Matemática A Dezembro de 2009 Matemática A Itens 10.º Ano de Escolaridade No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se apresentam. Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade Página 1
1. Na figura 1 está representado um triângulo equilátero EFG. Os pontos Hß I e J são os pontos médios dos lados do triângulo. A área do triângulo EFG é igual a 16 Sejam \ß ] e ^ três pontos. " \ œ F EH " ] œ G HJ JE $ ^ œ E Š GJ % HJ Determine a área do triângulo \]^ Figura 1 2. Na figura 2 está representado, num referencial o.n. BSC, o hexágono os lados do hexágono são paralelos e iguais dois a dois; os pontos E e I pertencem aos eixos coordenados SC e SB, respectivamente; SEFGHI F Ð%ß&Ñ H Ð'ßÑ 2.1. Determine as coordenadas dos pontos Gß I e 2.2. Seja Q o ponto simétrico do ponto F em relação ao eixo SC e seja R o ponto da recta SH que é colinear com os pontos Q e E E Figura 2 Determine as coordenadas do ponto R 2.3. Escreva uma condição que defina o segmento de recta IH 2.4. Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos que constituem o interior do hexágono. Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2
3. Na figura 3 está representado, num referencial o.n. BSC, o triângulo lado ÒEGÓ o vector o vector S, origem do referencial, é o ponto médio do EF FG Ð"!ßÑ Ð 'ß )Ñ EFG 3.1. Determine as coordenadas do ponto E e as coordenadas do ponto G 3.2. Mostre que o ponto F Ð)ß&Ñ Figura 3 3.3. Seja H o ponto de intersecção da recta EF com o eixo SC Determine a área do triângulo ESH 3.4. Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro ÒEFÓ 4. Sejam + e, dois números reais positivos. Num referencial o.n. a recta a recta BSC, considere: < de equação reduzida C œ +B, = de equação reduzida C œ +B, E, ponto de intersecção da recta < com o eixo das abcissas; F, ponto de intersecção das rectas < e = G, ponto de intersecção da recta = com o eixo das abcissas. 4.1. Mostre que a área do triângulo EFG pode ser dada, em função de + e de,, por $, %+ 4.2. Determine o perímetro do triângulo EFG ß admitindo que este triângulo tem área igual a 225 e que o vector de coordenadas Ð$ß%Ñ é paralelo a um dos seus lados. 4.3. Na figura 4 está representado o triângulo EFG para o caso de + œ $ e, œ * w w Os pontos E e G pertencem a EF e a FG, respectivamente. Sabe-se que EE G G é um trapézio cuja área é da área do triângulo EFG w w ) * Determine as coordenadas dos pontos E w e G w Figura 4 Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 3
5. Na figura 5 está representado, num referencial o.n. BSC, o quadrilátero Sejam T, Uß V e W os pontos médios dos lados desse quadrilátero. EFGH 5.1. Mostre que o quadrilátero TUVW é um paralelogramo, utilizando operações com vectores. 5.2. Admita que as coordenadas dos pontos T ß Uß V e E T Ðß%Ñ UÐ'ß(Ñ VÐ'ß$Ñ EÐ!ßÑ são: Figura 5 Determine as coordenadas do ponto W e as coordenadas dos vértices F, G e H do quadrilátero EFGH 6. Na figura 6 estão representados, num referencial o.n. BSC, dois paralelogramos semelhantes, e EIJK EFGH E F G EJ œ "! Ð "ß Ñ Ð %ßÑ Ð)ß"!Ñ 6.1. Determine as coordenadas do ponto H e as coordenadas do ponto J 6.2. Defina, analiticamente, o triângulo EFG (incluindo o seu interior). Figura 6 6.3. Suponha que, num dado instante, dois pontos partem de E e se deslocam, um sobre a semi-recta EF. e o outro sobre a semi-recta EG Þ. Admita que a unidade do referencial é o centímetro e que qualquer dos pontos percorre cada centímetro num minuto. A que distância, um do outro, se encontram os dois pontos, cinco minutos depois de iniciarem o seu deslocamento? Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 4
7. Considere, num referencial o.n. BSC, o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condição C B. Seja E esse conjunto de pontos. 7.1. Represente graficamente: uma recta uma recta < que esteja contida em E = que não intersecte E uma recta > tal que o conjunto das abcissas dos pontos de intersecção dessa recta com E seja ß Escreva as equações reduzidas das rectas <, = e > que desenhou. 7.2. Determine o conjunto dos valores reais de 5 para os quais o ponto de coordenadas Ð5ß' 5Ñ não pertence a E 8. Na figura 7 está representado, num referencial o.n. SBCD, o cubo o centro do cubo coincide com a origem do referencial; as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados; os pontos Q, R e T são os pontos médios das arestas a que pertencemà E ","," EFGHIJ KL Considere o vector? e os pontos \ß ] e ^? œ QR FT \ œ E GK " ] œ \ \J ^ œ \ Š? EG Figura 7 8.1. Represente os pontos \, ] e ^ ( por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas). 8.2. Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos [ para os quais o ponto \ pertence ao plano mediador do segmento F[ Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema. 8.3. A recta definida pela equação B, C, D œ ", ", " 5!,",", 5 intersecta a recta \H Determine as coordenadas do ponto de intersecção. 8.4. A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos I, ] e ^ divide o cubo em dois sólidos. Determine o volume do sólido que contém o ponto K Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 5
9. Na figura 8 está representado, num referencial o.n. SBCD, o cubo um dos vértices do cubo coincide com a origem do referencial; os vértices Eß G e I pertencem aos eixos SB, SC e SD, respectivamente; SEFGHIJ K o vértice K Ð"!ß"!ß"!Ñ T pertence à aresta JK e tem ordenada $ U pertence à aresta IH e tem ordenada ( W pertence à aresta FG e tem abcissa & a secção determinada no cubo pelo plano pentágono TUVWX TUW é o Figura 8 9.1. Determine as coordenadas dos vértices do pentágono ÒTUVWXÓ 9.2. Seja M o ponto de intersecção da recta TU com o plano BSD Determine a área do triângulo ÒIMGÓ 10. Na figura 9 está representado, em referencial o.n. SBCD, um prisma quadrangular regular ÒEFGHIJ KLÓ (o ponto L não está representado na figura). E Ð"%ß (ß%Ñ F Ð"'ß %ß"!Ñ G Ð"!ß 'ß"$Ñ I Ð)ß&ß!Ñ 10.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices do prisma. 10.2. Determine o volume do prisma. 10.3. Defina, por uma condição, a aresta ÒEFÓ Figura 9 10.4. Escreva uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do prisma. 10.5. Determine a área da secção produzida no prisma pelo plano EFK 10.6. Determine uma equação do plano HFJ Apresente a sua resposta na forma +B,C -D œ. +,,, - e. designam números reais Nota : o plano HFJ é o plano mediador de um segmento cujos extremos são dois vértices do prisma. Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 6