Estudo anaĺıtico da bifurcação de Hopf mas pouco conclusivo a respeito do sinal de l 1 : A. Al-Humadi and N. D. Kazarinoff, Hopf bifurcation in the Watt steam engine, Bull. Inst. Math. Appl., 21 (1985), 133-136. 14
Um estudo sobre a bifurcação de Hopf de codimensão 1 em SRW está em: J. Sotomayor, L. F. Mello and D. C. Braga, Stability and Hopf bifurcation in the Watt governor system, Commun. Appl. Nonlinear Anal., 13 (2006), 1-17. http://arxiv.org/abs/math.ds/0606230. Um estudo mais geral sobre a bifurcação de Hopf até a codimensão 3 em SRW está em: J. Sotomayor, L. F. Mello and D. C. Braga, Bifurcation analysis of the Watt governor system, aceito para publicação em Comp. Appl. Math. (2006). http://arxiv.org/abs/math.ds/0604177. 15
Encontramos uma EXPRESSÃO SIMPLES para o PRIMEIRO COEFICIENTE DE LYAPU- NOV l 1 sobre Σ 1, seu sinal e a curva onde ele se anula Σ 2 : Teorema (Sotomayor, Mello, Braga). O primeiro coeficiente de Lyapunov para P 0 em um ponto de Σ 1 é dado por l 1 = αβ3/2 (1 β 2 ) ( 3 + (α 2 5)β 2 + α 4 β 6 2 ( 1 β 2 + α 2 β 4) ( 1 β 2 + 4α 2 β 4). Se g(β, α) = 3 + (α 2 5)β 2 + α 4 β 6 é diferente de zero, então SRW tem um ponto de Hopf transversal H1 em P 0. ) 16
Se (β, α, ε c ) S U então SRW tem um ponto de Hopf H1 em P 0. Se (β, α, ε c ) S então o ponto H1 em P 0 é assintoticamente estável e para cada ε < ε c, mas próximo de ε c, existe uma órbita periódica estável perto do equíıbrio instável P 0. Se (β, α, ε c ) U então o ponto de Hopf H1 em P 0 é instável e para cada ε > ε c, mas próximo de ε c, existe uma órbita periódica instável perto do equiĺıbrio assintoticamente estável P 0. 17
Fica determinado o conjunto Σ 2 Σ 1 onde o primeiro coeficiente de Lyapunov se anula, definido por g(β, α) = 0. Teorema (Sotomayor, Mello, Braga). O segundo coeficiente de Lyapunov para P 0 em um ponto de Σ 2 é dado por l 2 (β, α, ε c ) = onde α β 3/2 h(β, α) 36(9 9β 2 + 4α 2 β 4 )h 1 (β, α), h 1 (β, α) = (1 β 2 + α 2 β 4 ) 3 (1 β 2 + 4α 2 β 4 ) 3 18
Expressão de h numa página 216 54( 16 + 37α 2 )β 2 3α 2 (389 + 180α 2 )β 4 36(150 1709α 2 + 564α 4 )β 6 + (11880 220113α 2 + 111026α 4 5533α 6 )β 8 6(1944 59747α 2 + 36063α 4 + 5186α 6 )β 10 + (5616 310545α 2 + 189480α 4 + 279290α 6 16022α 8 )β 12 + 2( 540 + 69732α 2 32266α 4 369482α 6 + 9347α 8 )β 14 α 2 (25647 + 3390α 2 960987α 4 151080α 6 + 21205α 8 )β 16 + 2α 4 (2319 + 4α 2 ( 79183 58517α 2 + 8384α 4 ))β 18 2α 6 ( 84400 251671α 2 + 31277α 4 + 7208α 6 )β 20 + 2α 8 ( 94479 6748α 2 + 23208α 4 )β 22 α 10 ( 31463 + 58672α 2 + 4880α 4 )β 24 + 16α 12 (1627 + 718α 2 )β 26 16α 14 (453 + 40α 2 )β 28 + 640α 16 β 30. 19
A figura a seguir apresenta uma síntese geométrica do Teorema anterior. O sinal de h(β, α) dá o sinal do segundo coeficiente de Lyapunov l 2 para P 0 : l 2 < 0 sobre o arco aberto, denotado por C 1, da curva Σ 2 onde l 1 = 0. Sobre este arco um típico ponto R é representado. Ainda, l 2 > 0 sobre o arco aberto, denotado por C 2, da curva Σ 2. Este arco contêm um típico ponto denotado por T. 20
Teorema. Se (β, α, ε c ) C 1 C 2 então SRW tem um ponto de Hopf transversal de codimensão 2 H2 em P 0. Se (β, α, ε c ) C 2 então P 0 é instável e o diagrama de bifurcação é como no ponto T abaixo. Se (β, α, ε c ) C 1 então P 0 é assintoticamente estável e o diagrama de bifurcação é como no ponto R. 21
