Introdução à Física Quântica

17/Abr/2015 Aula 14 Introdução à Física Quântica Radiação do corpo negro; níveis discretos de energia. Efeito foto-eléctrico: - descrições clássica e quântica - experimental. Efeito de Compton. 1

Introdução à Física Quântica A incapacidade da Física clássica em explicar certos fenómenos levou ao desenvolvimento de duas teorias que revolucionaram a Física no início do século XX: A Teoria da Relatividade de Einstein A Física Quântica Em particular, foi a impossibilidade de se conseguir explicar classicamente as 3 experiências seguintes radiação do corpo negro efeito foto-eléctrico efeito de Compton que levou ao desenvolvimento da Física Quântica. 2

Radiação do corpo negro Qualquer objecto a uma temperatura superior ao zero absoluto (T>0K) emite radiação. Essa radiação é produzida pelas suas cargas eléctricas em movimento acelerado. Quando a temperatura é elevada (~ 500 ºC), o objecto emite radiação na zona do vermelho e, à medida que a temperatura aumenta, a radiação vai mudando para comprimentos de onda menores (maiores frequências). O espectro de energia radiada por unidade de tempo é contínuo e depende da temperatura T e do comprimento de onda da radiação emitida. 3

Radiação do corpo negro (cont.) O espectro de energia radiada por unidade de tempo é contínuo e depende da temperatura T e do comprimento de onda da radiação emitida. Lei de Wien O comprimento de onda a que corresponde a intensidade máxima ( máx ) varia inversamente com a temperatura. Lei de Stefan A potência radiada por unidade de tempo, pela superfície A de um corpo, aumenta com a quarta potência da temperatura. Espectro de radiação do corpo negro 4

Radiação do corpo negro (cont.) Energia emitida por cm 2 por minuto por m Visível Radiação Infravermelho Comprimento de onda Intensidade da radiação em função do comprimento de onda, para 4 temperaturas. A quantidade de radiação emitida (a área definida por cada curva) aumenta quando a temperatura aumenta. 5

Radiação do corpo negro (cont.) Lei de Stefan-Boltzmann : P e AT radiada 4 e : emissividade da superfície (entre 0 e 1, dependendo da superfície do material) : constante de Stefan-Boltzmann (W/m 2 K 4 ) T : temperatura do objecto (em K) 5,67.10 8 W 2 4 m K 4 absorvida 0 P e AT T 0 : temp. do ambiente (K) P 4 4 efectiva e A T T0 Lei de Wien : máx -3 2,898.10 m K T 6

Radiação do corpo negro (cont.) Um absorvedor ideal absorve toda a energia incidente : e 1 Corpo negro Um reflector ideal não absorve qualquer energia incidente : e 0 7

Radiação do corpo negro (cont.) Corpo Negro Absorve toda a energia radiante incidente, independentemente do comprimento de onda e da direcção de incidência. É um emissor perfeito (radiação máxima): para uma dada temperatura e num dado comprimento de onda, é a superfície que emite mais energia. É isótropo: a radiação que emite pode depender da temperatura e do comprimento de onda, mas não depende da direcção (emite igualmente em todas as direcções). e 1 8

Radiação do corpo negro (cont.) Como a radiação também depende das propriedades da superfície do objecto (emissividade), a melhor maneira de simular um corpo negro é usar um objecto cuja superfície não influencie a radiação, ou seja, um sistema que se aproxime do corpo negro ideal. Uma boa aproximação é uma cavidade com uma abertura muito pequena: a radiação emitida vai depender apenas da temperatura no interior da cavidade. Aproximação do corpo negro ideal: a luz (radiação) que entra pela abertura é reflectida pelas paredes interiores. Em cada reflexão, parte dessa luz é também absorvida. Ao fim de algumas reflexões, toda a luz incidente foi absorvida. Então, toda a radiação que for emitida e sair pela abertura é apenas função da temperatura no interior da cavidade. 9

