Escola Politécnica UFRJ Departamento de Expressão Gráfica DEG. Sistemas Projetivos. Representação de Retas no Sistema Mongeano NOTAS DE AULA

Escola Politécnica UFRJ Departamento de Expressão Gráfica DEG Sistemas Projetivos Representação de Retas no Sistema Mongeano NOTAS DE AULA Prof. Julio Cesar B. Torres (juliotorres@ufrj.br)

REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO Sejam dois pontos (A) e (B)

REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO Projeções verticais de (A) e (B) Projeções horizontais de (A) e (B)

REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO Projeções na épura:

REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO Seja a reta (r) que contém (A) e (B): Observação sobre a NOTAÇÃO utilizada: - retas serão representadas com letras minúsculas; - (r) representa a reta no espaço (objeto) - r e r são, respectivamente, as projeções horizontal e vertical da reta (r).

REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO Projeção vertical da reta (r) Projeção vertical da reta (r) Projeção horizontal da reta (r) Projeção horizontal da reta (r)

TRAÇO DE UMA RETA Definição: o traço de uma reta é o seu ponto de interseção com um plano de projeção Dependendo da direção da reta, esta poderá ter até dois traços: -o traço horizontal, ponto (H); -o traço vertical, ponto (V).

TRAÇO DE UMA RETA Cada traço, por ser UM PONTO, terá também suas projeções: (V) : V e V

TRAÇO DE UMA RETA Cada traço, por ser UM PONTO, terá também suas projeções: (V) : V e V (H) : H e H

TRAÇO DE UMA RETA

CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS No estudo da Geometria Descritiva e do Sistema Mongeano classifica-se a reta em função da sua posição em relação aos planos de projeção. Para que as retas possam ser definidas são utilizados TRÊS planos de referência: os dois planos de projeção - (p) e (p ) e um plano auxiliar, denominado plano de PERFIL, perpendicular ao demais e no qual não é necessário realizar projeção.

CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS Plano de Perfil, usado apenas como referência para a definição da posição das retas em relação aos planos.

RETA QUALQUER - Obliqua aos 3 planos

RETA QUALQUER - Obliqua aos 3 planos - Nenhuma das projeções encontra-se em VERDADEIRA GRANDEZA.

RETA HORIZONTAL - Paralela ao plano (p) - Oblíqua aos planos (p ) e (p )

RETA HORIZONTAL - Paralela ao plano (p) - Oblíqua aos planos (p ) e (p ) Projeção Horizontal em VERDADEIRA GRANDEZA

RETA HORIZONTAL - Paralela ao plano (p) - Possui apenas traço VERTICAL (V) - Oblíqua aos planos (p ) e (p )

RETA FRONTAL - Paralela ao plano (p ) - Oblíqua aos planos (p) e (p )

RETA FRONTAL Projeção Vertical em VERDADEIRA GRANDEZA - Paralela ao plano (p ) - Oblíqua aos planos (p) e (p )

RETA FRONTAL - Paralela ao plano (p ) - Possui apenas traço HORIZONTAL (H) - Oblíqua aos planos (p) e (p )

RETA VERTICAL - Perpendicular ao plano (p) - Possui apenas traço HORIZONTAL (H) (paralela aos planos (p ) e (p ))

RETA VERTICAL Projeção Vertical em VERDADEIRA GRANDEZA - Perpendicular ao plano (p) (paralela aos planos (p ) e (p ))

RETA VERTICAL - Perpendicular ao plano (p) - Possui apenas traço HORIZONTAL (H) (paralela aos planos (p ) e (p ))

RETA DE TOPO - Perpendicular ao plano (p ) - Possui apenas traço VERTICAL (V) (paralela aos planos (p) e (p ))

RETA DE TOPO - Perpendicular ao plano (p ) (paralela aos planos (p) e (p )) Projeção Horizontal em VERDADEIRA GRANDEZA

RETA DE TOPO - Perpendicular ao plano (p ) - Possui apenas traço VERTICAL (V) (paralela aos planos (p) e (p ))

RETA FRONTO-HORIZONTAL - Paralela à linha de terra (p ) - Não possui traços - Perpendicular ao plano (p ) - Paralela aos planos (p) e (p )

RETA FRONTO-HORIZONTAL As DUAS projeções encontra-se em VG. - Paralela à linha de terra (p ) - Perpendicular ao plano (p ) - Paralela aos planos (p) e (p )

RETA DE PERFIL (p ) - Paralela ao plano (p ) - Oblíqua aos planos (p) e (p )

RETA DE PERFIL (p ) - Paralela ao plano (p ) - Oblíqua aos planos (p) e (p ) - Nenhuma das projeções encontra-se em VG. - As projeções r e r tornam-se coincidentes e perpendiculares à linha de terra.

RETA DE PERFIL (p ) IMPORTANTE: A coincidência das projeções da reta de perfil gera uma indeterminação: Não é possível, apenas através das projeções da reta, determinar sua direção no espaço. Pois infinitas retas poderão ter essas mesmas projeções.

RETA DE PERFIL (p ) Portanto, uma reta de perfil só está completamente representada na épura se, além das suas projeções, identificarmos DOIS PONTOS pertencentes à reta.

RETA DE PERFIL Este tipo de reta possui sempre DOIS TRAÇOS V???? (V) (p ) (H) H???? Porém, não é possível determiná-los diretamente através do prolongamento das projeções (como ocorre com os demais seis tipos de retas)

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS Duas retas, não coincidentes no espaço, podem ser: - PARALELAS (r) (s) - CONCORRENTES (r) (s) COPLANARES - REVERSAS (r) (s)

RETAS PARALELAS

RETAS CONCORRENTES

RETAS REVERSAS

RETAS REVERSAS IMPOSSÍVEL!!! Neste caso, observa-se que, o que imaginamos serem as projeções de um ponto, de fato não são, pois não há ponto com duas abscissas ou cujas projeções não estejam verticalmente alinhadas. Logo, se não existe ponto comum, as retas são reversas.

RETAS REVERSAS

RETAS REVERSAS P? ou P? Neste caso, verifica-se que também não é possível existir um ponto (P) com duas projeções horizontais.

RETAS REVERSAS