Diagrama de bifurcação em T 22
Diagrama de bifurcação em R 23
Teorema. (Sotomayor, Mello, Braga). Para SRW existe um ÚNICO ponto Q = (β, α, ε c ), com coordenadas e β = 0.86828033997971281542..., α = 0.85050048430685017856... ε c = 1.37624106484659953171... onde as curvas Σ 2 (l 1 = 0) and l 2 = 0, sobre a superfície crítica Σ 1, se intersectam e o fazem transversalmente. Além disto, para os valores dos parâmetros em Σ 3 = {Q} SRW tem um ponto de Hopf transversal de codimensão 3 H3 em P 0 o qual é instável, pois l 3 (Q) > 0. O diagrama de bifurcação em Q está ilustrado nas figuras a seguir. 24
Diagrama de bifurcação em Q
Diagrama de bifurcação em R 1 25
Teorema. Suponha que o sistema x = f(x, ζ), x = (x, y, z), ζ = (β, α, ε) tenha equiĺıbrio x = 0 para ζ = 0 com autovalores λ 2,3 (ζ) = η(ζ) ± iω(ζ) e ω(0) = ω 0 > 0, η(0) = 0, l 1 (0) = 0, l 2 (0) = 0, onde l 1 (ζ) e l 2 (ζ) são o primeiro e segundo coeficientes de Lyapunov, respectivamente. Assuma que l 3 (0) 0, onde l 3 (0) é o terceiro coeficiente de Lyapunov; a aplicação ζ (η(ζ), l 1 (ζ), l 2 (ζ)) é regular em ζ = 0. Então, pela introdução de uma variável complexa, o sistema acima, reduzido à família parâmetro dependente de variedades centrais, é topologicamente equivalente a w = (η + iω 0 )w + τw w 2 + νw w 4 + l 3 w w 6 onde η, τ e ν são parâmetros de desdobramento. 26
VII. Recapitulação Para a família a 3 parâmetros de E.D.O. SRW, que modela o acoplamento do Regulador de Watt com uma máquina a vapor, foi encontrada uma estratificação Σ 1 Σ 2 Σ 3 = {Q} do espaço de parâmetros, de acordo com a codimensão e o caráter da estabilidade do equiĺıbrio P 0 como um ponto de Hopf. Cada estrato é determinado implicitamente e o caráter da estabilidade é determinado pelo sinal do coeficiente de Lyapunov. O ponto Q tem coordenadas β = 0.8682..., α = 0.8505..., ε = 1.3762..., com terceiro coeficiente de Lyapunov positivo. No interior de uma ĺıngua cuspidal (tongue) com vértice em Q, um equiĺıbrio atrator e uma órbita periódica atratora coexistem. 27
VIII. Referências Pertinentes A. A. Andronov, E. A. Leontovich et al., Theory of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane, Halsted Press, J. Wiley & Sons, New York, 1973. M. Denny, Watt steam governor stability, Eur. J. Phys., 23 (2002), 339-351. Y. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag, New York, 2004. Y. A. Kuznetsov, Numerical normalization techniques for all codim 2 bifurcations of equilibria in ODE s, SIAM J. Numer. Anal., 36 (1999), 1104-1124. A. G. J. MacFarlane, The development of frequency - response methods in automatic control, IEEE T. Automat. Contr., AC-24 (1979), 250-265. J. C. Maxwell, On governors, Proc. R. Soc. London, 16 (1868), 270-283. 28
L. S. Pontryagin, Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading, 1962. F. Takens, Unfoldings of certain singularities of vectorfields: Generalized Hopf bifurcations, J. Diff. Equat., 14 (1973), 476-493. I. A. Vyshnegradskii, Sur la théorie générale des régulateurs, C. R. Acad. Sci. Paris, 83 (1876), 318-321. Site with the paper reported and the files used in the computer assisted proofs: http://www.ici.unifei.edu.br/luisfernando/wgs 29