Intensidade Radiação do corpo negro (cont.) Justificação clássica para esta radiação: -os átomos e moléculas à superfície do objecto vibram mais quando a temperatura aumenta; esta vibração implica a emissão de radiação. A descrição clássica conduz à lei de Rayleigh-Jeans para a intensidade : 2 c k T, 4 em que c é a velocidade da luz e k a constante de Boltzmann. Comprimento de onda Comparação dos resultados experimentais com a curva prevista pelo modelo clássico de Rayleigh-Jeans para a distribuição da radiação emitida por um corpo negro. 10

Intensidade Radiação do corpo negro (cont.) Problema com a descrição clássica : para os grandes, a teoria clássica está de acordo com os resultados experimentais mas quando 0, a intensidade da radiação ( catástrofe do ultra-violeta ). Comprimento de onda 11

Intensidade Radiação do corpo negro (cont.) Experimentalmente, verifica-se que o comprimento de onda da radiação emitida por um corpo negro diminui quando a temperatura aumenta. 2 O comprimento de onda para o qual se obtém a maior intensidade da radiação obedece à lei de Wien : Comprimento de onda (m) máx -2 0,2898.10 mk T Intensidade da radiação em função do comprimento de onda, para 3 temperaturas. A quantidade de radiação emitida (a área definida por cada curva) aumenta quando a temperatura aumenta. Espectro visível 12

Intensidade Radiação do corpo negro (cont.) Em 1900, Max Planck propôs a seguinte relação para a intensidade da radiação do corpo negro:, 5 2 2 hc hc kt e -1 em que c é a velocidade da luz, k a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck ( h = 6,626.10-34 Js ). Comprimento de onda Esta expressão já está de acordo com os resultados experimentais para toda a gama de comprimentos de onda. 13

Radiação do corpo negro (cont.) Considerações acerca das moléculas à superfície do corpo negro (Planck): As moléculas só podem radiar (emitir radiação) em níveis discretos de energia E n, com Fotão com energia h E n = n h sendo n um inteiro positivo (número quântico) e a frequência de vibração das moléculas. As moléculas emitem (e absorvem) energia em pacotes discretos chamados fotões, cuja energia é igual a h. Representação pictórica dos fotões ( pacotes de luz). Cada fotão possui uma energia discreta dada por h. 14

Níveis discretos de energia As moléculas têm energias quantizadas. Uma molécula no estado n = 3 terá uma energia E 3 = 3 h. Energia Se essa molécula emitir um fotão, a molécula passa para o estado n = 2, que tem uma energia E 2 = 2 h a energia de um fotão correspondente a diferenças energéticas entre estados quânticos adjacentes é igual a E = h. A molécula emite (ou absorve) energia apenas quando muda de estado quântico. Se permanecer num dado estado, não existe transferência de energia. Níveis de energia possíveis para uma molécula (exemplo). As transições permitidas com n = 1 estão indicadas. 15

A temperatura da pele humana é aproximadamente igual a 35 ºC. Qual é o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo da radiação emitida? Lei de Wien: máx -2 0,2898.10 mk T máx -2 0,2898.10 mk 9,6.10 6 m 960 nm 308 K O máximo da radiação é emitida para um comprimento de onda na região dos infra-vermelhos: Espectro visível 16

Admitindo que o filamento de tungsténio de uma lâmpada de incandescência se comporta como um corpo negro, determine o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo de intensidade da radiação emitida se a temperatura do filamento for igual a 2900 K. Lei de Wien: máx -2 0,2898.10 mk T máx -2 0,2898.10 mk 1,0.10 6 m 1000 nm 2900 K Embora a lâmpada de incandescência emita luz branca (frequências na banda visível do espectro), o máximo de intensidade emitida acontece para a região dos infra-vermelhos a maior parte da radiação é emitida sob a forma de calor. Espectro visível 17

Efeito foto-eléctrico No fim do séc. XIX, algumas experiências demonstraram que quando se fazia incidir luz na superfície de alguns metais, estes emitiam electrões (efeito foto-eléctrico ). C E Considerando a figura ao lado: quando não incide luz na célula, não se regista emissão de electrões a partir da superfície E e, portanto, a indicação no amperímetro é A = 0. quando luz monocromática com um comprimento de onda adequado incide na placa E, verifica-se emissão de electrões que vão incidir na placa C. A corrente (fotoelectrónica) é medida no amperímetro. Efeito foto-eléctrico 18

Efeito foto-eléctrico (cont.) Os foto-electrões saem da placa E com uma certa quantidade de energia. Se a tensão aplicada V aumentar (note-se que a polarização é inversa), então quando V for igual à energia dos fotoelectrões, a corrente (foto)eléctrica será igual a zero: os foto-electrões não terão energia (cinética) suficiente para atingir a placa C. A tensão aplicada V (multiplicada pela carga do electrão) é igual à energia com que os electrões deixam a superfície E. Experimentalmente, é possível verificar que o potencial de paragem V 0 (que multiplicado pela carga eléctrica é igual à energia dos electrões emitidos) é independente da intensidade da radiação incidente. Luz Fonte de tensão variável Dispositivo para observação do efeito foto-eléctrico 19

Efeito foto-eléctrico e descrição clássica 1) Se a frequência da radiação incidente for inferior a um determinado valor, que é característico do metal que estiver a ser iluminado, não há emissão de electrões. Classicamente, os electrões deveriam ser emitidos para qualquer frequência, desde que a intensidade luminosa fosse suficiente. 2) A energia cinética máxima dos foto-electrões é independente da intensidade luminosa incidente. Classicamente, quanto maior fosse a intensidade, maior seria a energia dos electrões. 3) A energia cinética máxima dos foto-electrões aumenta com a frequência da luz incidente. 4) Os electrões são emitidos a partir da superfície quase instantaneamente (atraso < 10-9 s ), mesmo para pequenas intensidades luminosas. Classicamente, os electrões necessitariam de algum tempo para absorverem a radiação incidente necessária para atingirem a energia cinética suficiente para escaparem da superfície do metal. 20

Efeito foto-eléctrico e descrição quântica Explicação do efeito foto-eléctrico (por Einstein) a partir do conceito de quantização (de Planck): A luz incidente propaga-se sob a forma de fotões. Cada fotão, ao incidir no metal, transmite toda a sua energia ( E = h ) a um electrão do metal. No entanto, o electrão necessita de ter uma energia superior a um dado valor (a função de trabalho) para escapar da superfície do metal. A energia cinética máxima ( E cin máx ) dos electrões libertados será então igual a E h - cin máx Fotão com energia h é da ordem de alguns electrões Volt e é característica de cada metal. 21

Efeito foto-eléctrico e descrição quântica (cont.) Explicação do efeito foto-eléctrico a partir da teoria fotónica da luz: 1) Se a frequência da radiação incidente for inferior a um determinado valor, que é característico do metal que estiver a ser iluminado, não há emissão de electrões. Se a energia dos fotões incidentes for menor do que a função de trabalho, então os electrões não terão energia suficiente para escaparem do metal. 2) A energia cinética máxima dos foto-electrões é independente da intensidade luminosa incidente. Se, por ex., a intensidade luminosa duplicar, o nº de fotões duplica, o que vai, por sua vez, fazer duplicar o nº de electrões emitidos e, portanto, a corrente eléctrica. No entanto, a energia cinética dos electrões mantém-se. 3) A energia cinética máxima dos foto-electrões aumenta com a frequência da luz incidente. E cin máx = h -. 4) Os electrões são emitidos quase instantaneamente. A transferência de energia (por colisão) entre um fotão e um electrão é muito rápida. 22

Efeito foto-eléctrico - experimental Observações experimentais : Ecin máx h - Graficamente, o declive da E cin máx em função da frequência da luz incidente é igual à constante de Planck, h, e a intersecção da curva com o eixo horizontal é igual à frequência mínima, a partir da qual se verifica o efeito foto-eléctrico: Experimentalmente, a E cin máx varia linearmente com a frequência da luz incidente c h Fotões com frequência inferior a c não têm energia suficiente para arrancar electrões ao metal. c c c hc Comprimentos de onda maiores do que c incidindo num metal com função de trabalho não conseguem arrancar electrões ao metal. 23

Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função de trabalho para o sódio é de 2,46 ev. Calcule: a) a energia cinética dos foto-electrões emitidos; b) o comprimento de onda crítico ( c ) para o sódio. a) A energia dos fotões incidentes é igual a E = h = hc/ E = (6,626. 10-34 Js) (3,0. 10 8 m/s) / 300. 10-9 m = 6,626. 10-19 J = 6,626 x 10-19 J / 1,60. 10-19 J/eV = 4,14 ev Usando Emáx = h - temos Emáx = 4,14 2,46 = 1,68 ev 24

Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função de trabalho para o sódio é de 2,46 ev. Calcule: a) a energia cinética dos foto-electrões emitidos; b) o comprimento de onda crítico ( c ) para o sódio. b) O comprimento de onda crítico pode ser calculado a partir de c = hc/ Como = 2,46 ev = (2,46eV) (1,60. 10-19 J/eV) = 3,94. 10-19 J vem c = h c/ = (6,626.10-34 Js) (3,0.10 8 m/s) / 3, 94.10-19 J = 5,05. 10-7 m = 505 nm Este comprimento de onda corresponde a uma radiação na região verde do espectro visível: Espectro visível 25

Efeito de Compton A difracção de raios X por electrões (efeito de Compton) não é explicável classicamente. Raios X ( 0 = 0,071nm) incidem num alvo de grafite. Os raios X são difractados pela grafite e são detectados por um espectrómetro de comprimento de onda que pode rodar em torno do alvo ( os vários dos raios X difractados podem ser medidos para vários ângulos de difracção). O cristal mostrado na figura vai separar angularmente os raios X difractados, proporcionalmente ao seu comprimento de onda. A câmara de ionização permite medir a intensidade dos raios X em função do ângulo. Diagrama de um dispositivo para estudar o efeito de Compton. 26

Observações experimentais : intensidade dos raios X em função do comprimento de onda para vários ângulos de difracção ( = 0º, 45º, 90º e 135º ) Os resultados experimentais mostram dois picos no espectro de difracção: um para = 0 (c. de onda do feixe incidente) e outro para > 0. Estes resultados não são explicáveis classicamente. 27

Classicamente, a onda electromagnética incidente pode provocar 2 efeitos: 1) a pressão da radiação acelera os electrões na direcção da onda; 2) o campo eléctrico oscilante incidente induz uma vibração nos electrões com uma frequência, que é ligeiramente diferente de 0 devido ao efeito Doppler. Os electrões emitem radiação electromagnética cuja frequência depende do ângulo de difracção e da quantidade de radiação absorvida (a quantidade de radiação muda a velocidade do electrão e, portanto, a frequência devido ao efeito Doppler). Assim, a frequência da onda difractada deveria apresentar uma distribuição de valores praticamente contínua devido ao efeito Doppler, diferente da observada experimentalmente. 28

Explicação do efeito de Compton a partir do conceito de quantização: Cada fotão é tratado como uma partícula livre, de energia E = h = h c/, e massa nula, que colide com um electrão inicialmente em repouso. Aplicando a conservação da energia tem-se: em que E e é a energia do electrão difractado. h c h c E 0 ' e Usando a conservação do momento (para ambas as componentes x e y ), notando que a velocidade do electrão << c ( sem correcções relativistas) e sabendo que p = E /c = h / para os fotões e p = m v para os electrões, tem-se: componente segundo x : componente segundo y : h / 0 = h / cos + m v cos 0 = h/ sen - m v sen 29

Eliminando v e das (3) equações anteriores, obtém-se uma expressão que relaciona as 3 variáveis restantes (, 0 e ) : ' - h 0 1- cos mc e em que m e é a massa do electrão e h/ m e c é o chamado comprimento de onda de Compton do electrão. Esta equação (eq. de difracção de Compton) já prevê a variação no comprimento de onda dos raios X difractados por electrões livres observado experimentalmente. 30

A explicação para os raios X difractados que mantêm 0 é a seguinte: Intensidade os raios X são difractados por um electrão que está fortemente ligado ao átomo, pelo que a massa efectiva do electrão é a massa do átomo. Se se substituir a massa do carbono (cerca de 23.10 3 vezes a massa do electrão) nesta equação, então a variação no comprimento de onda ( / - 0 ) é muito pequena. 31